Математика для инженеров(практика) I часть

прямой 2x − y + 7 = 0 .

60.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , проходящей через точки (8;33), (−12;62 ).

61.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , проходящей через точки (−9;−210 ), (−6;15) .

62.Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями y = ± 23 x и она проходит через точку (−45;106 ).

63.Найти вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы

x2 − y2 = −1.

9 16 64. Найти вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы

фокусами.

66.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы x = −5 .

67.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,

симметричной относительно оси Oy и проходящей через точку

(3;−5) .

68.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ox и проходящей через точку пересечения прямых 2x + 3y − 5 = 0 и 3x + y − 4 = 0 .

69.Найти точку пересечения директрисы параболы y2 = 5x и прямой

4x − y +1 = 0 .

70.Найти расстояние от точки (2;−1) до фокуса параболы x2 = 24y .

201

71.Дана парабола y2 =16x . Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы перпендикулярно ее оси.

72. Найти точки пересечения параболы x2 = 4y и прямой

2x − 5y + 33 = 0 .

73.Найти точки пересечения парабол y2 =16x и x2 =16y .

74.Найти множество середин отрезков, соединяющих точки окружности x2 + y2 − 4y − 4 = 0 и начало координат.

параболы y2 = 24x .

77.Найти угол между фокальным радиус-вектором точки M (6;62) параболы y2 =12x и биссектрисой I и III координатных четвертей.

78.Установить, какие кривые задают следующие уравнения. Найти их центры симметрии и полуоси:

осью Oy . Найти острый угол, образуемый этой прямой с положительным направлением оси Oy .

202

вписанного в окружность прямоугольника. Составить уравнения сторон этого прямоугольника.

84. В окружность x2 + y2 = 9 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого имеет координаты (−3;0) . Составить

уравнения сторон треугольника.

85. Из точки O под острым углом к горизонту брошено тело, которое описав дугу параболы, упало на землю на расстоянии 40м от точки O . Найти параметр параболической траектории, если максимальная высота, достигнутая телом, равна 25м (сопротивление воздуха в расчет не принимать).

86. Вычислить площадь квадрата, вписанного в эллипс x2 + y2 =1. 36 9

87. Определить площадь прямоугольника, вписанного в эллипс

x2 + y2 =1, две противоположные стороны которого проходят

16 12

через фокусы эллипса.

88. Найти длину общей хорды параболы 3y2 = −x и окружности x2 + y2 + 2x − 4y = 0 .

89.Написать уравнения касательных, проведенных к окружности

x2 + y2 + 4x − 25 = 0 из точки A(−5;7) .

90.Составить уравнения прямых соединяющих фокусы эллипсов

91.Стальной трос подвешен за два конца (точки крепления расположены на одинаковой высоте), расстояние между ними равно 40 м. Величина его прогиба на расстоянии 6 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 18 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками

203

крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.

§ 6. Общее уравнение кривых второго порядка

Одной из основных задач аналитической геометрии является исследование уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим формам.

10. Преобразование прямоугольных координат. Рассмотрим три вида преобразований прямоугольных координат на плоскости:

1) параллельный перенос осей координат, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними

(рис. 1).

Формулы

устанавливают связь между старыми и новыми координатами и определяют

параллельный перенос координатных осей;

2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат не изменяется. Формулы

x = x′cosα − y′sinα ,

(2)

y = x′sinα + y′cosα .

устанавливают связь между старыми и новыми координатами и определяют

поворот координатных осей на угол α (рис. 2);

Рис. 1 Рис. 2

3) зеркальное отображение, когда направление одной из координатных осей меняется на противоположное, а направление второй не меняется.

устанавливают связь между старыми и новыми координатами и определяют зеркальное отображение относительно оси Оу. Аналогичные формулы ( x = x′, y = −y′ ) получаем и при зеркальном отображении относительно

оси Ох.

20. Общее уравнение линии второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

204

где A, B, C, D, E, F – любые заданные числа, но A, B и C одновременно не равны нулю (A2 + B2 + C2 ¹ 0) .

Величину AC - B2 называют инвариантом общего уравнения линии второго порядка и, в зависимости от его знака, линии второго порядка подразделяются на следующие три типа:

эллиптический, если AC - B2 > 0; гиперболический, если AC - B2 < 0 ;

параболический, если AC - B2 = 0 .

