Математика для инженеров(практика) I часть
.pdf12) |
(80 -11x3 + 4x4;10 - 2x3 + x4; x3; x4 ) ; 13) |
|
æ |
5 |
; |
1 |
|
|
; |
1 |
; |
|
3 |
|
ö |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
æ |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ17 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) |
ç |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
; 2 |
|
+ |
|
3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
; x3 ; x4 ÷ |
; 15) |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
;- |
|
|
|
|
|
; |
- |
|
|
|
|
÷ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) |
æ |
3 + |
|
|
|
x4 |
|
- |
3x5 |
;-5 + |
|
|
x4 |
+ |
|
x5 |
;28 - x |
|
|
|
+ x ; x ; x |
|
|
ö |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
17) |
æ |
15 |
- |
|
|
x |
4 |
|
; |
16 |
|
+ |
|
7 x |
4 |
|
|
; |
20 |
|
|
|
+ |
|
13x |
4 |
|
; x4 |
ö |
; 18) (13 - 7x4;8 - 5x4;3 + 2x4; x4 ) ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
33 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) |
æ |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
4 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
40x |
4 |
|
|
|
|
|
|
ö |
; 20) |
|
|
æ 25 |
|
|
; |
31 |
; - |
|
1 |
|
|
; |
23 ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
; x4 ÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
29 |
|
|
29 |
|
|
|
29 |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21) |
нет решений.; 22) |
æ |
|
11 |
;- |
|
3 |
;- |
|
1 |
;-1ö |
; 23) |
|
æ |
31 |
+ |
|
10x4 |
; |
|
13 |
+ |
6x4 |
;14 + |
9x4 |
; x |
ö |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 2 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24) |
æ |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
- 2x ;-10 + 8x |
|
|
|
|
|
- 3x ;- |
x4 |
+ x ; x |
|
|
|
; x |
|
ö |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25) |
æ |
31 |
+ |
10x4 |
; |
13 |
+ |
|
|
6x4 |
;14 + |
9x4 |
; x |
|
|
ö; |
26) |
|
æ - |
|
3 |
;- |
9 |
;- |
|
27 |
|
|
+ x ;- |
|
3 |
- x ; x |
|
ö |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
8 8 16 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
5 5 ÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ |
- |
|
2 |
|
; |
|
- |
|
|
1 |
; - |
4 |
|
; |
7 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
5 |
|
|
; - |
1 |
|
|
; - |
1 |
|
; |
- |
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27) |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ ; 28) |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29) |
æ |
8 - |
|
|
2x4 |
+ |
x5 |
;2 + |
|
x4 |
+ |
x5 |
;1+ |
11x4 |
- |
x5 |
; x |
|
|
; x |
|
|
|
ö |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30) |
æ |
-x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
10x5 |
; |
2x5 |
; |
3x4 |
|
- |
11x5 |
; x |
|
|
|
; x |
ö ; 31) (4;4;8;4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
32) |
æ1+ |
|
x4 |
; |
5 |
+ |
x4 |
; |
8 |
+ |
|
|
3x4 |
; x ; |
11 |
- |
20x4 |
|
ö |
|
; 33) (5;–5;–15;–5); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
14 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
34) |
(–3;–3;–2;0); 35) |
æ |
|
|
2 - |
3x4 |
+ |
x5 |
;3 - |
5x4 |
+ |
x5 |
; |
7 |
+ |
3x4 |
- |
x5 |
; x ; x |
ö |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
; 37) (-10 |
+ 5x4;-16 + 8x4;-8 + 4x4; x4 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36) |
ç |
6;-2 + |
|
|
|
|
|
|
|
;-7 + |
|
4 |
|
|
|
; x4 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
38) |
(–4;–7;–27;–1); 39) |
æ |
4 + x ;-11- 6x ;- |
15 |
- |
7x4 |
; x |
ö |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
40) |
æ |
- |
2 |
+ |
x5 |
;2 + |
x5 |
; |
4 |
+ |
x5 |
;- |
8 |
+ x ; x |
ö |
|
. 4. 1) æ |
- |
151 |
; |
143 |
; |
101 |
ö ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
87 87 29 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
71
2) несовместна; 3) несовместна; 4) |
æ |
879 |
; - |
168 |
; - |
171 |
ö |
; 5) несовместна; |
||
ç |
|
|
|
|
÷ |
|||||
305 |
305 |
305 |
||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
6) |
æ |
8 |
; |
3 |
; - |
12 |
ö |
; 7) (402;136;–80); 8) |
æ |
- |
8 |
; |
96 |
;- |
16 |
ö |
; 9) несовместна; |
||
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|||||||||
25 |
5 |
25 |
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
ø |
|
10) |
æ |
13 |
;14; |
- |
73 |
ö |
; 11) |
æ |
9 |
; 2; |
-2; - |
3 |
ö |
; 12) несовместна; 13) несовместна; |
||
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
è |
|
|
ø |
|
14) (–11;–3;44;11); 15) |
æ |
3 |
|
; |
14 |
;- |
|
|
5 |
;- |
12 ö |
|
; 16) несовместна; 17) (1;2;0;–1); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
