Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf

Скачиваний:

115

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

2.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ГЛАВА 3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§1. Линия на плоскости. Поверхность и линия в пространстве

10. Определение уравнения линии. Рассмотрим на плоскости

прямоугольную систему координат	Oxy и некоторую линию L,	заданную
уравнением
F(x, y) = 0 .			(1)
Соотношение (1) называется уравнением линии L (в заданной системе
координат), если этому уравнению	удовлетворяют координаты	x	и y
любой точки, лежащей на линии L ,	и не удовлетворяют координаты точек,
не лежащих на этой линии.
Если (1) является уравнением линии L , то говорят, что уравнение (1)
определяет или задает линию L .
Линия L может определяться не только уравнением вида (1),			но и
уравнением вида
F(ρ,ϕ) = 0 ,			(2)

содержащим полярные координаты.

Чтобы по условию задачи составить уравнение линии, нужно установит зависимость между координатами произвольной точки искомой линии и данными в задаче параметрами.

Пример 1. Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой по оси ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой этого отрезка, если длина отрезка равна 2.

Решение. Пусть M (x; y) – точка искомой линии. Тогда координаты концов данного отрезка (0;2y), (2x;0) . Длина этого

отрезка равна 2, значит, (0 − 2x)2 + (2y − 0)2 = 2 . После возведения в

квадрат имеем 4x2 + 4y2 = 4 или x2 + y2 =1. Таким образом, искомая линия представляет собой окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 1.□

Пример 2. Составить уравнение множества точек, произведение расстояний которых от точек F1(a;0) и F2 (−a;0) есть

121

величина постоянная равная a2 . Записать уравнение в декартовых и полярных координатах.

Решение. Пусть M (x; y) – точка искомого множества. По

условию, MF × MF = a2
условию, MF × MF = a2		, т.е.	(x - a)2 + y2 × (x + a)2 + y2 = a2 .
1	2

После возведения обеих частей равенства в квадрат и преобразования, получим уравнение искомой линии в декартовых координатах:

(x2 + y2 )2 + 2a2 (y2 - x2 ) = 0 .

Эта линия называется лемнискатой Бернулли.

Переходя к полярным координатам по формулам x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ , получаем уравнение лемнискаты в полярных

координатах ρ2 = 2a2 cos 2ϕ .□

Пример 3. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от точек M1(2;2) и M2 (4;4) .

Решение. Из школьного курса геометрии известно, что множеством точек, равноудаленных от концов отрезка, является перпендикуляр, восставленный к данному отрезку в его середине. Пусть M (x; y) принадлежит искомой прямой. По условию,

MM1 = MM2 , т.е. (x - 2)2 + (y - 2)2 = (x - 4)2 + (y - 4)2 . После возведения в квадрат обеих частей уравнения, получаем

(x - 2)2 + (y - 2)2 = (x - 4)2 + ( y - 4)2

или x + y − 6 = 0 . Это − уравнение прямой. □

Пример 4. Составить уравнение множества точек на плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до точек A(4;0) и B(0;4)

равна квадрату расстояния между точками A и B .
Решение. Пусть	M (x; y) – точка искомого множества. По
условию, AM 2 + BM 2 = AB2 , т.е.
(x - 4)2 + y2 + x2 + (y - 4)2 = (4 - 0)2 + (0 - 4)2 .
Преобразовывая,	получаем	x2 - 4x + y2 - 4y = 0	или
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 8 .	Таким образом, множеством		точек,

122

удовлетворяющих заданному условию, является окружность с

центром в точке (2;2) и радиусом 2

2 . □

Пример 5. Составить уравнение множества точек, сумма

квадратов расстояний от которых до точек M1(5;0) и

M2 (0;5) равна

30.

Решение.

Пусть M (x; y) – точка

искомого

множества.

По

условию,

MM12 + MM22 = 30 ,

т.е.

(x - 5)2 + y2 + x2 + ( y - 5)2 = 30 .

После

преобразований

получаем

x2 - 5x + y2 - 5y +10 = 0

или

5 ö2

ç x -

+ ç y -

Таким образом,

искомым

множеством

2 ø

является окружность с центром в точке çæ

;

÷ö радиуса

. □

è 2

2 ø

Пример 6. В полярной системе координат составить уравнение

окружности с центром в полюсе.

Решение. Уравнение окружности в прямоугольной системе

координат с центром в начале координат имеет вид

x2 + y2 = R2 .

