3.3.1 Определение параметров линейной зависимости

На практике наиболее распространен случай m=1 (линейное уравнение)

Для этого случая из выведенных формул получаем

;

;;;

;

;

;

;;.

3.3.2 Определение параметров неполиномиальных зависимостей с помощью мнк

В результате метрологических исследований нередко приходится сталкиваться со случаем, когда при определении нелинейной зависимости повышение степени полинома в разумных пределах не приводит к существенному уменьшению погрешности аппроксимации. В этом случае применяют следующие приемы.

1. Разбиение области определения функции на несколько участков с последующей аппроксимацией ее на каждом из участков.

2. Преобразование функции в линейную зависимостьпутем замены переменных. Этот прием хорошо реализуется для функций следующего вида:

а) показательная , для которой в результате замены переменной, получаем, где;

б) степенная , для которой в результате замены переменных, получаем, где;

в) логарифмическая , для которой в результате замены переменнойполучаем;

г) гиперболическая , для которой в результате замены переменнойполучаем;

д) дробно-линейная функция первого вида , для которой в результате замены переменнойполучаем;

е) дробно-линейная функция второго вида , для которой в результате замены переменных, получаем.

Графики перечисленных функций приведены на рис. 3.8.

Рисунок 3.8 - Графики аппроксимирующих функций

При определении погрешности нахождения оценок , необходимо помнить, что в случаях показательной и степенной функции параметрсвязан с параметромвыражением.

Поэтому погрешности ибудут связаны соотношением.

3. Линеаризация нелинейных уравнений методом последовательных приближений

Общий метод решения этой задачи основан на допущении, что несовместность условных уравнений невелика, т.е. их невязки малы. Тогда, взяв из условной системы столько уравнений, сколько в ней неизвестных,

их решением находим начальные оценки неизвестных . Полагая далее, чтои подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок, получим

.

Переписав полученное выражение в виде

, (3.52)

можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК дает нам их оценки и СКО. Тогда. Поскольку- неслучайные величины, то. Получив оценки, можно сделать второе приближение и т.д.

3.4 Совокупные измерения

Совокупные измерения– измерения, в которых значения нескольких одновременно измеряемых однородных величин находят решением системы уравнений, которые связывают разные комбинации этих величин, измеряемые прямо или косвенно.

Систему уравнений совокупных измерений можно записать в следующем виде

, (3.53)

где i=1,2,…,n;n>m. То есть характерной особенностью совокупных измерений, также как и совместных, является то обстоятельство, что число уравнений больше, чем число неизвестных.

Здесь - результаты прямых измерений различных сочетаний искомых величинx₁,x₂,…,x_m.

Таким образом, в отличие от косвенных измерений, производятся измерения нескольких искомых величин, причем последние находятся в результате решения системы уравнений.

Легко заметить, что система уравнений (3.53) аналогична системе уравнений совместных измерений. Имеется, однако, принципиальное отличие совокупных измерений от совместных, прежде всего в постановке измерительной задачи: в результате совокупных измерений определяется не функциональная зависимость между величинами (как это делается при совместных измерениях), а сами величины, причем величины одноименные.

Несмотря на отличия, обработка экспериментальных данных при совместных и совокупных измерениях, производится практически одними и теми же приемами.

Классическим примером совокупных измерений является измерение емкости двух конденсаторов С₁и С₂по результатам измерения емкости каждого из них в отдельности, а также при параллельном и последовательном их соединении. Такой метод применяется для уменьшения систематической погрешности измерения, различной в разных точках диапазона измерения.

В этом случае, хотя каждое измерение выполняется с одним наблюдением, но в итоге для двух неизвестных будем иметь систему из четырех уравнений

. (3.54)

Последнее уравнение системы – нелинейное, поэтому применим для этой системы метод линеаризации, рассмотренный для случая совместных измерений, и заключающийся в разложении всех уравнений системы в ряд Тейлора. В этом случае получаем следующие значения частных производных

;

;

,

используя которые можно записать исходную систему линейных уравнений

(3.55)

Для решения этой системы необходимо выбрать точки разложения и, близкие к измеренным значениями. Подставляяив уравнение системы (3.54) можно найти невязки.

. (3.56)

Подставляя эти невязки в уравнение (3.55), можно получить из нее систему нормальных уравнений (по МНК)

.

Решая систему, получаем и, откуда можно найти искомыеикак

Совокупные измерения широко распространены в метрологической практике, например, при калибровке мер или шкал приборов. В этом случае система уравнений совокупных измерений имеет вид

, (3.57)

где - значения величин, подлежащих определению;

- известные коэффициенты;

- результаты сравнения различных комбинаций сочетаний мер или отметок шкал;

m- количество значений величин, подлежащих определению;

n- количество комбинаций (уравнений).

При калибровке коэффициенты принимают следующие значения:

0 – если не участвует в i-ом измерении;

1­­ – если измеряется сумма нескольких величин, в которую входит ;

-1­­ – если сумма нескольких величин сравнивается с .

Если число уравнений равно числу неизвестных, то система (3.57) решается однозначно, а действительные значения измеряемых величин и доверительные интервалы их погрешностей определяются методами обработки косвенных измерений. Однако, для уменьшения погрешностей калибровки производится сравнение большего числа комбинаций, чем количество определяемых значений величин. Тогда оценивание результатов измерений производится как при совместных измерениях. Для решения системы условных уравнений обычно применяют МНК. Этот метод, как уже было сказано, вытекает из принципа максимального правдоподобия и является оптимальным при следующих условиях:

- результаты измерения Yсодержат независимые случайные погрешности с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями;

- погрешности имеют нормальное распределение.

При выполнении этих условий получаемые оценки будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Аналогично рассмотренному в разделе 3.4, можно записать систему уравнений относительно невязок

. (3.58)

Сумма их квадратов будет равна

. (3.59)

Дифференцируя выражение (3.59) по параметрам , получим следующую систему

, (3.60)

преобразуя которую и применяя обозначение Гаусса, получаем нормальную систему уравнений относительно .

. (3.61)

Решение этой системы с помощью определителей имеет вид

, (3.62)

где D– главный определитель системы

, (3.63)

а определитель получается из главного путем замены j –го столбца на столбец со свободными членами

. (3.64)

Оценки СКО определяются по формуле

, (3.65)

где - алгебраическое дополнение главного определителя, получаемое из последнего вычеркиванием j–го столбца иj–й строки;

. (3.66)

Невязки находят при выполнении совокупных измерений (3.58).

Границы погрешности совокупных измерений определяют из выражения

, (3.67)

где t_s– коэффициент Стьюдента для (n-m) степеней свободы.

Примером совокупных измерений являются проводимые при калибровке набора из пяти гирь массой m₁= 5 кг,m₂= 2 кг,m₃= 2 кг,m₄= 1кг,m₅= 1кг по образцовой гире массойm₀= 10кг. В этом случае можно получить следующую систему из десяти уравнений:

. (3.68)

Невязки _i для этих уравнений получают, проводя сравнения гирь в перечисленных сочетаниях с помощью равноплечих весов, имеющих шкалу для отсчета разности масс.

Обработка результатов полученных совместных измерений осуществляется по формуле (3.63) - (3.67).