Математика для инженеров(практика) I часть
.pdfn |
|
= å(−1)i+1ai1Mi1 . |
(7) |
i=1
20. Свойства определителей:
1)величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами;
2)при перестановке двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный;
3)если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю;
4)общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки можно вынести за знак определителя;
5)если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то и сам определитель равен нулю;
6)если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю;
7) пусть каждый элемент i-ой строки (или j-ого столбца) определителя есть сумма двух чисел. Тогда равен сумме двух определителей, из которых один в i-ой строке (или j-ом столбце) имеет первые слагаемые, а другой – вторые слагаемые суммы; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же; 8) определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца
(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель λ ;
9) для каждого определителя |
порядка n, n ³ 2 , имеет место разложение |
|||||||||||
по произвольной строке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= å(−1)i+ j aij Mij ,i = |
|
|
, |
(8) |
||||||||
1, n |
||||||||||||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или по произвольному столбцу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= å(−1)i+ j aij Mij , j = |
|
. |
(9) |
|||||||||
1, n |
||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы (8), (9) называются формулами Лапласа. |
j =1 |
|||||||||||
Отметим, что при i =1 формула (8) превращается в формулу (6), а при |
||||||||||||
формула (9) совпадает с формулой (7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 3. Вычислить |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
0 |
5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
1 |
−1 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
−4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Выберем строку или столбец, в котором содержится больше всего нулей (если нулей нет, то выбирают любую строку или
11
столбец). В нашем случае это четвертый столбец. Разложим этот определитель, согласно формуле (9), по четвертому столбцу и вычислим определители, используя формулу (4). Получим
|
|
2 |
0 |
5 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 1 -1 0 |
|
|
|
(-1)1+4 |
×(-2) × |
+ (-1)2+4 |
×0 × |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
0 2 |
-2 |
|
0 2 |
-2 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
2 |
-2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
-4 |
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
-4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
||||||||
+(-1)3+4 ×3× |
|
2 |
0 |
5 |
|
+ (-1)4+4 ×0× |
|
2 |
0 |
5 |
|
= 2× |
|
6 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 1 |
-1 |
|
|
6 1 |
-1 |
|
|
0 2 |
-2 |
- |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
-2 |
|
|
|
1 1 |
-4 |
|
|
|||||||||
-3× |
|
2 |
0 |
5 |
|
= 2(-48 + 0 - 2 + 2 - 0 +12) |
- 3(-8 + 0 + 30 - 5 - 0 + 2) = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
1 |
-1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= 2 ×(-36) - 3×19 = -129. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 4. Для определителя |
|
2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
проиллюстрировать |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-3 |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свойство 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. По формуле (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
= -4 + 0 |
- 6 - 7 - 0 - 20 = -37 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-3 1 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Строки исходного определителя запишем в виде столбцов и получим определитель
|
2 |
-3 |
7 |
|
= -4 + 0 - 6 - 7 - 0 - 20 = -37 . |
|
|
||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
5 |
-2 |
|
|
Таким образом, величина определителя не изменилась при замене местами его строк и столбцов. □
Пример 5. Вычислить
