Математика для инженеров(практика) I часть
.pdfнаправляющей эллиптического цилиндра является окружность, то эллиптический цилиндр называется круговым.
Отметим, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т.е. уравнения эллипса в плоскости Oxy, имеют вид
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1, z = 0 . |
|
|
|
|
a2 |
|
||
|
|
|
|
|
b2 |
||
|
|
Поверхности (2)-(4) схематически изображены на рисунках 1-3. |
|||||
|
|
Пример 5. Какие поверхности в пространстве задают уравнения: |
|||||
|
|
а) 2x2 + 3y2 = 36 ; б) 2x2 = 3y ; в) 3x2 − y2 = 7 . |
|||||
|
|
Решение. а) переписав |
уравнение в каноническом виде |
||||
x2 |
+ |
y2 |
=1, заключаем, что это уравнение определяет эллиптический |
||||
18 |
|
||||||
12 |
|
|
|
|
|
цилиндр с образующими, параллельными оси Oz. Направляющей
цилиндрической поверхности является эллипс |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1, |
z = 0 . |
|
|
|
18 |
|
|
|
||||||
|
12 |
|
|
3 |
|
||||
б) из канонического уравнения |
поверхности |
x2 = |
y |
||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
заключаем, что данная поверхность – параболический цилиндр с
образующими, параллельными оси Oz. Направляющей цилиндрической |
|||||||
поверхности является парабола x2 = |
3 |
y , z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
||
в) переписав уравнение в каноническом виде |
− |
=1, |
|||||
73 |
|
||||||
|
|
|
7 |
|
заключаем, что это уравнение определяет гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz. Направляющей цилиндрической
|
x2 |
|
y2 |
|
||
поверхности является гипербола |
|
− |
|
|
=1, |
z = 0 . □ |
73 |
|
7 |
||||
Пример 6. Дана ось кругового |
цилиндра x = 9 − t, y = 4 − 2t, |
|||||
z = 7 + 2t и точка M0 (1;−2;3) |
|
на |
|
его |
поверхности. Составить |
уравнение цилиндра.
Решение. Перепишем уравнения оси цилиндра в канонической форме
x − 9 = y − 4 = z − 7 .
−1 −2 2
221
Тогда |
образующие |
цилиндра |
параллельны |
вектору a = (−1;−2;2) . Уравнение |
плоскости, перпендикулярной |
||
образующим, |
и проходящей через |
точку M0 (1;-2;3) |
имеет вид |
−x − 2y + 2z + d = 0 . Подставляя координаты точки M0 и вычисляя d ,
получаем −x − 2y + 2z − 9 = 0 . |
|
|
Обозначим через |
N |
точку пересечения плоскости |
−x − 2y + 2z − 9 = 0 и оси цилиндра. Найдем ее координаты из системы
x - 9 = y - 4 = z - 7 , −x − 2y + 2z − 9 = 0 . -1 -2 2
æ 23 4 29 ö
Получим точку N ç ; ; ÷ .
è 3 3 3 ø
Линия, по которой искомый цилиндр пересекает плоскость, перпендикулярную образующим, является его направляющей. В общем виде эта линия представляет собой эллипс. Для кругового цилиндра направляющей является окружность. Ее уравнение найдем как линию пересечения плоскости −x − 2y + 2z − 9 = 0 и сферы с
центром в точке N и радиуса
M0 N = |
æ 23 |
|
|
ö2 |
æ 4 |
|
|
|
ö2 |
æ |
29 |
|
|
ö2 |
|
|||||||||
ç |
|
|
|
-1÷ |
+ ç |
|
|
+ 2 |
÷ |
+ ç |
|
|
|
|
- 3 |
÷ |
=10 . |
|||||||
|
3 |
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
ø |
|
|
|||||||
Уравнение сферы имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
æ |
|
|
23 ö2 |
|
æ |
|
|
4 ö2 |
æ |
|
|
29 |
ö2 |
|
|
|||||||||
ç x - |
|
|
|
÷ |
+ |
ç y |
- |
|
|
÷ |
+ ç z |
- |
|
|
|
÷ |
|
=100 . |
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||
è |
|
|
3 ø |
|
è |
|
|
3 ø |
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
Таким образом, уравнения направляющей цилиндра:
ìæ |
23 ö2 |
æ |
4 ö2 |
æ |
29 ö2 |
||||
ïç x - |
|
÷ |
+ ç y - |
|
÷ |
+ ç z - |
|
÷ |
=100, |
|
|
3 |
|||||||
ïíè |
3 ø |
è |
3 ø |
è |
ø |
|
|||
î-x - 2y + 2z - 9 = 0. |
|
|
|
|
Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на направляющей, т.е.
