Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf
Скачиваний:
114
Добавлен:
18.02.2016
Размер:
2.81 Mб
Скачать

12)

(80 -11x3 + 4x4;10 - 2x3 + x4; x3; x4 ) ; 13)

 

æ

5

;

1

 

 

;

1

;

 

3

 

ö

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ17

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

4

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14)

ç

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

3

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

; 2

 

+

 

3

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

4

 

 

; x3 ; x4 ÷

; 15)

ç

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;-

 

 

 

 

 

;

-

 

 

 

 

÷

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

6

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16)

æ

3 +

 

 

 

x4

 

-

3x5

;-5 +

 

 

x4

+

 

x5

;28 - x

 

 

 

+ x ; x ; x

 

 

ö

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

4

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17)

æ

15

-

 

 

x

4

 

;

16

 

+

 

7 x

4

 

 

;

20

 

 

 

+

 

13x

4

 

; x4

ö

; 18) (13 - 7x4;8 - 5x4;3 + 2x4; x4 ) ;

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

11

 

33

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19)

æ

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

13x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

4

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

40x

4

 

 

 

 

 

 

ö

; 20)

 

 

æ 25

 

 

;

31

; -

 

1

 

 

;

23 ö

 

 

 

 

ç

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

; x4 ÷

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

;

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

29

 

 

29

 

 

 

29

 

 

 

29

 

 

 

 

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 ø

 

 

 

 

21)

нет решений.; 22)

æ

 

11

;-

 

3

;-

 

1

;-1ö

; 23)

 

æ

31

+

 

10x4

;

 

13

+

6x4

;14 +

9x4

; x

ö

;

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 7

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

24)

æ

5x

 

 

 

 

 

 

 

- 2x ;-10 + 8x

 

 

 

 

 

- 3x ;-

x4

+ x ; x

 

 

 

; x

 

ö

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

4

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5 ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25)

æ

31

+

10x4

;

13

+

 

 

6x4

;14 +

9x4

; x

 

 

ö;

26)

 

æ -

 

3

;-

9

;-

 

27

 

 

+ x ;-

 

3

- x ; x

 

ö

;

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

8 8 16

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

8

 

 

5 5 ÷

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

æ

-

 

2

 

;

 

-

 

 

1

; -

4

 

;

7 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

5

 

 

; -

1

 

 

; -

1

 

;

-

 

1 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27)

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷ ; 28)

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

9

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29)

æ

8 -

 

 

2x4

+

x5

;2 +

 

x4

+

x5

;1+

11x4

-

x5

; x

 

 

; x

 

 

 

ö

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30)

æ

-x

 

 

 

 

 

 

 

 

+

10x5

;

2x5

;

3x4

 

-

11x5

; x

 

 

 

; x

ö ; 31) (4;4;8;4);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32)

æ1+

 

x4

;

5

+

x4

;

8

+

 

 

3x4

; x ;

11

-

20x4

 

ö

 

; 33) (5;–5;–15;–5);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

14

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34)

(–3;–3;–2;0); 35)

æ

 

 

2 -

3x4

+

x5

;3 -

5x4

+

x5

;

7

+

3x4

-

x5

; x ; x

ö

;

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

4

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

; 37) (-10

+ 5x4;-16 + 8x4;-8 + 4x4; x4 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

36)

ç

6;-2 +

 

 

 

 

 

 

 

;-7 +

 

4

 

 

 

; x4 ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38)

(–4;–7;–27;–1); 39)

æ

4 + x ;-11- 6x ;-

15

-

7x4

; x

ö

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40)

æ

-

2

+

x5

;2 +

x5

;

4

+

x5

;-

8

+ x ; x

ö

 

. 4. 1) æ

-

151

;

143

;

101

ö ;

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5 ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

87 87 29

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

71

2) несовместна; 3) несовместна; 4)

æ

879

; -

168

; -

171

ö

; 5) несовместна;

ç

 

 

 

 

÷

305

305

305

 

è

 

 

ø

 

6)

æ

8

;

3

; -

12

ö

; 7) (402;136;–80); 8)

æ

-

8

;

96

;-

16

ö

; 9) несовместна;

ç

 

 

 

÷

ç

 

 

 

 

÷

25

5

25

7

7

7

 

è

 

 

ø

 

è

 

 

 

ø

 

10)

æ

13

;14;

-

73

ö

; 11)

æ

9

; 2;

