- •Міністерство освіти і науки україни
- •Предисловие
- •1 Основы обеспечения единства измерений
- •1.1 Сущность понятия “измерение”
- •1.2 Единицы физических величин и их системы
- •1.3.1 Эталон единицы длины
- •1.3.2 Эталон единицы массы
- •1.3.3 Эталон единиц времени и частоты
- •1.3.4 Эталон единицы силы электрического тока
- •1.3.5 Эталон единицы температуры
- •1.3.6 Эталон единицы силы света
- •1.3.7 Единица количества вещества
- •1.4 Квантовая метрология
- •1.4.1 Эталон вольта на эффекте Джозефсона
- •1.4.2 Эталон ома на основе квантового эффекта Холла
- •1.5 Передача размеров единицы фв от эталонов рабочим сит
- •1.5.1 Основные принципы
- •1.5.2 Поверочные схемы
- •Первичный эталон
- •1.6 Контрольные вопросы
- •2 Теория погрешностей
- •2.1 Основные положения и определения
- •Погрешности
- •Абсолютные Приведенные Относительные
- •2.2 Вероятностное представление результатов и погрешностей измерений
- •2.3 Случайные погрешности
- •2.3.1 Определение точечных оценок числовых характеристик эмпирических законов распределения случайной погрешности
- •2.3.2 Определение закона распределения случайной погрешности
- •2.3.3 Минимизация случайной погрешности
- •2.4 Грубые погрешности и промахи
- •2.4.1 Критерий Райта
- •2.4.2 Критерий Смирнова
- •2.5 Систематические погрешности
- •2.5.1 Классификация систематических погрешностей
- •2.5.2 Обнаружение систематических погрешностей
- •2.5.3 Компенсация систематических погрешностей
- •2.6 Суммирование погрешностей
- •2.7 Контрольные вопросы, задачи, упражнения
- •3 Обработка результатов измерений
- •По режиму использования си
- •Однократные Многократные
- •Прецизионные Контрольно-поверочные Технические
- •Прямые Косвенные Совместные Совокупные
- •3.1 Прямые измерения
- •3.1.1 Обработка результатов прямых измерений с однократными
- •3.1.2 Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями
- •3.1.3 Обработка нескольких групп прямых измерений с многократными наблюдениями
- •3.2 Косвенные измерения
- •3.2.1 Частные случаи вычисления погрешностей при косвенных
- •3.2.2 Критерий ничтожных погрешностей
- •3.3 Совместные измерения
- •3.3.1 Определение параметров линейной зависимости
- •3.3.2 Определение параметров неполиномиальных зависимостей с помощью мнк
- •3.4 Совокупные измерения
- •3.5 Контрольные вопросы, задачи, упражнения
- •4 Средства измерительной техники
- •4.1 Общие положения и определения
- •Мера Компа- Вычислит. Измерительный Измер.
- •4.2. Метрологические характеристики сит и их нормирование
- •4.2.1 Характеристики, предназначенные для определения результатов измерений
- •4.2.2 Характеристики погрешностей сит
- •4.2.3 Характеристики чувствительности сит к влияющим величинам
- •4.2.4 Динамические характеристики сит
- •4.2.5 Характеристики взаимодействия сит с объектом измерения на входе или выходе сит
- •4.2.6 Неинформативные параметры выходного сигнала сит
- •4.3 Основные методы измерений
- •4.3.1 Метод сопоставления
- •4.3.2 Метод совпадения
- •Отсюда погрешность метода совпадения будет равна
- •4.3.3 Метод замещения
- •4.3.4 Дифференциальный метод
- •4.3.4 Нулевой метод
- •4.4 Обобщенные структурные схемы сит
- •4.4.1 Схема прямого преобразования
- •4.4.2 Структурная схема уравновешенного преобразования
- •2. Режим полного уравновешивания.
- •4.5 Погрешности сит
- •4.5.1 Погрешности квантования
- •4.5.2 Динамические погрешности
- •4.5.3 Погрешность, обусловленная взаимодействием сит с объектом на его входе и выходе
- •4.6 Контрольные вопросы, задачи и упражнения
- •Приложение а
- •Списоклитературы
2.3.3 Минимизация случайной погрешности
Уменьшить случайную погрешность можно, определяя оценку математического ожидания многократных наблюдений измеряемой величины Х. В этом случае за результат измерения, как правило, принимается среднее арифметическое результатов наблюдений
.
Поскольку определяется по конечному числу наблюдений, то является случайной величиной.
Дисперсия среднего арифметического результатов наблюдений вn раз меньше дисперсии однократного наблюдения
Поэтому, принимая за результат измерения , можно ожидать уменьшения случайной погрешности.
Границы погрешности среднего арифметического будут, очевидно, определяться выражением
. (2.47)
Для определения границ погрешности среднего арифметического необходимо знать его закон распределения.
Центральная предельная теорема теории вероятности гласит: если имеется n независимых случайных величин распределенных по одному и тому же закону с математическим ожиданиеми дисперсией, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному. Считается, что при n > 20…30 центральная предельная теорема соблюдается, поэтому в этом случае значения доверительного коэффициента в выражении (2.47) берется из таблицы для нормального распределения.
Если n < 20…30, то распределение уже нельзя считать нормальным. Как же определитьдля этого случая?
Доверительная вероятность для равна
.
Деля обе части неравенства на
,
получаем
. (2.48)
Обозначим , тогда
где - интегральная функция распределения величины Т.
Закон распределения Т зависит от закона распределения и числа наблюденийn.
Из теории вероятности известно, что если величина распределена по нормальному закону, то величина Т распределена по так называемому закону Стьюдента с k = (n-1) степенью свободы.
Плотность распределения Стьюдента имеет вид (рис.2.12)
.
С ростом n распределения Стьюдента приближается к нормальному и при n>20…30 уже неотличимо от него (рис 2.13).
Таким образом, если известно, что результаты отдельных наблюдений распределены по нормальному закону, то при числе наблюдений n=2…20 при определении границ случайной погрешности доверительный коэффициент берется из таблиц распределения Стьюдента для(n-1)-й степени свободы и заданной доверительной вероятности . Зависимость коэффициента Стьюдента приведена на рис. 2.13 и в табл. А5.
При отсутствии таблиц с распределением Стьюдента, значение коэффициента дляn=6…20 можно определить приближенно (с погрешностью до 20%) по формуле
,
где - доверительный коэффициент для нормального распределения.
Более точно (с погрешностью не более 5%) значение коэффициента для n > 4 и > 0,9 можно аппроксимировать выражением
2.4 Грубые погрешности и промахи
Грубые погрешности и промахи являются особым видом случайных погрешностей. Грубые погрешности вызваны, как правило, резкими кратковременными изменениями условий измерений: механическими толчками, вибрациями, колебаниями внешних условий, скачками питающего напряжения. Промахи относятся к личным погрешностям и обусловлены неправильными действиями оператора (некорректное считывание показаний прибора, неправильной их записью и т.п.) И те, и другие погрешности вызывают заметные отличия в результатах наблюдений. Такие “подозрительные” результаты не подчиняются закону распределения основной массы результатов наблюдений и должны быть устранены из их числа.
Обнаружение грубых погрешностей и промахов производится с помощью специальных критериев, основанных на аппарате математической статистики.