ìæ |
|
|
23 |
ö2 |
æ |
|
|
|
4 |
ö2 |
æ |
|
29 ö2 |
|||
ïç x0 |
- |
|
÷ |
|
+ ç y0 |
- |
|
÷ |
+ ç z0 |
- |
|
÷ |
=100, |
|||
3 |
|
3 |
|
|||||||||||||
íè |
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
ø |
è |
|
3 ø |
|
|||
ï-x - 2y |
0 |
+ 2z |
0 |
- 9 = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
î |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим уравнения образующей, проходящей через эту точку:
x - x0 = y - y0 = z - z0 .
-1 -2 2
Исключаем из полученных уравнений x0 , y0 , z0 :
222
x = |
8 |
x - |
2 |
y + |
2 |
z -1, y = - |
2 |
x + |
5 |
y + |
|
4 |
z - 2, z |
0 |
= |
2 |
x + |
4 |
y + |
5 |
z + 2 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
0 |
9 |
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
9 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
æ 8 |
x - |
2 |
|
y + |
2 |
|
z -1- |
23 ö2 |
|
æ |
|
2 |
|
x + |
5 |
y |
|
4 |
z - 2 - |
4 |
ö2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ + |
ç |
- |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
÷ |
+ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
9 |
3 |
|
9 |
|
9 |
9 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
æ |
2 |
x |
|
|
|
4 |
y |
|
|
5 |
z + 2 - |
29 |
ö2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ç |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
÷ |
=100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
9 |
|
9 |
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Искомое уравнение цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
8x2 + 5y2 + 5z2 - 4xy + 8yz + 4xz -156x - 60y -138z + 405 = 0 . □ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 7. Написать уравнение цилиндрической поверхности, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направляющая |
которой |
имеет |
уравнение |
|
|
x2 + y2 = 36, z = 0 , а |
образующая составляет равные углы с осями координат.
Решение. Так как образующие составляют равные углы с осями координат, то они параллельны вектору a = (1;1;1) .
Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на направляющей цилиндра, тогда
(x0 )2 + ( y0 )2 = 36, z0 = 0 .
Запишем уравнения образующей цилиндра, проходящей через эту точку: x - x0 = y - y0 = z - z0 .
Исключаем из полученных уравнений x0 , y0 , z0 : x0 = x - z, y0 = y - z , (x - z)2 + ( y - z)2 = 36 .
Искомое уравнение цилиндра x2 + y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 36 = 0 . □
Пример 8. Составить уравнение кругового цилиндра, описанного около двух сфер:
(x -1)2 + ( y - 2)2 + (z + 2)2 = 36, x2 + y2 + z2 = 36 .
Решение. Очевидно, ось цилиндра проходит через центры
(1;2;−2), (0;0;0) |
заданных сфер. Уравнения оси |
|
цилиндра в |
|||||
канонической |
форме имеют вид |
x - 0 |
= |
y - 0 |
|
= |
z - 0 |
или |
1- 0 |
|
-2 - 0 |
||||||
|
|
2 - 0 |
|
|
|
1x = 2y = -z2 .
Тогда образующие цилиндра параллельны вектору a = (1;2;−2) .
Уравнение плоскости, перпендикулярной образующим, и проходящей через центр (0;0;0) второй сферы, имеет вид x + 2y − 2z = 0 .