Подставляя формулы связи прямоугольных

(x; y) и полярных (ρ;ϕ)

координат:

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ ,

ρ ³ 0, 0 £ ϕ < 2π

уравнение

окружности, получим

ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = R2 , откуда

ρ2 = R2

или

ρ = R .

Итак,

ρ = R

есть

уравнение

окружности

полярных

координатах с центром в начале координат и радиусом R . □

Пример 7. В полярной системе координат составить уравнение

полупрямой, проходящей через полюс и образующей с полярной

осью угол 30o .

Решение. По условию и исходя из определения полярных координат ϕ = π 6 . Радиус-вектор точек полупрямой изменяется от 0 до +∞ . Т.о. уравнение искомой полупрямой в полярных координатах

ρ ³ 0, ϕ = π 6 . □

При выводе уравнения линии иногда удобно выразить координаты x и y произвольной точки этой линии через некоторую вспомогательную

величину t , называемую параметром, т.е. рассматривать уравнение линии

123

как решение системы уравнений x = ϕ(t) , y =ψ (t) . Такое представление

линии называют параметрическим, а соответствующее уравнение –

параметрическим уравнением данной линии.

Если из системы параметрических уравнений удается исключить параметр t , то получаем уравнение линии вида (1).

Пример 8. Составить параметрическое уравнение окружности

радиуса 2 с центром в начале координат.
Решение.		Как известно, x2 + y2 = 4		есть	уравнение данной
окружности	в	прямоугольной	системе	координат.		Очевидно,
x = 2cost ,	y = 2sint, 0 ≤ t < 2π		являются		параметрическими
уравнениями окружности, т.к. x2 + y2 = 4cos2 t + 4sin2 t =						4 . □

Пример 9. Какая линия определяется параметрическими уравнениями x = 2cost, y = 3cos2 t .

Решение. Подставляя cost = 2x в выражение для y , получим

y = 34 x2 . Это уравнение параболы, проходящей через начало координат. □

Пример 10. Линия задана		параметрическими уравнениями
x = 2cos2 t, y = 2sin2 t . Найти ее уравнение в виде (1).
Решение. Складывая	параметрические уравнения, имеем
x + y = 2cos2 t + 2sin2 t = 2 ,	т.е.	x + y = 2 . Получили уравнение
прямой. □

20. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz , некоторую поверхность S и

уравнение

F(x, y, z) = 0 .	(3)
Уравнение (3) будет определять поверхность S в заданной системе
координат, если ему удовлетворяют координаты	любой точки M (x; y; z) ,

принадлежащей поверхности S , и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и соответственно этому определить ее заданием системы двух уравнений. Система двух уравнений

124

ìF (x, y, z) = 0,	(4)
í 1	(4)
îF2 (x, y, z) = 0

задает линию L , если этой системе удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты всякой из точек, не лежащих на линии L .

Пример 11. Записать уравнение поверхности, которая определяет множество точек, cумма квадратов расстояний от которых до за-


данных точек M1(1;2;3)				и M2 (1;0;1) равна 12.
	Решение.		Пусть	M (x; y; z) – точка искомой поверхности. По
условию, MM12 + MM22 =12 , т.е.
		(x −1)2 + ( y − 2)2 + (z − 3)2 + (x −1)2 + y2 + (z −1)2 =12 .
	Преобразовывая, получаем 2(x −1)2 + 2y2 − 4y + 2z2 − 8z + 2 = 0
или	(x −1)2 + ( y −1)2 + (z − 2)2 = 4 .				Таким образом,	искомым
множеством является сфера с центром в точке (1;1;2) радиуса 2. □
	Пример 12. Составить уравнение множества точек,
равноудаленных от точек M1(1;2;−1) и					M2 (0;−2;1) .
	Решение.		Пусть	точка M (x; y; z) принадлежит искомому
множеству. По условию, MM1 = MM2 , т.е.

		(x −1)2 + (y − 2)2 + (z +1)2 = (x − 0)2 + ( y + 2)2 + (z −1)2 .
	После возведения в квадрат обеих частей уравнения, получаем
		(x −1)2 + ( y − 2)2 + (z +1)2 = x2 + ( y + 2)2 + (z −1)2
или	2x + 8y − 4z −1 = 0 .			Это уравнение искомого множества,			а
именно – плоскости, проходящей через середину отрезка						M1M2	и
перпендикулярной ему.				□

Задания для самостоятельной работы

1.Составить уравнение множества точек, равноудаленных от точек

M1(3;7) и M2 (−1;6) .