17 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
18) |
|
|
æ |
7 |
|
|
2 |
|
|
1 |
ö |
; 19) |
|
æ |
-7; |
|
21 |
|
|
|
|
ö |
; 20) |
|
(-15;-6;-14) ; 21) несовместна; 22) несо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
;28÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
6 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вместна; 23) (0;1;0;1); 24) (3;1;0;–4); 25) |
æ1- |
4x4 |
;-1- |
3x4 |
;- |
3 |
+ |
14x4 |
; x |
ö |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
||||||||||||
26) (–1;2;3;1); 27) несовместна; 28) (−1;−2;−3) ; 29) |
æ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç1 |
- |
|
3 |
;- |
|
|
|
- |
|
3 |
; x3 ÷ ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
||||||||||
30) несовместна. 5. 1) (-1;4;0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-2;0;-2) ; 2) |
|
æ13 |
|
9 |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0;8;2) , |
|
ç |
|
|
|
|
; |
|
|
|
;0÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 5 |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(0;-6;13), |
|
|
(2;0;3) ; 3) (7;0;-2), (5;-2;0) , |
|
(0;-7;5) ; 4) (0;-2;-3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
æ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ö æ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
; 5) |
|
æ |
|
5 |
|
|
|
15 |
ö |
, (-1;0;3) , (-5;-5;0) ; 6) |
|
æ |
|
|
34 |
|
18 |
ö |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç - |
|
|
|
|
|
;0;- |
|
|
|
÷, |
ç |
- |
|
|
|
;7;0÷ |
|
ç0; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
0; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
÷ |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ø è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||||||||||||||||||||
æ 34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
-40;0) ; 7) (0;-3;-6), |
æ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ö |
|
æ 6 |
;- |
3 |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
;0; |
|
|
|
|
|
÷ |
, |
(18; |
ç |
|
|
|
;0; |
|
|
|
÷, |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
;0 |
÷ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è 13 |
|
|
|
|
|
|
|
13 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è 5 |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
11ö |
|
æ |
|
|
3 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
ö |
|
æ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
62 |
|
14 |
ö |
|
|
|
|
|
|
æ |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
|
ç |
- |
|
|
|
|
|
;0; |
|
|
|
÷ |
, |
ç |
- |
|
|
|
|
;- |
|
|
|
|
|
;0 |
÷ , |
|
ç0; |
|
|
; |
|
|
|
|
÷ |
|
; 9) |
|
|
ç |
0; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
÷ |
, |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
;0;- |
|
|
|
|
÷, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
8 ø |
|
è |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(7;2;0) ; 10) (1;2;0), |
|
|
(0;-8;-4) , |
|
|
ç |
|
|
;0;- |
|
|
|
÷ |
; 11) |
ç |
|
|
|
;0;1÷ |
, |
|
ç0;1; |
|
|
|
÷ |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
2 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
æ |
- |
|
1 |
;2;0 |
ö |
; 12) |
|
|
æ |
- |
3 |
;0; |
9 ö |
, (0;-1;1) , |
|
æ 3 |
;- |
9 |
;0 |
ö |
; 13) (-5;0; |
-19), |
|
|
|
(0;5;-4), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
æ |
4 |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 |
|
|
23 |
|
|
17 |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
æ12 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
34 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
;0 |
÷ ; 14) (0;2;0), (8;0;8) ; 15) |
|
ç |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
;0÷ |
, |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
; |
|
;0; |
|
|
|
÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
è 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
46 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
20 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(0;16;12;-2),ç |
|
|
|
;0;- |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
÷ ; 16) |
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
;- |
|
|
|
;0 |
÷, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-8;0;0;-4),(0;16;-16;20) ; 17) (-5;3;6;0),(-8;0;3;3) , (0;8;11;-5), (-11;-3;0;6) . 6. 1) Если a = 1 , то (x; y; z;1- x - y - z) ; если a ¹ 1 , то
72
æ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
æ 2(a2 |
- 4) |
|
4(2 - a) |
|
2(a - 4) |
ö |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
; 2) ç |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
÷ ; |
|
|
|
|||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