223
Таким образом, направляющей цилиндра является линия пересечения любой из сфер, например, второй, и плоскости
x + 2y − 2z = 0 ,
т.е. уравнения направляющей цилиндра:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
2 |
+ y |
2 |
|
+ z |
2 |
= 36, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
+ 2y - 2z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на направляющей, т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
2 |
+ ( y ) |
2 |
+ |
(z |
|
|
|
) |
2 |
= 36, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï(x ) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx + 2y - 2z |
0 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Составим уравнения образующей, проходящей через эту точку: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - x0 |
= |
y - y0 |
= |
|
z - z0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Исключаем из полученных уравнений x0 , |
y0 , |
z0 : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = |
8 |
x - |
2 |
y + |
2 |
z, y = - |
2 |
x + |
5 |
|
y + |
4 |
z, z |
0 |
= |
2 |
x + |
4 |
|
y + |
5 |
z , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
9 |
|
|
9 |
|
|
9 |
|
0 |
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
9 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
æ |
8 |
|
2 |
|
2 |
ö2 |
æ |
2 |
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
|
ö2 |
|
|
|
|
æ |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
ö2 |
|
|
||||||||||||||
ç |
|
x - |
|
|
y + |
|
|
|
z ÷ |
+ ç - |
|
|
x + |
|
|
y + |
|
|
|
|
|
|
z |
÷ |
|
+ |
ç |
|
|
|
|
x + |
|
y + |
|
|
z ÷ = 36 . |
|||||||||||
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
|
|
9 |
|
9 |
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
Искомое уравнение цилиндра
8x2 + 5y2 + 5z2 - 4xy + 8yz + 4xz - 324 = 0 . □
30. Конические поверхности. Конической называется поверхность,
описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и проходящей через некоторую точку (вершину). Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось Oz, записывается в виде
|
x2 |
+ |
y2 |
|
− |
z2 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Геометрически коническую поверхность можно изобразить, как |
|||||||||||||||||||
показано на рис. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, уравнения |
|
x2 |
− |
y2 |
+ |
z2 |
= 0 , |
− |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 0 |
|||||
|
|
b2 |
c2 |
a2 |
b2 |
c2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
являются уравнениями конусов второго порядка, осями которых служат соответственно оси Оу, Ох, с вершинами в начале координат.
224
Пример 9. Составить уравнение конуса, направляющая
которого задается уравнениями |
|
|
|
|
x2 |
+ |
z2 |
=1, y = 0 , |
а вершина |
||||||||
|
|
|
|
25 |
|
||||||||||||
находится в точке S(0;−3;4) . |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Составим |
уравнение |
|
образующей |
АS, |
где |
||||||||||||
A(x0; y0; z0 ) – точка, лежащая |
|
на |
направляющей эллипса. |
Это |
|||||||||||||
уравнение имеет вид |
x |
= |
|
y + 3 |
|
= |
|
z − 4 |
|
. Так как точка А лежит на |
|||||||
x |
y + 3 |
|
z |
0 |
− 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса, т.е.
|
x2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
+ |
0 |
=1, y0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
25 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Найдем x0 , y0 , z0 |
из системы |
z − 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z − 4 |
|
|
y + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, y0 = 0 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
0 |
− 4 |
|
y |
0 |
+ 3 |
z |
0 |
− 4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z −12 |
|
|
|
|
3z + 4y |
|
|
|||||||||
|
|
|
Получим |
x0 |
= |
3x |
|
, |
|
z0 = |
|
+ 4 = |
|
|
и подставим в |
|||||||||||||||||||
|
|
|
y + |
3 |
y + 3 |
|
|
y + 3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнение |
x02 |
+ |
z02 |
|
=1: |
|
|
9x2 |
|
+ |
(3z + 4y)2 |
|
= (y + 3)2 . |
|
||||||||||||||||||||
|
36 |
|
25 |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После преобразований уравнение искомого конуса имеет вид
324x2 − 500y2 + 225z2 + 600zy − 5400y − 8100 = 0 . □
Пример 10. Написать уравнение конуса с вершиной S(1;2;4) , образующие которого составляют с плоскостью 4x + 4y + 2z − 3 = 0
угол 45o .