Теорема. Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано общее уравнение линии второго порядка (4). Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой уравнение (4) принимает один из следующих девяти простейших (канонических) видов:

1) эллипс x2 + y2 = 1 ; a2 b2

2) мнимый эллипс x2 + y2 = -1 ; a2 b2

3) пара мнимых пересекающихся прямых a2 x2 + c2 y2 = 0 ;

5)пара пересекающихся прямых a2 x2 - c2 y2 = 0 ;

6)парабола x2 = 2 py ;

7)пара параллельных прямых x2 - a2 = 0 ;

8)пара мнимых параллельных прямых x2 + a2 = 0 ;

9)пара совпадающих прямых x2 = 0 .

В перечисленных х и у равноправны, т.е. их можно менять местами.

Если кривая второго порядка задана уравнением (4), то при приведении его к каноническому виду нужно последовательно поступать так:

α = 45o .

205

Применив преобразование поворота осей координат с использованием формул (2), освобождаемся в уравнении (4) от члена с произведением координат 2Bxy , т.е. получаем уравнение второй степени вида

где (A¢)2 + (C¢)2 ¹ 0 .

б) Применить к уравнению (4’) параллельный перенос осей координат по формулам x′ = x0 + x′′, y′ = y0 + y′′ , где точку (x0; y0 ) найти из системы

33

сцентром в точке (1;1) и полуосями a = 233 , b = 36 . □

Пример 2. Какую линию определяет уравнение

2x2 − 9y2 + 4x + 36y − 64 = 0 ?

Решение. Выделим полные квадраты для переменных x и y : 2(x2 + 2x +1)− 9(y2 − 4y + 4)− 30 = 0

или 2(x +1)2 − 9( y −1)2 = 30 . Разделим обе части уравнения на 30. Получим уравнение гиперболы

206

y′ = y + 8, x′ = x -1 . Тогда каноническое уравнение параболы имеет

вид y¢ =10(x¢)2 . В исходной системе координат получили параболу, ветви которой направлены вверх и вершина смещена в точку (1;−8) ;

параболы. Ветви параболы направлены вправо и вершина смещена в точку (−2;−3) ;

в) Выделяя полный квадрат, получаем уравнение параболы в

переменных y¢ = y - 13, x¢ = x - 13 , получаем каноническое уравнение

параболы x¢ = -3( y¢)2 . В исходной системе координат ось Ox является осью симметрии данной параболы. Ветви параболы

направлены влево и вершина смещена в точку æ 1 ; 1 ö ;

ç ÷ è 3 3 ø

207

к виду x′y′ = k . Записать уравнения асимптот гипербол в случаях а) и

гиперболы в первоначальной системе координат являются прямые

208

первоначальной системе координат являются прямые x = 34 , y = 34 . □

Пример 5. Установить, какие кривые определяются следующими уравнениями и построить их:

а) 47x2 +17 y2 − 94x + 34y − 7 = 0 , б) 16x2 − 7 y2 − 32x + 28y − 51 = 0 , в) x2 + 6y2 − 4x +12y +15 = 0 , г) 2x2 − 4x + 7 y −18 = 0 ,

д) y2 − 6y + 8 = 0 , е) x2 + 2x + 7 = 0 , ж) 8x2 −18xy + 8y2 + 2x − 5 = 0 , з) 14x2 + 24xy + 21y2 − 4x +18y −141 = 0 .

Решение: а) выделим полные квадраты для переменных x и y :

209

16(x2 - 2x +1)-16 - 7(y2 - 4y + 4)+ 28 - 51 = 0

или 16(x -1)2 - 7( y - 2)2 = 39 . Разделим обе части уравнения на 39 и

(x2 - 4x + 4) + 6(y2 + 2y +1) + 5 = 0 или (x - 2)2 + 6( y +1)2 = -5 .

Разделим обе части уравнения на 5 и получим уравнение

(x - 2)2 + (y +1)2 = - 1 .

5 5

6

Это уравнение не представляет ни одной точки на плоскости. Однако ввиду внешнего сходства с уравнением эллипса говорят, что оно представляет “мнимый эллипс”;

две горизонтальные прямые (рис. 6);

210