a(a |
- 3) a(a - 3) a(a - 3) |
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
è a + 3 a + 3 a + |
3 a + 3 ø |
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
æ 1+ 4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5-2a |
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
æ |
-a -8 |
; |
|
1 |
|
; |
7 |
; |
4a2 -7a +12 |
ö |
|||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; 4) |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ ; 5) |
||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
-2)(a +1) (a -2)(a +1) |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
-1 |
|
a +1 a +1 |
|
|
|
a |
-1 |
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è (a |
|
a +1ø |
|
|
|
è a |
|
|
|
|
|
|
ø |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
æ |
|
-5a |
; |
|
3 - 8a |
;- |
4 |
|
; |
5 |
ö |
; 6) если a = 0 , то (1- y |
- z; y; z) ; если a ¹ 0 , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2(a -1) |
|
a |
|
|
a - |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è a -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
æ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
æ |
|
2(3a -1) |
|
|
2(a2 -1) |
|
a2 |
|
+ 3a - 2 |
ö |
|
Одно-, двух-, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 7) |
ç - |
|
|
|
|
|
|
|
;- |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ . 7. |
||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
a - 3 |
|
|
|
|
a - 3 |
|
|
|
|
|
a - 3 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||
è a + 3 a + 3 a + |
3 ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
трехкомнатных квартир в доме соответственно 4, 20, 16. 8. Изделий типа A1 - 6, A2 - 4, A3 - 8 штук. 9. 4 цеха обработки, 3 цеха сборки мелких деталей, 2 цеха сборки крупных узлов.
73
ГЛАВА 2
МЕТОД КООРДИНАТ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Cистема координат на плоскости и в пространстве
Рассмотрим числовую ось, т.е. прямую с выбранным на ней направлением и единицей масштаба. Пусть А и В две произвольные точки на оси.
Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из точек А или В считается началом, а какая – концом отрезка.
Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим AB и будем считать, что он направлен от начала к концу. В записи AB букву, обозначающую начало отрезка, пишут первой, а букву, обозначающую его конец, – второй.
Длиной направленного отрезка |
AB называют расстояние |
||||||||||||
между его концами и обозначают |
|
|
uuur |
или |
|
|
. |
|
|||||
|
|
AB |
|
AB |
|
||||||||
Величиной |
АВ |
направленного |
отрезка AB |
называется |
|||||||||
вещественное число, |
равное |
uuur |
, если направление отрезка и |
||||||||||
AB |
|
||||||||||||
оси совпадают, |
и |
равное |
− |
|
|
uuur |
, |
если |
эти |
направления |
|||
|
AB |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
противоположны.
Пусть на произвольной прямой задан направленный отрезок AB ; тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок АВ в некотором отношении λ , где λ = ± AC : CB . Если
отрезки AC и CB направлены в одну сторону, то λ приписывают знак «+»; если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны, то λ приписывают знак «−». Иными словами, λ положительно, если точка С лежит между
74
точками А и В, и отрицательно, если точка С лежит на прямой вне отрезка АВ.
Пример 1. Доказать, что для любых трех точек А, В и С на оси, на которой выбрана масштабная единица, имеет место соотношение
AB + BC = AC . |
(1) |
Решение. Если все три точки А, В и С различны, то их взаимное расположение может быть таким, как показано на рис. 1. Кроме того, возможны случаи, когда две из точек А, В и С или все три совпадают. В первом случае (см. рис. 1), согласно равенству (1), длина отрезка равна сумме длин его частей, и,
следовательно, оно справедливо. Во |
|
втором случае |
CA + AB = CB , т.е. |
|
AB − CB = −AC или AB + BC = AC . |
|
Пусть теперь точки А и В |
|
совпадают. |
|
Тогда AB + DC = AA + AC = 0 + AC = AC , |
|
т.е. равенство (1) верно. Проверка осталь- |
Рис. 1 |
ных случаев, когда возможны совпадения |
точек аналогична. □ |
|
10. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 2), образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Отметим, единица масштаба на осях Ох, Оу может быть разной.
Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.
Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется
координатной плоскостью и обозначается Оху.
Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ соответственно на оси Ох и Оу.
Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков OA
и OB : x = OA, y = OB.