Решение. Направляющий вектор оси MS (рис. 5) конуса совпадает с нормальным вектором данной плоскости a = (4;4;2) .
Тогда уравнение оси MS:
x4−1 = y 4− 2 = z −2 4 .
Найдем точку M пересечения оси с данной плоскостью из системы
225
|
x -1 |
= |
y - 2 |
= |
z - 4 |
, 4x + 4y + 2z − 3 = 0 . |
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда точка пересе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
8 |
|
1 |
|
|
55 |
ö |
Рис. 5 |
|
|
|
|
чения |
M ç |
- |
|
; |
|
; |
|
|
÷ . |
||
|
|
|
|
9 |
9 |
18 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
Рассмотрим осевое сечение конуса ABS . Так как образующие конуса составляют с плоскостью 4x + 4y + 2z − 3 = 0 углы 45o , то ÐASB = 90o , т.е. ABS является равнобедренным и прямоугольным.
Тогда высота MS = AM = |
|
|
|
æ |
|
|
8 |
ö2 |
|
æ |
|
|
1 |
ö2 |
|
|
|
æ |
|
|
55 ö2 |
|
|
17 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç1 |
+ |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
+ ç |
2 - |
|
÷ |
|
|
+ |
ç4 |
- |
|
|
|
÷ |
|
|
= |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
18 |
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Уравнение сферы с центром в точке M радиуса AM имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
|
8 ö2 |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
1 |
ö2 |
|
æ |
|
|
55 ö2 |
|
289 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç x + |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
+ |
ç y - |
|
|
|
÷ |
+ |
ç z - |
|
|
|
|
|
|
÷ = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
9 ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
18 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Эллипс, по |
которому пересекается |
|
|
конус |
|
с |
|
|
плоскостью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x + 4y + 2z − 3 = 0 , задается |
|
как |
|
|
|
линия |
пересечения |
полученной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сферы с центром в точке |
|
|
M радиуса AM |
|
|
|
и заданной плоскости, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е.системой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ìæ |
|
|
|
8 ö2 |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
1 ö2 |
|
æ |
|
|
|
|
55 ö2 |
|
289 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ïç x + |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
+ ç y |
- |
|
|
|
|
÷ |
+ ç z |
- |
|
|
|
|
|
|
÷ = |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ïíè |
|
|
|
9 |
ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
9 ø |
|
è |
|
|
18 |
ø |
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
î4x + 4y + 2z - 3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на эллипсе, т.е. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ìæ |
|
|
8 ö2 |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
1 ö2 |
æ |
|
|
|
|
55 ö2 |
|
|
289 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ïç x0 + |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
+ |
ç y0 |
- |
|
|
|
÷ |
+ ç z0 |
- |
|
|
|
|
÷ |
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
íè |
|
|
9 ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
9 ø |
|
è |
|
|
|
|
18 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ï4x + 4y |
0 |
|
+ 2z |
0 |
- 3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
î |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Уравнение образующей АS,проходящей через эту точку, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
x -1 |
= |
y - 2 |
|
|
= |
|
|
z - 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x -1 |
|
|
|
|
|
|
z |
0 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Исключаем из полученных уравнений x0 , |
y0 , z0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = |
-13x + 4y + 2z - 3 |
, y = |
|
|
|
8x - 9y + 4z - 6 |
|
|
, z = |
16x +16y - 9z -12 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2(2x + 2y + z -10) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
2(2x + 2y + z -10) |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2(2x + 2y + z -10) |
226
æ |
-13x + 4y + 2z - 3 |
|
|
8 |
ö2 |
æ |
|
8x - 9y + 4z - 6 |
|
1 |
ö2 |
||||||
ç |
|
|
|
+ |
|
|
÷ |
+ ç |
|
|
|
|
- |
|
÷ + |
||
2(2x + 2y + z -10) |
9 |
|
2(2x + 2y + z -10) |
9 |
|||||||||||||
è |
|
|
ø |
è |
|
|
ø |
||||||||||
|
æ |
16x +16y - 9z -12 |
|
|
55 |
ö2 |
|
|
289 |
|
|
|
|
||||
+ç |
- |
÷ |
= |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
è |
|
2(2x + 2y + z -10) |
|
|
|
18 |
ø |
36 |
|
|
|
|
||||
После преобразований уравнение искомого конуса имеет вид |
|||||||||||||||||
x2 + y2 + 7z2 -16xy - 8xz - 8zy + 62x + 44y - 32z -11 = 0 . □ |
|||||||||||||||||
Пример 11. Составить уравнение конуса, описанного около |
|||||||||||||||||
сферы x2 + y2 + z2 = 9 , если |
|
вершина конуса находится в точке |
S(0;0;6) .