2.Составить уравнение множества точек, равноудаленных от точек

M1(−3;2) и M2 (2;3) .

125

3.Составить уравнение множества точек на плоскости, если расстояние каждой из них от точки A(3;0) в 4 раза больше их расстояний от точки B(1;0) .

4.Составить уравнение множества точек на плоскости, если расстояние каждой из них от точки A(7;0) в 3 раза меньше их расстояний от точки B(21;0) .

5.Найти уравнение множества точек, сумма квадратов расстояний от которых до точек A(1;−3) и B(2;4) равна 25.

6.Составить уравнение множества точек, отношения расстояний


которых до точки A(2;0)	и до прямой x = 5 равно λ =	1		.
		3

7. Составить уравнение множества точек, отношения			расстояний
которых до точки B(3;0)	и до прямой y = 6 равно λ =		1		.
		2

8.Составить уравнение траектории точки P , которая при движении по плоскости остается втрое дальше от прямой y = 9 , чем от точки A(0;2) .

9.Составить уравнение множества точек, равноудаленных от оси Ox и от точки A(3;2) .

10.Составить уравнение множества точек, равноудаленных от прямой y =1 и точки A(3;−1) .

11.Найти уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки A(−1;5) все время равен утроенному квадрату ее расстояния от оси Oy .

12.Найти уравнение множества точек на плоскости, если абсцисса каждой точки указанного множества есть среднее геометрическое между ординатой этой точки и длиной отрезка, соединяющего эту точку с точкой A(1;0) . Указание: средним геометрическим чисел

aи b называется число m = ab .

13.Найти уравнение множества точек на плоскости, если длина отрезка, соединяющего каждую точку указанного множества с началом координат, есть средняя пропорциональная величина между абсциссой этой точки и ее ординатой.

14.Найти уравнение множества точек на плоскости, обладающих тем свойством, что угловой коэффициент прямой, соединяющей точку искомого множества с точкой A(−1;−2) , в три раза больше

126

углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку множества с точкой B(−4;2) .

15.	Какая	линия	определена параметрическими		уравнениями
	x = 3t +1, y = 6t − 5 ?
16.	Какая	линия	определена	полярными	уравнениями
	x = 3cosϕ − 2, y = 3sinϕ +1?
17.	Какая	линия	определена	полярными	уравнениями

x= r cos3 ϕ, y = r sin3 ϕ ?

18.Составить уравнение множества точек, равноудаленных от точек

A(3;5;1) и B(2;0;3) .

19.Записать уравнение множества точек, равноудаленных от точек

A(2;6;−2) и B(3;−3;4) .

20.Найти уравнение поверхности, которая определяет множество точек, разность квадратов расстояний от которых до заданных точек M1(2;-1;3) и M2 (0;1;-5) равна 2.

21.Изобразить на плоскости множества точек, координаты x, y которых удовлетворяют уравнениям:

=1 ;

= 2 ;

y2 = 6x2 ;

= 0 ;

= lg

22. Какие множества точек задаются неравенствами:

x + y £ 3, x ³ 0, y ³1; 2)

£ 2,

£ 3; 3) x2 + y2 £ 3x - 2y ;

£ 3,

£1,

£ 2 ; 5) x2 + y2 + z2 £ 2x - 6y + z ;

6)2 £ (x +1)2 + ( y -1)2 £ 9, y > x ;

7)(x - 2)2 + (y +1)2 £ 9, (x -1)2 + ( y + 2)2 ³ 3 ;

8)x2 + y2 - 4y < 0, x >1 .

23. Линия задана полярным уравнением 1 = ρ2 sin 2ϕ . Записать уравнение линии в декартовых координатах и определить ее тип.

24.Составить уравнение множества точек, отношение квадрата расстояния которых от точки A(1;0;-1) к абсциссе точки множества есть величина постоянная, равная 3.

25.Найти уравнение множества точек на плоскости, если среднее арифметическое координат каждой точки этого множества равно

длине отрезка, соединяющего эту точку с точкой M (2;3) .

127

26.Записать в полярной системе координат уравнение улитки Паскаля (x2 + y2 − 2ax)2 = 4a2 (x2 + y2 ) .

27.Найти уравнение множества точек пространства, сумма квадратов

расстояний от каждой точки которого до точек A(2;3;−1) и B(1;−1;3) постоянна и равна 17.