75
Рис. 2 Рис. 3 Координаты х и у точки М называются, соответственно, ее
абсциссой и ординатой (обозначение M (x; y) ). Точка О имеет координаты (0;0).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют
четвертями, квадрантами или координатными углами и
нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 3. На рис. 3 также указаны знаки координат точек в зависимости от их расположения в той или иной четверти.
Для любых двух точек M1(x1; y1) и M2 (x2 ; y2 ) плоскости расстояние d между ними выражается формулой
|
|
|
|
d = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 . |
(2) |
Координаты точки C(x; y) , делящей отрезок между
точками A(x1, y1) и B(x2 , y2 ) в заданном отношении λ , определяются по формулам
|
x = |
x1 + λx2 |
; y = |
y1 + λ y2 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
1+ λ |
|
|
1+ λ |
|||||||||
Пример 2. Даны точки M1(−2;3) |
и M2 (5;4) . Найти расстояние |
|||||||||||||
между ними. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Пользуясь формулой (2), находим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
= 5 |
|
. □ |
|||||
d = (5 − (−2))2 + (4 − 3)2 = |
||||||||||||||
|
49 +1 |
50 |
2 |
76
Пример 3. Даны точки A(0;1), B(−2;3) и C(1;4). Найти
площадь треугольника АВС.
Решение. І-ый способ. Найдем по формуле (2) длины стороны треугольника: AB = 4 + 4 = 8 = 22; BC = 9 +1 = 10;
|
AC |
= |
1+ 9 |
= |
10. |
|
|
Для вычисления |
площади |
|
треугольника |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
воспользуемся формулой Герона S = |
p( p - |
|
AB |
|
)( p - |
|
AC |
|
)( p - |
|
BC |
|
) , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
где р − полупериметр треугольника, т.е. |
p = |
|
AB |
|
+ |
|
AC |
|
+ |
|
BC |
|
|
. Имеем, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
с учетом, что p = |
|
+ |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S= (10 + 2) × 2 × 2 × (10 + 2 - 8) = 2(12 + 45 - 45 - 4) =
=16 = 4 .
ІІ-ой способ. |
|
|
Плащадь |
|
треугольника |
АВС |
с вершинами |
|||||||||||||
A(x1; y1), B(x2; y2 ), C(x3; y3) определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S = |
1 |
|
|
x (y |
|
- y ) + x ( y - y ) + x ( y - y |
|
|
) |
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
1 |
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
1 |
|
|
(x - x )(y - y ) - (x - x )(y |
2 |
- y ) |
|
. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
1 |
3 |
1 |
|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя соответствующие координаты вершин данного треугольника будем иметь S = 12 0 + (-2) ×3 +1×(-2) = 12 -8 = 4. □
Пример 4. Даны точки M1(1;1) и M2 (7;4) − концы отрезка
M1M2 . Найти на этом отрезке точку M (x; y) , которая в два раза ближе к точке M1 , чем к точке M2 .
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
λ = |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
Решение. Так как |
|
|
= |
|
|
|
, то |
|
|
|
|
= |
|||||||||||
M1M |
MM2 |
M1M |
MM2 |
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем x1 =1, y1 =1, x2 = 7, y2 = 4 . Следовательно
1+ |
1 |
×7 |
|
9 |
3 |
|
1+ |
1 |
× 4 |
|
3 |
|
|||||
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
x = |
|
|
|
|
= |
|
: |
|
= 3, y = |
|
|
|
|
|
= 3: |
|
= 2, |
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
||||||
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
77
то есть M (3;2) . □
20. Прямоугольная декартова система координат в
пространстве. |
Такая |
система |
координат Охуz определяется |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
заданием |
масштабной единицы |
|||||
|
|
|
|
|
|
измерения |
|
длин |
и |
|
трех |
|
|
|
|
|
|
|
пересекающихся в |
одной |
точке |
||||
|
|
|
|
|
|
взаимно перпендикулярных осей: |
||||||
|
|
|
|
|
|
Ох, Оу, Оz. Точка О – начало |
||||||
|
|
|
|
|
|
координат, Ох – ось абсцисс, Оу |
||||||
|
|
|
|
|
|
– ось ординат, Оz – ось аппликат. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пусть М – |
произвольная |
||||
|
|
|
|
|
|
точка пространства (рис. 4). |
М |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Опустим |
из |
точки |
|||
|
|
|
|
|
|
перпендикуляры |
MM0 |
|
(на |
|||
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
плоскость Оху) и MM1 (на плоскость |
Оxz). Из точки |
M0 |
||||||||||
опустим перпендикуляры |
M0M x |
и M0M y |
соответственно на оси |
|||||||||
Ох и Оу, а из точки M1 |
опустим перпендикуляр M1M z на ось Оz. |
|||||||||||
Прямоугольными |
координатами точки |
М |
называют |
числа |
||||||||
x = OM x , y = OM y , |
z = OM z , |
при этом х называют абсциссой, у |
||||||||||
– ординатой, а |
z – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аппликатой точки М. Обозначение M (x; y; z) .