Решение. Радиус OB сферы равен 3, центр находится в точке O(0;0;0) . Расстояние OS = 6 (рис. 6). Найдем уравнения окружности,
по которой сфера пересекает конус. Очевидно, плоскость окружности параллельна плоскости Oxy . Обозначим через A точку пересечения
плоскости окружности с осью OS |
цилиндра. |
Найдем |
третью |
|||||||||||||||
координату точки A. Треугольники SBO, |
|
BAO подобны. Тогда |
||||||||||||||||
|
BO |
= |
|
AO |
,Û |
3 |
= |
z |
, z = |
3 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
SO |
BO |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, направляющая конуса |
||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ìx2 |
+ y2 + z2 = 9, |
|
ìx2 + y2 = |
|
27 |
, |
|||||||||||
|
|
4 |
||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
ï |
|
|
|
|||||
í |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
í |
3 |
|
|
|
|
||||
|
ïz = |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
î |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ïz = |
2 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
Возьмем |
|
произвольную |
|
|
|
точку |
||||||||||||
(x0; y0; z0 ) на эллипсе, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
(x0 )2 + (y0 )2 = 274 , z0 = 32 .
Уравнение образующей конуса, проходящей через точку S, имеет вид
x = y = z - 6 . x0 y0 z0 - 6
Исключаем из полученных уравнений x0 , y0 , z0 :
227
x = |
-9x |
|
, y = |
-9y |
, z |
|
= |
3 |
, |
æ -9x ö2 |
+ |
æ -9y |
ö2 |
= |
27 |
. |
||||||
|
|
|
0 |
|
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|
||||||||||
0 |
|
2z -12 |
0 |
2z -12 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
2z -12 ø |
|
è 2z -12 ø |
|
|
||||||||||
После преобразований уравнение искомого конуса имеет вид |
||||||||||||||||||||||
|
3x2 + 3y2 - z2 +12z - 36 = 0 или x2 + y2 - |
(z - 6)2 |
=1. □ |
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
40. Пары плоскостей. Пара пересекающихся плоскостей задается |
||||||||||||||||||||||
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
y2 |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пара параллельных плоскостей задается уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||
а пара совпадающих плоскостей – |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||
Пример 12. Какую поверхность определяет в пространстве |
||||||||||||||||||||||
уравнение 2z2 = 3xz ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Уравнение |
2z2 = 3xz |
может |
быть представлено в |
виде z(2z − 3x) = 0 и распадается на два уравнения z = 0, 2z = 3x , т.е.
оно определяет две пересекающиеся плоскости – плоскость Оху и плоскость 2z = 3x , проходящую через ось Оу. □
Пример 13. Каков геометрический смысл уравнения x2 + 4y2 + 9z2 +12yz + 6xz + 4xy - 4x - 8y -12z + 3 = 0 ?
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
x2 + x(6z + 4y - 4) + (4y2 + 9z2 +12yz - 8y -12z + 3) = 0 .