28. Линии заданы полярными уравнениями:

1) ρ = cosϕ + 2sinϕ ;	2) ρ2 = 4ρ sinϕ +12 ;
3) ρ2 cos2 ϕ − ρ sinϕ = 3 ;	4) ρ cosϕ = 7 .

Записать уравнения линий в декартовых координатах и определить их тип.

§2. Прямая на плоскости

10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Такое уравнение имеет вид

y = kx + b ,		(1)
где угловой коэффициент k = tgα , α	– угол, образованный прямой с
положительным направлением оси Ox ;	свободный член b равен ординате
точки пересечения прямой с осью Oy .
Если α = 0 , то и k = 0 . Тогда прямая (1) параллельна оси Ox		и ее
уравнение имеет вид y = b . Если α = 90o , то k не существует, прямая		оси
Oy и задается уравнением x = a . При	b = 0 уравнение (1) задает прямую

y = kx , проходящую через начало координат.

Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b = 2 и образующей с положительным направлением

оси Ox угол α = 34π .

Решение. Угол α = 34π , тогда k = tgα = tg 34π = −1. Подставляя k = −1 и b = 2 в (1), получим уравнение искомой прямой y = −x + 2 . □

20. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. Иногда возникает необходимость составить уравнение прямой, зная одну точку M (x1; y1) , ей принадлежащую, и угловой

коэффициент k .

128

Уравнение прямой в этом случае имеет вид

y − y1 = k(x − x1) .

(2)

Пример 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M (2;3)

иобразующейсположительнымнаправлениемоси Ox угол α =

2π

Решение.

Вычислим

k = tgα = tg

= -

Подставляя

k = -

и координаты точки M в (2), получим уравнение прямой

y - 3 = -

3(x - 2) или y = - 3x + 3 + 2 3 . □

30. Общее уравнение прямой. В прямоугольной системе координат

любая прямая задается уравнением

Ax + By + C = 0 ,

(3)

и, обратно, уравнение (3) при произвольных коэффициентах

A, B,C ( A и

B одновременно

не равны нулю)

определяет прямую

в прямоугольной

системе координат Oxy . Ненулевой вектор (A; B)

прямой (3) называется

нормальным вектором этой прямой.

A1x + B1 y + C1 = 0

A2 x + B2 y + C2 = 0

Углом ϕ между прямыми

считают один из двух смежных углов, которые образуют прямые. Один из

этих смежных углов ϕ

равен

углу между

нормальными векторами

a1 = (A1; B1)

и a2 = (A2 ; B2 )

данных прямых. Поэтому

cosϕ =

A1A2 + B1B2

A12 + B12 A22 + B22

Пример 3. Определить угол, который образует с

положительным направлением оси абсцисс прямая 3x + 2y − 7 = 0 .

Решение. Данное уравнение перепишем в виде y = -

x +

Тогда

k = -

. Как известно,

есть тангенс угла наклона между

прямой

положительным направлением

оси

абсцисс.

Значит,

tgα = -

. Откуда α = π + arctg

ç -

÷ . □

Пример 4. Построить прямые:

1) 2x − 5y + 7 = 0 ; 2) 3x − y = 0 ;

3) 8y − 5 = 0 ;

4) 3x + 5 = 0 .

129

Решение. 1) Для построения прямой найдем координаты ее точек A, B пересечения соответственно с осями Ox и Oy . Положив

y = 0 , получим:

Рис. 1	2x + 7 = 0 , x = -			7	, Açæ -	7	;0÷ö .
				2		2
					è			ø
При x = 0 имеем	−5y + 7 = 0 , y =	7	. Тогда точка Bçæ					0;	7	÷ö .

	5					è		5		ø
Строим точки A и B и проводим через них искомую прямую
(рис. 1).						y = 3x . Ему
2) перепишем уравнение прямой (рис. 2)				в виде

удовлетворяют координаты точек (0;0), (1;3) .

Рис.2

Рис.3

Рис.4

3) запишем уравнение в виде y =

. Получили горизонтальную

прямую (рис. 3).

4) перепишем

уравнение

виде

x = -

Получили

вертикальную прямую (рис. 4). □

40. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в уравнении (3) C ¹ 0 .

Тогда, разделив его на −C , получим уравнение вида

= 1 ,

(4)

где a = −

b = −

Уравнение (4)

называют

уравнением

прямой в

отрезках, причем a – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox , b – ордина-

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016260.1 Кб26Маргарин раздат.doc
#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc