2.6 Суммирование погрешностей

Погрешность измерения, как правило, вызывается разнообразными одновременно действующими причинами и поэтому может состоять из большого числа n составляющих. Рассмотрим, как из этих составляющих (считаемых независимыми) формируется результирующая погрешность

.

Каждую из составляющих можно рассматривать как случайную величину, имеющую свой закон распределения. Очевидно, что закон распределениярезультирующей погрешностиявляетсякомпозицией законов распределения составляющих. При этом математическое ожидание и дисперсия распределения результирующей погрешности является суммой соответственно математических ожиданий и дисперсий составляющих

; (2.56)

. (2.57)

Известно, что каждая из составляющих включает в себя две компоненты – случайную и систематическую. Из вероятностного представления погрешности (рис. 2.2) следует, что поскольку ,и, то

, (2.58)

. (2.59)

Таким образом, при формировании результирующей погрешности ,систематические составляющие суммируются арифметически.

Случайные погрешности характеризуются своими границами , поэтому такой подход к их суммированию применен быть не может. Действительно, как следует из (2.59), границы случайной компоненты результирующей погрешности будут равны

. (2.60)

Если известны не СКО случайных погрешностей , а их границы , то выражение (2.60) можно переписать в следующем виде

. (2.61)

Таким образом, границы суммарной погрешности будут определяться выражением

. (2.62)

Значение доверительного коэффициента в выражениях (2.60) - (2.62) зависит от доверительной вероятности и вида суммарного распределения случайных составляющих погрешности. Последнее зависит от числа случайных составляющих m и их законов распределения (табл. 2.5).

Таблица 2.5 - Границы погрешности и доверительный коэффициентдля суммыm случайных погрешностей

Законы распределения
Известны	- определяется для композиции законов распределения	- для нормального закона
Нормальные	- для нормального закона
Неизвестны (считаются равномерными)	- для композиции равномерных законов распределения (табл. 2.6)		- для нормального закона

Для m> 4, независимо от законов распределения , их композиция близка к нормальному закону, поэтому (см. табл.2.1). Композиция нормальных законов распределения для любогоm также является нормальным распределением, поэтому

. (2.63)

При неизвестном законе распределения считают, что любое значение погрешности на доверительном интервале равновероятно, поэтому закон распределения всех принимается равномерным. Для равномерного закона (для P = 1), поэтому для m>4

. (2.64)

При доверительный коэффициентопределяется для композицииm равновероятных законов распределения, для которой (при равных )

. (2.65)

При m=2 композиция дает треугольное распределение (для ); при m=3 - параболическое распределение (для ) и т.д.

Значения коэффициентов для композиции равномерных законов распределения приведены в табл.2.6.

Таблица 2.6 - Значения для композицииm равномерных законов распределения

PД	0,9	0,95	0,99	0,9973
m=2	1,675	1,901	2,204	2,332
m=3	1,661	1,937	2,379	2,598
m=4	1,658	1,94	2,445	2,73
(нормальный)	1,64	1,96	2,58	3

Если неизвестные законы распределения заданы границами , то при m<4

(2.66)

Зависимость коэффициента от доверительной вероятностиP_Д и соотношения между погрешностями приведена на рис.2.18. Как видно из рис. 2.18 максимальное значение достигается приc=1 и равно , гдерассчитывается по формуле (2.65) (табл. 2.6).

Для нахождения композиции известных законов распределения p₁, p₂ можно воспользоваться уравнением свертки

, (2.67)

где - переменная интегрирования, имеющая размерность погрешности.

Однако найти решение (2.67) в аналитическом виде можно далеко не всегда. Кроме того, на практике могу быть известны не законы распределения составляющих случайных погрешностей, а их гистограммы, получаемые в результате практических исследований . В этом случае можно найти гистограмму результирующего распределения, воспользовавшисьметодом перебора, основанном на дискретном представлении выражения (2.67)

Рисунок 2.18 – зависимость от числа слагаемых и их соотношения

(2.68)

Здесь - ширина столбиков гистограмм; - их высота; - абсциссы середин первых столбиков гистограмм; l, k - число столбиков гистограмм ().

Расписывая это уравнение для разных значений , получаем

Таким образом, результирующая гистограмма будет содержать l+k-1 столбиков.

Необходимым условием осуществления метода перебора является одинаковая ширина столбиков гистограмм. В этом случае методика определения гистограммы результирующего распределения сводится к следующим операциям.

1. Гистограмма эмпирических законов распределения, заданные в табличной форме, представляются в виде верхней строки и левого столбца таблицы 2.7.

2. В клетках таблицы, находящихся на пересечении столбца и строкизаписываются произведения высот столбикови сумма их абсцисс .

3. Производится суммирование всех произведений , соответствующих одинаковым значениям абсцисс. Эти произведения, как видно из таблицы, находятся на одной диагонали.

4. Полученные суммы умножают на ширину столбика гистограммы и получают значение высот столбиков гистограммы композиции законов распределения, которые представляют в табличной форме аналогично первоначальным гистограммам.

Нахождение композиции законов распределения производится по указанной методике последовательно раз.

Если законы распределения заданы аналитически, то высоты столбиков гистограммы определяется по формуле

. (2.69)

Таблица 2.7 - Таблица для построения гистограмм композиции двух законов распределений

Для простых законов распределения (треугольный, равномерный) можно определять высоты столбиков гистограмм как значения дифференциальной функции распределения в точках, соответствующих серединам столбиков. Однако, для законов распределения с нелинейным изменением плотности вероятности на интервале (например - арксинусное) необходимо прибегать к формуле (2.69), т.к. в противном случае это приведет к существенным погрешностям. Графически результат композиции законов распределения выглядит так, как это показано на рис. 2.19.

Математическое ожидание и дисперсию результирующего закона распределения можно найти по формулам

(2.70)

(2.71)

Границы погрешности можно определить непосредственно из гистограммы, находя границы доверительного интервала, соответствующего заданной доверительной вероятности. Последняя соответствует площади под гистограммой, ограниченной перпендикулярами, возведенными из точек на оси абсцисс, соответствующих границам погрешности (рис. 2.19).

Рисунок 2.19 – Композиция 2-х законов распределения случайных погрешностей