-2; -

3

ö

; 12) несовместна; 13) несовместна;

ç

 

 

 

÷

ç

 

 

÷

2

2

2

2

 

è

 

 

ø

 

è

 

 

ø

 

14) (–11;–3;44;11); 15)

æ

3

 

;

14

;-

 

 

5

;-

12 ö

 

; 16) несовместна; 17) (1;2;0;–1);

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

17

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18)

 

 

æ

7

 

 

2

 

 

1

ö

; 19)

 

æ

-7;

 

21

 

 

 

 

ö

; 20)

 

(-15;-6;-14) ; 21) несовместна; 22) несо-

 

 

ç

 

 

 

 

;

 

 

 

;

 

 

 

÷

 

ç

 

 

 

 

 

;28÷

 

 

 

2

 

3

6

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вместна; 23) (0;1;0;1); 24) (3;1;0;–4); 25)

æ1-

4x4

;-1-

3x4

;-

3

+

14x4

; x

ö

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

26) (–1;2;3;1); 27) несовместна; 28) (−1;−2;−3) ; 29)

æ

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

ç1

-

 

3

;-

 

 

 

-

 

3

; x3 ÷ ;

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

30) несовместна. 5. 1) (-1;4;0),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-2;0;-2) ; 2)

 

æ13

 

9

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0;8;2) ,

 

ç

 

 

 

 

;

 

 

 

;0÷,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 5

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0;-6;13),

 

 

(2;0;3) ; 3) (7;0;-2), (5;-2;0) ,

 

(0;-7;5) ; 4) (0;-2;-3),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 ö æ

 

3

 

 

 

 

 

 

 

ö

; 5)

 

æ

 

5

 

 

 

15

ö

, (-1;0;3) , (-5;-5;0) ; 6)

 

æ

 

 

34

 

18

ö

 

ç -

 

 

 

 

 

;0;-

 

 

 

÷,

ç

-

 

 

 

;7;0÷

 

ç0;

 

 

 

;

 

 

 

 

÷

 

ç

0;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

÷

,

3

 

 

 

2

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

5

 

 

5

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ø è

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

æ 34

 

 

 

 

 

 

 

 

40 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

-40;0) ; 7) (0;-3;-6),

æ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

ö

 

æ 6

;-

3

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

;0;

 

 

 

 

 

÷

,

(18;

ç

 

 

 

;0;

 

 

 

÷,

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

;0

÷ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 13

 

 

 

 

 

 

 

13 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 2

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

è 5

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

11ö

 

æ

 

 

3

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

ö

 

æ

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

62

 

14

ö

 

 

 

 

 

 

æ

31

 

 

 

 

 

 

 

1 ö

 

 

 

 

8)

 

ç

-

 

 

 

 

 

;0;

 

 

 

÷

,

ç

-

 

 

 

 

;-

 

 

 

 

 

;0

÷ ,

 

ç0;

 

 

;

 

 

 

 

÷

 

; 9)

 

 

ç

0;

 

 

;

 

 

 

 

 

÷

,

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

;0;-

 

 

 

 

÷,

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

8 ø

 

è

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

ø

 

è

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

ø

 

 

 

 

 

 

è

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

1

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

1

 

ö

 

 

 

 

 

 

(7;2;0) ; 10) (1;2;0),

 

 

(0;-8;-4) ,

 

 

ç

 

 

;0;-

 

 

 

÷

; 11)

ç

 

 

 

;0;1÷

,

 

ç0;1;

 

 

 

÷

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

2

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

è

 

 

 

 

 

2

 

ø

 

 

 

 

 

 

æ

-

 

1

;2;0

ö

; 12)

 

 

æ

-

3

;0;

9 ö

, (0;-1;1) ,

 

æ 3

;-

9

;0

ö

; 13) (-5;0;

-19),

 

 

 

(0;5;-4),

ç

 

 

 

 

 

÷

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

è

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

5 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

4

 

 

 

 

19

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 1

 

 

23

 

 

17

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

æ12

 

 

 

4

 

 

 

 

 

34 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

;

 

 

 

 

 

;0

÷ ; 14) (0;2;0), (8;0;8) ; 15)

 

ç

 

 

 

;

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

;0÷

,

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

;

 

;0;

 

 

 

÷,

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

è 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

16

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

46 ö

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

20

 

 

8

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0;16;12;-2),ç

 

 

 

;0;-

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

÷ ; 16)

 

 

 

ç

-

 

 

 

 

 

 

;

 

 

;-

 

 

 

;0

÷,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

9

 

9

 

 

 

 

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-8;0;0;-4),(0;16;-16;20) ; 17) (-5;3;6;0),(-8;0;3;3) , (0;8;11;-5), (-11;-3;0;6) . 6. 1) Если a = 1 , то (x; y; z;1- x - y - z) ; если a ¹ 1 , то

72

æ

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ö

 

 

 

æ 2(a2

- 4)

 

4(2 - a)

 

2(a - 4)

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

; 2) ç

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

÷ ;

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

a(a

- 3) a(a - 3) a(a - 3)

÷

 

 

 

è a + 3 a + 3 a +

3 a + 3 ø

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

æ 1+ 4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-5-2a

 

 

 

1

ö

 

 

 

æ

-a -8

;

 

1

 

;

7

;

4a2 -7a +12

ö

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

; 4)

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷ ; 5)

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

-2)(a +1) (a -2)(a +1)

 

 

 

 

 

 

ç

 

-1

 

a +1 a +1

 

 

 

a

-1

÷

 

 

è (a

 

a +1ø

 

 

 

è a

 

 

 

 

 

 

ø

æ

 

-5a

;

 

3 - 8a

;-

4

 

;

5

ö

; 6) если a = 0 , то (1- y

- z; y; z) ; если a ¹ 0 , то

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

2(a -1)

 

a

 

 

a -

 

è a -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

1

 

 

1

 

 

1

 

ö

 

 

 

æ

 

2(3a -1)

 

 

2(a2 -1)

 

a2

 

+ 3a - 2

ö

 

Одно-, двух-,

 

 

 

 

 

;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 7)

ç -

 

 

 

 

 

 

 

;-

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

÷ . 7.

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

a - 3

 

 

 

 

a - 3

 

 

 

 

 

a - 3

 

 

 

÷

 

 

 

è a + 3 a + 3 a +

3 ø

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

трехкомнатных квартир в доме соответственно 4, 20, 16. 8. Изделий типа A1 - 6, A2 - 4, A3 - 8 штук. 9. 4 цеха обработки, 3 цеха сборки мелких деталей, 2 цеха сборки крупных узлов.

73

ГЛАВА 2

МЕТОД КООРДИНАТ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. Cистема координат на плоскости и в пространстве

Рассмотрим числовую ось, т.е. прямую с выбранным на ней направлением и единицей масштаба. Пусть А и В две произвольные точки на оси.

Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из точек А или В считается началом, а какая – концом отрезка.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим AB и будем считать, что он направлен от начала к концу. В записи AB букву, обозначающую начало отрезка, пишут первой, а букву, обозначающую его конец, – второй.

Длиной направленного отрезка

AB называют расстояние

между его концами и обозначают

 

 

uuur

или

 

 

.

 

 

 

AB

 

AB

 

Величиной

АВ

направленного

отрезка AB

называется

вещественное число,

равное

uuur

, если направление отрезка и

AB

 

оси совпадают,

и

равное

 

 

uuur

,

если

эти

направления

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

противоположны.

Пусть на произвольной прямой задан направленный отрезок AB ; тогда всякая третья точка С этой прямой делит отрезок АВ в некотором отношении λ , где λ = ± AC : CB . Если

отрезки AC и CB направлены в одну сторону, то λ приписывают знак «+»; если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны, то λ приписывают знак «−». Иными словами, λ положительно, если точка С лежит между

74

точками А и В, и отрицательно, если точка С лежит на прямой вне отрезка АВ.

Пример 1. Доказать, что для любых трех точек А, В и С на оси, на которой выбрана масштабная единица, имеет место соотношение

AB + BC = AC .

(1)

Решение. Если все три точки А, В и С различны, то их взаимное расположение может быть таким, как показано на рис. 1. Кроме того, возможны случаи, когда две из точек А, В и С или все три совпадают. В первом случае (см. рис. 1), согласно равенству (1), длина отрезка равна сумме длин его частей, и,

следовательно, оно справедливо. Во

втором случае

CA + AB = CB , т.е.

 

AB CB = −AC или AB + BC = AC .

 

Пусть теперь точки А и В

 

совпадают.

 

Тогда AB + DC = AA + AC = 0 + AC = AC ,

 

т.е. равенство (1) верно. Проверка осталь-

Рис. 1

ных случаев, когда возможны совпадения

точек аналогична.

