- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
6.4 Оценка сложности функций n переменных .
Утвердение
Сложность любой двочной функции не более чем n перменных лежит в пределах:
при некоторых положительных константах и .
Доказательство:
Покажем справедливость верхней оценки. Рассмотрим любую двоичную функцию и разложим данную функцию по первым переменным. Справедлива формула :
(*)
.
По данной формуле построим схему, которая будет вычислять данную . Реализуем схему вычисления следующим образом:
Рассмотрим дешифрование порядка , где. Скобкамиобозначают минимальное натуральное число превосходящее действительное число.
( логарифм по основанию 2). Очевидны оценки:
Схема нарисована согласно формуле , т.е. на остаточные входы дешифратора подаются соответствующие функции от переменных, которые получаются универсальным многополюсником.
Т.о. сложность построенной схемы:
Покажем, что каждое слагаемое есть
1)
т.к. , поэтому ограничена;
2) т.к.,, поэтому ограничена;
3) .
Требуемое доказано. Оценим сложность функции снизу, применяя мощностной метод.
Пусть число функциональных элементов в схеме . Обозначим символом число схем с входами, число элементов в которых . Покажем, что число таких схем удовлетворяет оценке: .
Действительно, элементы схемы можно разбить на группы с числом конъюнкций , дизъюнкций и отрицаний не более чем способами (единица в формуле появляется в силу того, что некоторые группы могут быть пустыми). Теперь перечислим всевозможные соединения элементов. Каждый элемент в схеме имеет не более 2-х входов. Каждый вход можно соединить не более чем с выходами других элементов, либо с входами схемы.
Поэтому общее число соединений одного элемента не больше , а т.к. элементов не превосходит , то общее число соединений элементов не больше чем .
Осталось назначить общий выход схемы, это можно сделать способами (в схеме элементов и выходов). Таким образом, общее число схем не превосходит , т.к. число переменных в схеме не менее 1.
Что и требовалось доказать.
В качестве возьмем сложность , т.е. минимальное число элементов для реализации всех функций от переменных выполняется: . Т.е. число различным схем сложности не менее общего числа функций от переменных. В противном случае некоторая функция от переменных не могла быть реализована схемой сложности .
Используя оценку получаем . Прологарифмируем данное неравенство: . Используя полученную ранее верхнюю оценку сложности для функции Шенона легко показать необходимую оценку.
Справедливы следующие элементарные арифметические выкладки:
по ранее полученной оценке Шеноновская сложность двоичных функций от переменных в асимптотике:
, поэтому , поэтому
,
тогда ;
при некоторой положительной константе
Утверждение.(Лупанов О.Б)
Справедлива точная асимптотика функции сложности:
, .
7. Элементы теории конечных автоматов.
Определение. Рассмотрим два конечных множества и . Будем называть их входным и выходным алфавитами соответственно. Элементы алфавитов будем называть буквами.
Все бесконечные последовательности букв алфавита будем обозначать и называть бесконечными словами. Символом будем обозначать всевозможные конечные слова в алфавите . Слова длины в алфавите будем обозначать – декартово произведение множества на себя раз. Скажем, что слово является началом слова или приставкой, если для некоторого слова . Длину конечного слова, т.е. число его букв, будем обозначать как.
Пример. – начало слова , где .
Напоминаем некоторые введенные ранее понятия.
Пусть – конечное множество. Отношением на данном множестве будем называть любое подмножество его декартового произведения . Рассмотрим декартово произведение на себя: . Т.е. это множество всевозможных слов из двух букв в алфавите . Отношением эквивалентности называется подмножество декартового произведения, которое удовлетворяет следующих трем свойствам:
Рефлексивность. .
Симметричность. .
Транзитивность. .
Примеры отношения эквивалентности.
Пример 1. Рассмотрим в качестве множества X множество натуральных чисел: . Для него рассмотрим обычное равенство натуральных чисел. Скажем, что два натуральных числа эквивалентны, если они равны в обычном смысле. Очевидно, что это есть отношение эквивалентности.