Плоскости Оху, Оуz, Охz назовем координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей,
называемых октантами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Расстояние между |
двумя |
точками M1(x1; y1; z1) |
и |
|||||||
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) определяется так: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d = (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 . |
(3) |
|||||||||
Если отрезок с концами в точках M1 и M2 разделен |
||||||||||
точкой M (x; y; z) в отношении λ , то |
|
|
|
|
|
|
||||
x = |
x1 + λ x2 |
, y = |
y1 + λ y2 |
, z = |
z1 + λ z2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
1+ λ |
|
1+ λ |
|
|
1+ λ |
|
78
При |
λ = 1 точка |
М делит |
отрезок |
M1M2 пополам, и |
||||||||||||||||||
формулы принимают вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
xср = |
x1 + x2 |
, yср |
= |
y1 + y2 |
, zср = |
z1 + z2 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Пример 5. Даны точки M1(4;8;-4) и M2 (-4;8;4) . |
На отрезке |
|||||||||||||||||||||
M1M2 найти точку M , которая делит его в отношении λ = 6. |
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Так |
как |
x1 = 4, y1 = 8, z1 = -4, x2 = -4, y2 = 8, z2 = 4, |
||||||||||||||||||||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
4 + 6×(-4) |
= - |
20 |
, y = |
8 + 6 ×8 |
= |
56 |
= 8, z = |
-4 + 6 × 4 = |
20 |
. |
|||||||||||
7 |
7 |
|
|
7 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
20 |
|
20 |
ö |
|
|
||||
|
Таким образом, искомая точка M ç |
- |
|
;8; |
|
÷ . □ |
|
|
||||||||||||||
|
7 |
7 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
Пример 6. На оси Ох найти точку М, равноудаленную от точек
M1(4;-8;10) и M2 (-6;4;14).
Решение. Так как искомая точка лежит на оси Ох, то она имеет координаты M (x;0;0). Найдем расстояния d1 и d2 от этой точки до
точек M1 и M2 соответственно:
d1 = (x - 4)2 + 82 + (-10)2 = x2 - 8x +180 ,
d2 = (x + 6)2 + (-4)2 + (-14)2 = x2 +12x + 248.
По условию d1 = d2 . Для определения координаты х имеем уравнение:
x2 +12x = 248 = x2 - 8x +180.
Откуда 20x = −68 или x = −3,4. Искомая точка M (−3,4;0;0). □
Пример 7. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами M1(4;6;8), M2 (6;2;4) и M3 (8;-2;6).
Решение. Центром тяжести треугольника называется точка пересечения его медиан. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем координаты точки М − середины отрезка M1M2 . Имеем
79
x = |
4 + 6 |
= 5, y = |
6 + 2 |
= 4, z |
ср |
= |
4 + 8 |
= 6. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
ср |
2 |
|
|
ср |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Точка О, центр тяжести, делит отрезок M3M в отношении 2:1, |
|||||||||||||||
считая от точки M3 . |
|
Следовательно, координаты точки О |
|||||||||||||
определяются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = |
8 + 2×5 |
|
= 6, y = -2 + 2 × 4 = 2, z = |
6 + 2 ×6 |
= 6. |
||||||||||
|
1+ 2 |
||||||||||||||
|
|
1+ 2 |
|
|
|
1+ 2 |
|
|
|
|
Таким образом, имеем O(6;2;6) . □
30. Полярная система координат. Кроме декартовой системы координат на плоскости широко используется
полярная система координат. Эта система состоит из точки О,
называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Задается также единица масштаба для измерения длин отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть М – любая точка плоскости. Обозначим через ρ расстояние от точки
М до точки О, а через ϕ − угол, на который нужно повернуть
против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом
ОМ (рис. 5).
Полярными координатами точки М называются числа ρ и ϕ . Число ρ считают первой координатой и называют полярным радиусом, число ϕ – второй координатой и называют полярным углом.
Рис. 5 |
Рис. 6 |
80