Математика для инженеров(практика) I часть
.pdfДля нахождения суммы и разности векторов можно использовать «правило параллелограмма»: сумма и разность векторов являются соответственно диагоналями параллелограмма, сторонами которого являются данные векторы. Основные свойства линейных операций (но здесь не указано направление векторов):
1) |
a + |
b |
= |
|
b |
+ a (коммутативность сложения), |
||||||||
2) |
(a + |
|
) + c = a + ( |
|
|
+ c ) (ассоциативность сложения), |
||||||||
b |
b |
|||||||||||||
3) |
α(β a) = (αβ )a, α, β Î (ассоциативность умножения на |
|||||||||||||
число), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
(α + β )a = α a + β a, α, β Î |
(дистрибутивность относительно |
||||||||||||
суммы чисел), |
|
|||||||||||||
5) |
α(a + |
|
) = α a +α |
|
, α Î |
(дистрибутивность |
||||||||
b |
b |
|||||||||||||
относительно суммы векторов). |
|
|
|
Скалярным произведением векторов a и |
|
|
|
(обозначение |
||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||
(a, |
|
) или a × |
|
|
) называется число, определяемое равенством |
|||||||||||||||||||
b |
b |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(a,b ) = |
a |
× |
b |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
×cos(a,b ) . |
|||||||||||||||||
|
|
Скалярное произведение векторов a(xa ; ya ), |
|
(xb ; yb ) |
можно |
|||||||||||||||||||
|
|
b |
||||||||||||||||||||||
найти через их координаты: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
a × |
|
= xa xb + ya yb (a × |
|
= xa xb + ya yb + za zb ) |
(1´) |
|||||||||||||||||
|
|
b |
b |
Спроецировав вектор |
|
|
= |
|
на вектор |
|
= a (см. |
рис. 1) |
|||||||||||||||
OB |
OA |
||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||
получим прa |
|
= |
|
OC |
|
= |
|
|
|
|
cosα, следовательно, формулу (1) |
можно |
|||||||||||
b |
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
переписать так: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × |
|
= пр |
|
a, |
|
|
|
(1˝) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый. Проекция произвольного вектора p = (x; y; z) на
некоторую ось l пространства, единичный вектор e которой
91
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляет |
с координатными |
осями |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углы α, β , γ |
определяется формулой |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прe p = x cosα + y cos β + z cosγ . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
Если |
|||||
действует сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
материальная точка, на которую |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
F |
, совершила перемещение по вектору |
S , |
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
работа А равна скалярному произведению вектора силы |
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора перемещения |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Угол |
|
ϕ |
между |
|
|
двумя |
ненулевыми |
векторами |
a и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = arccos |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Свойства скалярного произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
a × |
|
= |
|
|
|
|
|
× a – коммутативность; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
(λ a) × |
|
|
|
= λ (a × |
|
) |
|
|
– ассоциативность, |
λ ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
(a + |
|
) ×c = a ×c + |
|
×c – дистрибутивность; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
a × a = |
|
a |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
С помощью скалярного произведения легко записать |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условие перпендикулярности çæ |
ϕ = |
|
|
π ÷ö |
векторов: |
a × |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 ø |
|
|
коллинеарными |
|||||||||||||||||
Два |
ненулевых |
|
|
|
вектора |
|
|
называются |
(параллельными), если их координаты пропорциональны. При этом эти векторы сонаправлены, если коэффициент пропорциональности положителен и противоположно направлены, если он отрицателен.
Стандартным ортогональным базисом на плоскости (в
пространстве) называется пара |
|
(1;0), |
|
|
(0;1) |
(совокупность |
|||||||||||||||
i |
|
j |
|||||||||||||||||||
|
|
(1;0;0), |
|
(0;1;0), |
|
(0;0;1) ). |
|
Любой вектор однозначно разлагается |
|||||||||||||
|
i |
j |
k |
||||||||||||||||||
по этому базису: |
(a = xa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
a = xa |
|
+ ya |
|
|
+ ya |
|
+ za |
|
|||||||||
|
|
|
|
i |
j |
i |
j |
k |
92
Таким образом, координаты вектора − это коэффициенты его разложения по стандартному базису.
Если в пространстве α, β , γ − углы между вектором a и
положительным направлением координатных осей Ox, Oy, Oz, то:
|
cosα = |
|
|
xa |
|
|
, cos β = |
|
|
ya |
|
|
, cosγ = |
|
|
za |
|
|
. |
|
(4) |
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Числа |
cosα, cos β, cosγ |
|
|
|
|
называют |
направляющими |
||||||||||||||
косинусами вектора a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если a1, a2 − любая пара |
|
|
неколлинеарных векторов |
на |
|||||||||||||||||
плоскости |
( a1, a2 , a3 − |
тройка |
|
|
векторов в |
пространстве, |
в |
которой любые два вектора неколлинеарны), то произвольный
вектор a можно представить в виде: |
|
|||||||||||
a = α1a1 +α2a2 (a = α1a1 +α2a2 +α3a3 ). |
(5) |
|||||||||||
Коэффициенты |
|
α1,α2 |
|
(α1,α2 |
,α3 ) можно |
определить из |
||||||
системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
= α1 |
|
a1 |
|
2 |
+α2a1 |
× a2 , |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
ïa ×a1 |
|
|
|
(6) |
||||||||
í |
|
= α a a |
|
+α |
|
|
|
2 , |
||||
ïa ×a |
2 |
2 |
2 |
a |
2 |
|
||||||
î |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
= α1 |
|
a1 |
|
2 |
+α2a1 |
× a2 +α3a1 ×a3, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïa × a1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
= α1a2 |
× a1 +α2 |
|
a2 |
2 |
+α3a2 |
× a3, |
|
|
|
(6') |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ía × a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïa × a3 = α1a3 × a1 +α2a3 × a2 +α3 |
|
a3 |
|
2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
1. |
|
|
|
|
Найти |
|
|
вектор |
a = |
|
, |
если |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A(1;2;3), B(4;8;−5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Решение. Проекциями вектора |
|
на оси координат |
|||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точек В |
и А: |
||||||||||||
разности соответственных |
координат |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ax = 4 −1 = 3, |
|
ay = 8 − 2 = 6, az = −5 − 3 = −8. |
Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 3 |
|
|
+ 6 |
|
|
− 8 |
|
. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Пример |
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
длину |
вектора |
||||||||||||||||||
|
|
+ m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a = mi |
j |
+ (m +1)mk |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
Решение. Длина вектора a определится следующим образом:
a= m2 + m4 + m2 (m +1)2 = 2m4 + 2m3 + 2m2 = 2m2 (m2 + m +1) =
=m2(m2 + m +1). □
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
3. |
В |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольнике |
с |
|
|
вершинами |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(−2;0), В(6;6) и С(1;−4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
|
|
|
|
|
|
длину |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
биссектрисы АЕ. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
Найдем |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
|
|
|
точки Е |
как |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки, |
|
|
делящей |
|
отрезок |
ВС |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
отношении |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
BE |
= |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
(биссект-риса |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
делит противоположную сторону |
|
|
|
|
на |
|
части, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пропорциональные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прилежащим к ней |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Рис.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
сторонам). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a = (8;6), |
|
a |
|
= |
|
82 + 62 =10; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= (3;-4), |
|
|
|
|
|
= |
|
|
33 + 42 = 5. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда λ = |
|
|
a |
|
|
|
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Координаты точки, делящей отрезок ВС в отношении |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ = 2, будут x = |
6 + 2×1 |
|
|
8 |
, y |
|
6 + 2 ×(-4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
æ |
8 |
|
2 ö |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
, |
|
E ç |
|
; |
|
÷. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1+ |
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
3 ø |
|
|||||||||||||||||||
Находим длину |
|
|
. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
AE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
æ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
2 ö |
|
ö |
|
æ |
14 |
|
|
|
2 ö |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AE = ç |
|
|
|
|
- (-2);ç |
- |
|
|
÷ |
- 0÷ |
= |
ç |
|
|
|
|
|
; |
- |
|
|
÷ |
= |
|
|
|
×(7;-1). |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
3 ø |
|
ø |
|
è |
|
|
|
3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
94
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 + (-1)2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример |
4. |
|
|
|
Даны |
точки |
|
|
|
|
M1(1;2;3), M2 (3;-4;6). |
Найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
длину и направляющие косинусы вектора |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M1M2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
Найдем |
|
|
|
|
вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Будем |
иметь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 2 |
|
|
- 6 |
|
|
+ 3 |
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
M1M2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 22 + (-6)2 + 32 = |
|
|
|
|
= 7; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1M2 |
|
4 + 36 + 9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα = |
|
|
|
,cos β = - |
|
|
|
|
,cosγ = |
|
. □ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 5. |
7 |
7 |
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Вычислить |
|
модуль |
|
(длину) |
|
вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = 2 |
|
+ |
|
+ |
|
- |
1 |
(4 |
|
|
+ 7 |
|
|
+ 2 |
|
|
) |
|
и его направляющие косинусы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j |
i |
|
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Согласно определению суммы векторов и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произведения вектора на скалярный множитель, |
вектор a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перепишем в виде a = 0 × |
|
|
- |
5 |
|
|
+ 0 × |
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
æ |
|
|
|
5 |
ö2 |
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
+ ç |
- |
|
|
÷ |
|
|
+ 0 |
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα = |
|
= 0, cos β = |
|
|
|
|
= -1, cosγ = |
|
= 0. |
□ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Пример 6. Нормировать вектор a = 2i - j - 2k . Решение. Найдем длину вектора a :
a = ax2 + a2y + az2 = 22 + (-1)2 + (-2)2 = 3.
Искомый единичный вектор имеет вид
|
|
|
a |
|
|
|
2 |
|
- |
|
- 2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|||||||||||||||
a0 = |
|
|
|
|
= |
= |
|
i |
- |
|
j - |
k . □ |
|||||||||||||
|
|
a |
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
||||||||||||||
|
|
95
Пример 7. Найти скалярное произведение векторов a = 3i + 4 j + 6k и b = 2i - 3 j - 8k .
Решение. Находим
a ×b = 3× 2 + 4×(-3) + 6 ×(-8) = 6 -12 - 48 = -54. □
Пример 8. Вычислить, какую работу производит сила F = (3;-5;2), когда ее точка приложения перемещается из начала координат в конец вектора S = (2;-5;-7).
Решение. A = F × S = 3× 2 + (-5) ×(-5) + 2×(-7) = 6 + 25 -14 =17.
□
Пример 9. Даны три силы F1 = (3;-4;2), F2 = (2;3;-5) и
F3 = (-3;-2;4), приложенные к одной точке. Вычислить,
какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения C(5;3;−7) в положение
B(4;−1;−4). □
Решение. Имеем R = F1 + F2 + F3 = (2;-3;1), CB = (-1;-4;3). Тогда A = R ×CB = 2×(-1) + (-3) ×(-4) +1×3 = -2 +12 + 3 =13. □
Пример 10. Зная векторы a и
b , на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма,
перпендикулярной к стороне a .
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= λa - |
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
Очевидно (рис. 3), |
|
= |
|
- |
|
|
. По |
||||||||||||||||||||
h |
d |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||
условию |
|
|
× a = 0, т.е. |
(λa - |
|
) × a = 0 |
|
или λa2 - a × |
|
= 0. |
|||||||||||||||||||
h |
b |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a × |
|
|
|
|
|
a × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда λ = |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
и h = |
× a - b. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a 2 |
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
|
Пример |
11. |
Даны |
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a = mi |
+ 3 j + 4k и |
|||||||||||||||
b = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
+ 2mj |
- 9k . |
При |
каком |
значении |
m эти векторы |
перпендикулярны?