 

10. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 2), образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Отметим, единица масштаба на осях Ох, Оу может быть разной.

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу осью ординат.

Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется

координатной плоскостью и обозначается Оху.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ соответственно на оси Ох и Оу.

Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков OA

и OB : x = OA, y = OB.

75

Рис. 2 Рис. 3 Координаты х и у точки М называются, соответственно, ее

абсциссой и ординатой (обозначение M (x; y) ). Точка О имеет координаты (0;0).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют

четвертями, квадрантами или координатными углами и

нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 3. На рис. 3 также указаны знаки координат точек в зависимости от их расположения в той или иной четверти.

Для любых двух точек M1(x1; y1) и M2 (x2 ; y2 ) плоскости расстояние d между ними выражается формулой

 

 

 

 

d = (x2 x1)2 + ( y2 y1)2 .

(2)

Координаты точки C(x; y) , делящей отрезок между

точками A(x1, y1) и B(x2 , y2 ) в заданном отношении λ , определяются по формулам

 

x =

x1 + λx2

; y =

y1 + λ y2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ λ

 

 

1+ λ

Пример 2. Даны точки M1(−2;3)

и M2 (5;4) . Найти расстояние

между ними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Пользуясь формулой (2), находим

 

 

 

 

 

=

 

= 5

 

.

d = (5 − (−2))2 + (4 − 3)2 =

 

49 +1

50

2

76

Пример 3. Даны точки A(0;1), B(−2;3) и C(1;4). Найти

площадь треугольника АВС.

Решение. І-ый способ. Найдем по формуле (2) длины стороны треугольника: AB = 4 + 4 = 8 = 22; BC = 9 +1 = 10;

 

AC

=

1+ 9

=

10.

 

 

Для вычисления

площади

 

треугольника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

воспользуемся формулой Герона S =

p( p -

 

AB

 

)( p -

 

AC

 

)( p -

 

BC

 

) ,

 

 

 

 

 

 

где р − полупериметр треугольника, т.е.

p =

 

AB

 

+

 

AC

 

+

 

BC

 

 

. Имеем,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с учетом, что p =

 

+

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S= (10 + 2) × 2 × 2 × (10 + 2 - 8) = 2(12 + 45 - 45 - 4) =

=16 = 4 .

ІІ-ой способ.

 

 

Плащадь

 

треугольника

АВС

с вершинами

A(x1; y1), B(x2; y2 ), C(x3; y3) определяется по формуле

 

 

 

 

 

S =

1

 

 

x (y

 

- y ) + x ( y - y ) + x ( y - y

 

 

)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

2

3

 

2

3

 

1

3

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

(x - x )(y - y ) - (x - x )(y

2

- y )

 

.

 

 

 

2

 

 

2

 

1

3

1

 

3

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя соответствующие координаты вершин данного треугольника будем иметь S = 12 0 + (-2) ×3 +1×(-2) = 12 -8 = 4.

Пример 4. Даны точки M1(1;1) и M2 (7;4) − концы отрезка

M1M2 . Найти на этом отрезке точку M (x; y) , которая в два раза ближе к точке M1 , чем к точке M2 .

 

 

 

 

1

 

 

 

 

λ =

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

1

.

Решение. Так как

 

 

=

 

 

 

, то

 

 

 

 

=

M1M

MM2

M1M

MM2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем x1 =1, y1 =1, x2 = 7, y2 = 4 . Следовательно

1+

1

×7

 

9

3

 

1+

1

× 4

 

3

 

2

 

 

2

 

 

x =

 

 

 

 

=

 

:

 

= 3, y =

 

 

 

 

 

= 3:

 

= 2,

 

 

1

 

2

2

 

 

 

1

 

2

1+

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

77

то есть M (3;2) .

20. Прямоугольная декартова система координат в

пространстве.

Такая

система

координат Охуz определяется

 

 

 

 

 

 

заданием

масштабной единицы

 

 

 

 

 

 

измерения

 

длин

и

 

трех

 

 

 

 

 

 

пересекающихся в

одной

точке

 

 

 

 

 

 

взаимно перпендикулярных осей:

 

 

 

 

 

 

Ох, Оу, Оz. Точка О – начало

 

 

 

 

 

 

координат, Ох – ось абсцисс, Оу

 

 

 

 

 

 

– ось ординат, Оz – ось аппликат.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть М

произвольная

 

 

 

 

 

 

точка пространства (рис. 4).