Пример 2. Рассмотрим произвольное натуральное число . Числа x и y назовем эквивалентными , если они дают один и тот же остаток при делении на . Очевидно, что это есть отношение эквивалентности.
Пример 3. Введем отношение эквивалентности на множестве слов, длина которых не меньше числа . Рассмотрим множество этих слов в алфавите . Скажем, что пара слов и эквивалентны, если совпадают их первые букв. Убедитесь сами, что все три свойства эквивалентности выполнены.
Утверждение. Пусть – множество, – отношение эквивалентности на нем. Тогда разбивает все элементы на классы эквивалентных элементов (Любая пара различных классов не пересекается между собой-, и их объединение совпадает с множеством;; количество классов может быть бесконечным). Любая пара элементов одного класса эквивалентна, а любая пара элементов различных классов не эквивалентна. Данное разбиение однозначно определяется отношением эквивалентности .
Докажите это утверждение самостоятельно.
Пример 1. Классы эквивалентности – одноэлементные подмножества , ,...
Пример 2. Пусть задано отношение эквивалентности на множестве натуральных чисел . Числа эквивалентны, если их остатки от деления на совпадают. Классы эквивалентности – , .
Пример 3. Если для тех же натуральных чисел взять вместо двух произвольное число , то число классов эквивалентности будет так же . По одному классу на каждый из их остатков.
Определение. Пусть заданы конечные алфавиты: – входной и – выходной. Задана функция , которая ставит в соответствие бесконечной последовательности из алфавита некоторую бесконечную последовательность алфавита . Функция называется детерминированной, если начало выходного слова однозначно определяется соответствующим началом входного слова, т.е. выполнено следующее формальное определение: для любых слов и ,выполн имеющих одно начало их образы,будут иметь одно и тоже начало длины равной длине.(любая пара слов ,которые имеют одно и тоже начало преобразуются функцией в пару слов , которые имеют одно и тоже начало соответствующее началу ). Говоря другими словами, начало длины выходного слова не зависит от конца входного слова (начиная с -ой буквы).
Определение. Остаточной функцией, соответствующей слову и детерминированной функции , называют функцию , которая определяется следующим образом. Чтобы определить значение этой функции на входной последовательности , добавим к этому слову приставку , получим слово , применим к этому слову функцию , в результате получим слово и тогда значением объявим слово . ; ; ; ; ; .
Определение. Функция называется ограниченно-детерминированной, если число различных остаточных функций конечно.
Пример. Рассмотрим константно-периодическую функцию. Такая функция на любом входном слове равна одному и тому же выходному слову, и есть некоторое периодичное слово, бесконечное повторение некоторого конечного слова . Очевидно, что такая функция детерминированная, а число различных остаточных функций равно длине периода, т.е. длине слова .
Замечание. Каждая остаточная функция является детерминированной.
Дадим эквивалентное определение ограниченно-детерминированных функций в классе некоторых устройств, которые их вычисляют.
Определение. Конечным автоматом называют набор из шести множеств , где – входной алфавит, – выходной алфавит, – множество состояний автомата (конечные множества), - начальное состояние автомата, – функция переходов состояний ; – функция выходов автомата .
Автомат имеет две ленты (входную и выходную) и считывающий элемент, который в каждый момент времени находится в одном из своих состояний . Функционирование автомата однозначно определяется функцией переходов, функцией выходов и входным словом, которое написано на входной ленте. В начальный момент времени состояние автомата и он обозревает самую левую букву входного слова. Далее процесс вычисления происходит следующим образом: 1. Если в текущий момент времени считывающий элемент находится в состоянии , обозревая символ на входной ленте, то он переходит в состояние согласно функции переходов на паре ; на выходной ленте считывающий элемент печатает символ согласно функции выхода и сдвигается на ячейку вправо. После считывания входного слова, т.е. в момент времени равного длине входного слова, на выходной ленте будет написано некоторое выходное слово в алфавите . Это слово и объявляем выходом автомата на входном слове, записанном на ленте. Таким образом, автомат вычисляет некоторую словарную функцию , которую называют функцией соответствующего автомата, .