3 |
-1 |
1 |
1 |
|
|
||||
-2 |
3 |
0 |
1 |
. |
-1 |
-2 |
4 |
0 |
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
Решение. В данном определителе поменяем местами первую и последнюю строки. Тогда, по свойству 2), перед определителем поставим знак “–“:
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 3 |
0 1 |
|
|
= - |
|
|
|
-2 3 0 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
-2 |
4 0 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
-2 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
-1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
По свойству 8) умножим первую строку на 2 и сложим со второй; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первую строку сложим с третьей; первую строку умножим на (–3) и |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сложим с четвертой. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
-2 3 0 1 |
|
= - |
|
0 3 |
|
4 |
7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
-2 4 0 |
|
|
|
|
|
0 |
-2 6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
-1 1 1 |
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
-5 |
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
По формуле (9) разложим определитель по элементам первого |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
столбца: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 3 |
4 |
7 |
|
= -(-1)1+1 |
×1× |
- (-1)2+1 × |
0 × |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
- |
|
|
-2 6 |
3 |
-2 6 |
|
|
3 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
-2 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 -5 -8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 -5 -8 |
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
-1 |
-5 |
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
-(-1)3+1 |
×0 × |
|
0 |
2 |
|
|
|
3 |
|
- (-1)4+1 |
|
×0 × |
|
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
7 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
3 4 7 |
|
= - |
|
-2 6 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
-1 |
-5 |
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 6 3 |
|
|
|
|
-1 |
-5 |
-8 |
|
|
|
|
По свойству 4) из последней строки вынесем (–1) за знак определителя. Поменяем местами, согласно свойству 2), первую и третью строки определителя местами и вычислим его, раскладывая по элементам первого столбца:
3 |
4 |
7 |
|
3 |
4 |
7 |
|
1 |
5 |
8 |
|
1 |
5 |
8 |
|
-2 6 |
3 |
= |
-2 |
6 |
3 |
= - |
-2 6 |
3 |
= - |
0 |
16 19 |
= |
|||
-1 |
-5 |
-8 |
|
1 |
5 |
8 |
|
3 |
4 |
7 |
|
0 |
-11 |
-17 |
|
= -(-1)1+1 ×1× |
16 |
|
19 |
- (-1)2+1 |
×0 × |
5 |
|
8 |
|
- (-1)3+1 ×0 × |
5 |
8 |
= |
||||||||||
|
|
|
|
-11 |
-17 |
|
|
|
|
|
|
-11 |
|
-17 |
|
|
16 |
19 |
|
||||
= - |
|
16 |
19 |
|
|
= |
|
16 |
19 |
|
=16×17 -11 |
×19 = 63. □ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
-11 |
-17 |
|
|
|
|
11 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Для определителя |
|
1 |
3 |
|
5 |
|
проиллюстрировать |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
6 |
|
-1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
свойство 5).
Решение. По формуле (8) разложим определитель по элементам третьей строки:
13
1 |
3 |
5 |
= (-1)3+1 ×0× |
|
3 |
5 |
|
+ (-1)3+2 ×0 × |
|
1 |
5 |
|
+ (-1)3+3 ×0× |
|
1 |
3 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
6 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
6 |
-1 |
|
|
|
2 |
-1 |
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получили, как и утверждается в свойстве 5), что определитель равен нулю. □
3 1 -1
Пример 7. Вычислить 6 2 5 . 6 2 5
Решение. В данном определителе вторая и третья строки одинаковы. Применим свойство 3).
Вычтем из элементов третьей строки элементы второй. Получим
|
3 |
1 |
-1 |
|
. |
|
|
||||
|
6 |
2 |
5 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
По свойству 5) этот определитель равен 0. □ Пример 8. Вычислить
|
2 |
-1 |
3 |
|
|
|
|
||||
|
7 |
2 |
-6 |
|
. |
|
1 |
3 |
-9 |
|
|
Решение. Здесь второй и третий столбцы пропорциональны. Применим свойство 6).
