- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
Семь теорем.
2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
примем двойное отрицание А за гипотезу, тогда по предположению выводится
Теперь из пунктов 1 и 2 выводится правая часть формулы
(теорема 1)
следовательно по т1 и 3 выводится
по теореме дедукции
3) Запишем аксиому а3, подставив вместоВ , тогда а3=
по 2) и 1 выводится правая часть
принимаем А за гипотезу, тогда по пр. из пунктов 2, 3 по МР
4) запишем третью аксиому а3
(пр.)
применяя ТД второй раз получаем
5) запишем аксиому а3
применяя ТД дважды, получаем требуемую формулу
6)
Запишем предыдущую теорему в виде гипотеза
Примем за гипотезу, и выведем из нее посылку . Тогда
вывод теоремы непосредственно следует из теоремы дедукции и теоремы 5.
Чтобы реализовать указанную цель, принимаем за гипотезу.
Тогда
2. ,
3
4 из пунктов 2,3 получаем ,|-
Тогда цель выполнима по теореме дедукции из предыдущегопункта 4.
7) запишем а3
запишем 6) в следующем виде:
по МР, следовательно по ТД из
по ТД
8) запишем а3
покажем предыдущие
, таким образом второй пункт доказан
ТД первый раз
ТД второй раз
Доказательство полноты исчисления высказываний.
Осталось показать, что всякая тавтология выводима в исчислении высказываний.
Лемма:
Пусть - формула от переменныхнад связками.
Пусть набор значений переменных..
Покажем из гипотез
Здесь если;если
если ;, если
Доказательство индукцией по числу связок в формуле .
Число связок равно 0 :; Утверждение справедливо.
Пусть утверждение справедливо для любых формул с не более чемсвязками;.
Покажем справедливость для F с i+1 связкой
1. F1 и F2 – формулы с не более чем i связками
Рассмотрим произвольный набор переменных.
А)
Пусть гипотезы соответствующие набору
По индуктивному предположению :
;
;
а1. ( )
1. а1.
5. 1. ( )
что и требовалось
В)
;
;
4. что и требовалось
С)
1. ;
2. ;
а1. .
D)
1. ;
2. ;
7. . (
что и требовалось
2.
a) это и естьF’
b) это и естьF’
Утверждение :
Любая тавтология выводима.
Рассмотрим два произвольных набора значений переменных отличающихся последней компонентой.
Пусть гипотезы которые соответствуют этим наборам будут и, тогда в силу предыдущей леммы и того, чтоF тавтология имеем: ;; то:
По восьмой теореме имеем. В силу того чтопроизвольно, точно так же можно избавиться от.
Пока не избавимся от всех гипотез и придем к .
Упражнения:
Доказать:
4 Графы
4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
Матрица смежности, матрица инцендентностей, список смежности.
Определение. Неориентированным графом называют пару , где – множество вершин графа, – множество неориентированных ребер графа, и последнее множество есть некоторое подмножество множества всех неупорядоченных пар вершин .
Пример. Пусть множество вершин состоит из трех элементов. Следовательно, неупорядоченными парами будут следующие двухэлементные подмножества трехэлементного множества :
Для графов удобно планарное представление, где вершинам графа соответствуют точки плоскости, а неориентированным ребрам соответствуют отрезки, соединяющие соответствующие пары вершин.
Пример. Ребро, у которого оба конца являются одной и той же вершиной, называется петлей. В примере петлей является ребро .
Определение. Ориентированным графом называют пару , где – множество вершин графа, – множество упорядоченных пар вершин – ориентированных ребер, и это есть некоторое подмножество декартова произведения :
Пример. Множество вершин состоит из трех элементов . Тогда упорядоченными парами вершин будут следующие:
Для ориентированных графов удобно планарное представление, где вершинам соответствуют точки плоскости, а ребрам соответствуют ориентированные линии, которые соединяют в определенном направлении соответствующие пары вершин.
Пример. Ориентированное ребро, у которого оба конца являются одной и той же вершиной, называется петлей. В примере петлей является ребро .