Решение. Находим скалярное произведение этих векторов:
a ×b = 3m + 6m - 36 = 9m - 36.
Так как a ^ b , то a ×b = 0. Отсюда 9m − 36 = 0, т.е. m = 4.
□
Пример 12. Найти (7a - 3b )(5a + b ).
Решение. Имеем (7a - 3b )(5a + b ) = 35a 2 - 8a ×b - 3b 2. □
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
13. Определить |
|
|
угол |
между векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = |
|
|
+ 3 |
|
+ 2 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
= 6 |
|
- 2 |
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
b |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Для вычисления угла между данными |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторами |
воспользуемся |
формулой |
(2). |
|
|
Имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a × |
|
=1×6 + 3×(-2) + 2× 4 = 8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ 9 + 4 |
14, |
36 + 4 +14 |
56 |
14. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно cosϕ = |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
и ϕ = arccos |
2 |
. □ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
× 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
14 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14. Найти скалярное произведение векторов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3a - 2 |
|
|
и 5a - 6 |
|
|
, если |
|
|
|
a |
|
|
|
|
= 4, |
|
|
|
|
|
|
= 6 |
|
и угол между векторами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a и |
|
равен |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Перемножая данные векторы, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3a - 2 |
|
)(5a - 6 |
|
) =15a2 -10a × |
|
-18a × |
|
+12 |
|
2 = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=15 |
|
a |
|
2 - 28a × |
|
+12 |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем скалярное произведение векторов a |
и |
|
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
97
a ×b = 4×6×cos π3 = 24 × 12 =12.
Тогда
(3a - 2b )(5a - 6b ) =15×16 - 28×12 +12 ×36 =
= 240 − 336 + 432 = 336. □ |
|
|
||
Пример |
15. |
Найти |
единичный |
вектор, |
перпендикулярный векторам a = 2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
и b = 2 |
|
|
|
|
+ 3 |
|
- |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j |
i |
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Пусть искомый вектор |
c = cx |
|
|
|
+ cy |
|
|
|
+ cz |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
условию |
|
|
перпендикулярности |
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2cx + cy + cz = 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2cx + 3cy - cz = 0. |
|
Кроме того, |
по |
|
|
условию |
|
|
|
вектор c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
единичный, т.е. |
cx2 + c2y + cz2 =1. |
Решив |
|
|
систему |
|
|
|
трех |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cx = m |
1 |
|
|
,cy |
= ± |
1 |
|
, cz |
= ± |
1 |
. |
|
|
|
|
Итак, |
|
имеем |
|
|
|
|
|
два |
|
|
|
|
|
|
вектора, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
удовлетворяющие требуемым условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c1 = - |
|
|
i + |
|
|
j + |
|
|
k и c 2 |
= |
|
|
|
i - |
|
|
|
j - |
k . □ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 16. Даны векторы a = 2 |
|
|
|
+ 2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b = 6 |
|
+ 3 |
|
+ 2 |
|
. Найти прa |
|
|
и пр |
|
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
j |
k |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
a |
× |
|
|
|
|
|
. Имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Из формулы (1˝) следует пр |
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
для данных векторов a и |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ×6 + 2 ×3 +1× 2 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
прa b = |
; пр |
|
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. □ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
22 + 22 +12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
36 + 9 + 4 |
|
Пример 17. Представить вектор a = (1;2) в виде (5) через пару неколлинеарных векторов a1 = (-1;1), a2 = (3;2).
98
Решение. І способ. Пусть a = α1a1 + α2a2 , где α1,α2 − некоторые коэффициенты. Так как равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной комбинации равны соответствующим линейным комбмнациям одноименных координат, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1 = -α1 |
+ 3α2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í2 = α + 2α |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив |
эту |
систему |
уравнений, |
|
найдем |
α = |
4 |
, α |
2 |
= |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
5 |
|
||
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак a = |
a + |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ІІ способ. Для составления системы (6) находим: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a × a =1×(-1) + 2×1 =1, |
|
a |
|
2 |
= 2,a × a |
2 |
|
= (-1) ×3 +1× 2 = -1, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a × a |
2 |
=1×3 + 2 × 2 = 7, |
|
a |
|
2 =13. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя в (6), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1 = 2α1 |
-α2 , |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í7 = -α +13α |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда α1 = |
|
, α2 = |
|
. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даны |
|
|
векторы |
|||||||||||||||||
a1 = (1;0;0), a2 = (1;1;5), a3 = (0;3;8). |
Разложить |
вектор a = (1;1;1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
по векторам a1, a2 , a3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. І способ. |
Представим вектор a |
в виде (5): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = α1a1 + α2a2 + α3a3. |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Приравнивая |
|
координаты |
|
|
|
|
|
|
вектора |
|
|
|
|
к |
|||||||||||||||||||||||
соответствующим |
координатам |
|
линейной |
комбинации |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов |
|
a1, a2 , a3, |
|
получаем |
систему |
для |
нахождения |
||||||||||||||||||||||||||||||
α1, α2 , α3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1 = α ×1+α |
2 |
×1+α |
3 |
×0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í1 = α1 ×0 +α2 |
×1+α3 |
|
×3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï1 = α ×0 +α |
2 |
×5 +α |
3 |
×8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
|
Решая |
|
|
эту |
систему |
|
|
|
|
|
|
|
уравнений, |
найдем |
||||||||||||||||||||||||||
α = |
12 |
, α |
|
= - |
5 |
, α |
|
= |
4 |
. Имеем a = |
|
12 |
a - |
|
|
5 |
a + |
4 |
a . |
|
||||||||||||||||||||
7 |
|
7 |
|
|
|
7 |
7 |
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
ІІ способ. Для составления системы (6΄) находим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a × a =1,a × a |
2 |
= 7, a × a =11, |
|
a |
|
2 |
|
=1, |
|
a |
2 |
|
2 = 27, |
|
a |
|
|
2 |
= 73, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
a1 × a2 =1, a1 × a3 = 0,a2 × a3 = 43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Тогда (6΄) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì1 = α +α |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í7 = α1 + |
27α2 + 43α3, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï11 = 43α |
2 |
|
+ 73α |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Отсюда α1 = |
|
|
, |
α2 = - |
|
, α3 |
= |
|
|
. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
7 |
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы |
||||||||||||||
1 |
. Найти вектор a = |
|
, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) |
A(3;5;0), B(1;2;3); |
в) A(−3;8;0), B(1;0;0); |
|||||||||||||||
|
б) |
A(−4;0;−3), B(0;−2;1); |
г) A(0;4;8), B(0;2;5). |
|||||||||||||||
2 |
. Найти длину вектора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) a = mi |
+ (m -1) j + m(m -1)k ; б) a = mi + (m +1) j + m(m +1)k . |
||||||||||||||||
3 |
. Даны |
|
вершины треугольника A(1;−1;−3), B(2;1;−2) и |
|||||||||||||||
|
C(−5;2;−6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла |
|||||||||||||||||
|
при вершине А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
. Найти длину и направляющие косинусы вектора |
|
, |
|||||||||||||||
M1M2 |
||||||||||||||||||
|
если точки M1 и M2 имеют координаты: |
|||||||||||||||||
|
а) M1(0;1;3), M2 (1;-2;-3) ; |
б) |
||||||||||||||||
M1(2;-1;8), |
M2 (5;-3;10) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) M1(3;0;3), M2 (3;-4;3) ; |
г) M1(−5;−9;−36), M2 (15;21;24) . |
||||||||||||||||
5 |
. Вычислить модуль вектора a и найти его |
|||||||||||||||||
|
направляющие косинусы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100