Разрешая это уравнение как квадратное относительно x , имеем уравнение
(x + 2y + 3z − 3)(x + 2y + 3z −1) = 0 ,
которое распадается на два уравнения параллельных плоскостей x + 2y + 3z − 3 = 0 и x + 2y + 3z −1 = 0 . □
228
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 . Эллипсоид. Эллипсоидом |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 7) называется поверхность, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяемая |
|
|
|
|
|
в |
декартовой |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системе |
|
|
|
|
|
координат |
|
|
Oxyz |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каноническим уравнением |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
+ |
y2 |
+ |
z2 |
|
= 1 , |
(9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
c2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где величины а, b, c называют полуосями |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эллипсоида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
уравнения |
(9) |
вытекает, что |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координатные |
|
|
|
|
|
плоскости |
|
являются |
||||||||||||||||
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостями симметрии эллипсоида, а |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начало координат – центром симметрии. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Точки пересечения осей координат с эллипсоидом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
называют вершинами эллипсоида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В случае a = b = c эллипсоид является сферой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример 14. Составить уравнение эллипсоида вида (9), если на его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
5 |
|
|
ö |
æ |
|
2 ö |
||||||
поверхности заданы три точки A(3;0;0), Bç -2; |
|
;0÷ |
, C ç |
0;-1; |
|
|
÷ . |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
5 ø |
|||||||
Решение. Подставим координаты точек |
|
|
A, B, C в уравнение (9). |
||||||||||||||||||||||||||||||
Получим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
=1, |
|
4 |
+ |
25 |
=1, |
1 |
+ |
4 |
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
a2 |
|
|
5c2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9b2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда |
|
a2 = 9, b2 = 5, c2 =1. |
Тогда |
|
|
|
искомое |
уравнение |
|||||||||||||||||||||||||
эллипсоида |
x2 |
+ |
y2 |
|
+ |
z2 |
=1. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 15. Привести к каноническому виду уравнение
4x2 + 9y2 +16z2 - 8x -18y - 32z +13 = 0 .
Решение. Выделим полные квадраты для каждой из переменных x, y, z :
4(x2 - 2x +1) - 4 + 9(y2 - 2y +1) - 9 +16(z2 - 2z +1) -16 +13 = 0
или 4(x -1)2 + 9( y -1)2 +16(z -1)2 =16 . Разделим обе части уравнения
на 16 и получим |
(x -1)2 |
+ |
( y -1)2 |
+ (z -1)2 =1. |
||
4 |
16 |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
9 |
|
|
229
Это уравнение эллипсоида с центром в точке (1;1;1) и полуосями a = 2, b = 43 , c =1. □
60. Поверхности вращения. Поверхность, образованная вращением
линии |
|
|
|
|
|
|
ìx = ϕ1(z), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
= ϕ2 (z) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
вокруг оси Oz определяется уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + y2 = ϕ12 (z) +ϕ22 (z) . |
|
(11) |
|||||||||||||||||
|
|
|
Аналогично определяются поверхности вращения вокруг осей Ox и Oy . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 16. Составить уравнение поверхности, полученной в |
|||||||||||||||||||||
результате вращения эллипса |
|
x2 |
+ |
z2 |
|
=1, y = 0 вокруг оси Oz . |
||||||||||||||||||
a2 |
c2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Решение. Поверхность, полученная при |
|
вращении |
эллипса |
||||||||||||||||||
|
x2 |
+ |
z2 |
=1, y = 0 вокруг оси Oz , называется эллипсоидом вращения. |
||||||||||||||||||||
|
a2 |
c2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
По формулам (10) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
z2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x2 = ϕ12 (z) = a |
2 ç1- |
|
|
|
÷, y = ϕ2 |
(z) = 0 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
c |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Согласно (11), получим уравнение эллипсоида вращения |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
z |
2 ö |
|
|
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
=1. □ |
|
|||
|
|
|
|
x2 + y2 = a2 ç1 |
- |
|
÷ или |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
c |
2 ÷ |
|
|
|
a |
|
a |
|
c |
|
|
|||||||
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70. Гиперболоиды. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат Oxyz определяется
каноническим уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
- |
z2 |
= 1. |
(12) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
Такой гиперболоид изображен на рис. 8.
230