М

 

 

 

 

 

 

 

Опустим

из

точки

 

 

 

 

 

 

перпендикуляры

MM0

 

(на

 

Рис. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскость Оху) и MM1 (на плоскость

Оxz). Из точки

M0

опустим перпендикуляры

M0M x

и M0M y

соответственно на оси

Ох и Оу, а из точки M1

опустим перпендикуляр M1M z на ось Оz.

Прямоугольными

координатами точки

М

называют

числа

x = OM x , y = OM y ,

z = OM z ,

при этом х называют абсциссой, у

ординатой, а

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аппликатой точки М. Обозначение M (x; y; z) .

Плоскости Оху, Оуz, Охz назовем координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей,

называемых октантами.

 

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние между

двумя

точками M1(x1; y1; z1)

и

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) определяется так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = (x2 x1)2 + ( y2 y1)2 + (z2 z1)2 .

(3)

Если отрезок с концами в точках M1 и M2 разделен

точкой M (x; y; z) в отношении λ , то

 

 

 

 

 

 

x =

x1 + λ x2

, y =

y1 + λ y2

, z =

z1 + λ z2

.

 

 

 

 

 

 

 

1+ λ

 

1+ λ

 

 

1+ λ

 

78

При

λ = 1 точка

М делит

отрезок

M1M2 пополам, и

формулы принимают вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xср =

x1 + x2

, yср

=

y1 + y2

, zср =

z1 + z2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Пример 5. Даны точки M1(4;8;-4) и M2 (-4;8;4) .

На отрезке

M1M2 найти точку M , которая делит его в отношении λ = 6.

 

 

Решение. Так

как

x1 = 4, y1 = 8, z1 = -4, x2 = -4, y2 = 8, z2 = 4,

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

4 + 6×(-4)

= -

20

, y =

8 + 6 ×8

=

56

= 8, z =

-4 + 6 × 4 =

20

.

7

7

 

 

7

 

 

 

 

 

 

7

7

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

20

 

20

ö

 

 

 

Таким образом, искомая точка M ç

-

 

;8;

 

÷ .

 

 

 

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

Пример 6. На оси Ох найти точку М, равноудаленную от точек

M1(4;-8;10) и M2 (-6;4;14).

Решение. Так как искомая точка лежит на оси Ох, то она имеет координаты M (x;0;0). Найдем расстояния d1 и d2 от этой точки до

точек M1 и M2 соответственно:

d1 = (x - 4)2 + 82 + (-10)2 = x2 - 8x +180 ,

d2 = (x + 6)2 + (-4)2 + (-14)2 = x2 +12x + 248.

По условию d1 = d2 . Для определения координаты х имеем уравнение:

x2 +12x = 248 = x2 - 8x +180.

Откуда 20x = −68 или x = −3,4. Искомая точка M (−3,4;0;0).

Пример 7. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами M1(4;6;8), M2 (6;2;4) и M3 (8;-2;6).

Решение. Центром тяжести треугольника называется точка пересечения его медиан. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Найдем координаты точки М − середины отрезка M1M2 . Имеем

79

x =

4 + 6

= 5, y =

6 + 2

= 4, z

ср

=

4 + 8

= 6.

 

 

 

 

ср

2

 

 

ср

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка О, центр тяжести, делит отрезок M3M в отношении 2:1,

считая от точки M3 .

 

Следовательно, координаты точки О

определяются по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

8 + 2×5

 

= 6, y = -2 + 2 × 4 = 2, z =

6 + 2 ×6

= 6.

 

1+ 2

 

 

1+ 2

 

 

 

1+ 2

 

 

 

 

Таким образом, имеем O(6;2;6) .

30. Полярная система координат. Кроме декартовой системы координат на плоскости широко используется

полярная система координат. Эта система состоит из точки О,

называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Задается также единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть М – любая точка плоскости. Обозначим через ρ расстояние от точки

М до точки О, а через ϕ − угол, на который нужно повернуть

против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом

ОМ (рис. 5).

Полярными координатами точки М называются числа ρ и ϕ . Число ρ считают первой координатой и называют полярным радиусом, число ϕ – второй координатой и называют полярным углом.

Рис. 5

Рис. 6

80