Умножим второй столбец на 3 и сложим с третьим. Получим
|
2 |
-1 |
3 |
|
|
|
2 |
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
7 |
2 |
-6 |
|
= |
|
7 |
2 |
0 |
|
. |
|
1 |
3 |
-9 |
|
|
|
1 |
3 |
0 |
|
|
По свойству 5) этот определитель, как утверждается в свойстве 6), равен нулю. □
Пример 9. Вычислить
2 |
1 |
-3 |
0 |
|
|
||||
4 |
-3 |
0 |
1 |
. |
-1 |
2 |
-5 |
0 |
|
3 |
0 |
-1 |
3 |
|
Решение. Поменяем местами, с учетом свойства 2), первый и второй столбец. Получим
14
2 |
1 |
-3 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
-3 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
-3 0 |
1 |
|
= - |
|
-3 4 |
0 1 |
|
. |
|||
-1 2 |
-5 |
0 |
|
|
|
2 |
-1 |
-5 |
0 |
|
|
|
3 |
0 |
-1 |
3 |
|
|
|
0 |
3 |
-1 |
3 |
|
|
По свойству 8) умножим первую строку на 3 и сложим со второй; первую строку умножим на –2 и сложим с третьей:
|
|
1 |
2 |
-3 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
-3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
|
-3 4 |
0 1 |
|
= - |
|
0 |
10 |
-9 |
1 |
|
. |
||
|
|
2 |
-1 |
-5 |
0 |
|
|
|
0 |
-5 1 0 |
|
|
||
|
|
0 |
3 |
-1 |
3 |
|
|
|
0 |
3 |
-1 |
3 |
|
|
Поменяем местами, с учетом свойства 2), второй и четвертый столбец. Получим
|
|
1 |
2 |
-3 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
-3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
|
0 |
10 |
-9 |
1 |
|
= |
|
0 |
1 |
-9 |
10 |
|
. |
|
|
0 |
-5 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
-5 |
|
|
|
|
0 |
3 |
-1 |
3 |
|
|
|
0 |
3 |
-1 |
3 |
|
|
По свойству 8) умножим вторую строку на (–3) и сложим с четвертой:
|
1 |
0 |
-3 |
2 |
|
|
|
1 |
0 |
-3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
1 |
-9 |
10 |
|
= |
|
0 |
1 |
-9 |
10 |
|
. |
|
0 |
0 |
1 |
-5 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
-5 |
|
|
|
0 |
3 |
-1 |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
26 |
-27 |
|
|
Умножим третью строку на (–26) и сложим с четвертой:
|
1 |
0 |
-3 |
2 |
|
|
|
1 |
0 |
-3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
1 |
-9 |
10 |
|
= |
|
0 |
1 |
-9 |
10 |
|
. |
|
0 |
0 |
1 |
-5 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
-5 |
|
|
|
0 |
3 |
-1 |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
103 |
|
|
Используя результат примера 2, получим
|
1 |
0 |
-3 |
2 |
|
|
|
||||
|
0 |
1 |
-9 |
10 |
=1×1×1×103 =103 . □ |
|
0 |
0 |
1 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
0 |
103 |
|
Пример 10. Решить неравенство
2x |
2 |
4x |
> 0 |
1 |
x |
2 |
|
4 |
2 |
6 |
|
Решение. Вычислим определитель по формуле (4):
2x |
2 |
4x |
=12x2 +16 + 8x -16x2 -12 - 8x = 4 - 4x2 . |
1 |
x 2 |
||
4 |
2 |
6 |
|
15
Тогда, согласно условию, 4 - 4x2 > 0 или x2 -1< 0 . Решением полученного неравенства является интервал (−1;1) . □
40. Алгебраическое дополнение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij
определителя n -го порядка называют число (-1)i+ j Mij , где Mij –минор элемента aij . Таким образом, алгебраическое дополнение элемента aij может отличаться от минора Mij только знаком.
Учитывая понятие алгебраического дополнения, перепишем формулы Лапласа (8), (9) так:
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
D = åaij Aij , |
(10) |
|
|
|
|
|
j=1 |
|
где i (i = |
1, n |
) |
|
– номер строки; |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
D = åaij Aij , |
(11) |
где j ( j = |
|
|
|
i=1 |
|
|
1, n |
) |
– номер столбца. |
|
Приведем еще два свойства определителей.
10) Свойство замены. Сумма произведений произвольных n чисел
c1,c2 ,...,cn на алгебраические дополнения элементов i -ой строки ( i = 1, n ) матрицы A есть определитель матрицы A1 , которая получена из матрицы А заменой элементов i -ой строки на числа c1,c2 ,...,cn .
11) Свойство аннулирования определителя. Сумма произведений элементов одной из строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки равна нулю, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai1Ak1 + ai2 Ak 2 +...+ ain Akn = 0, |
(12) |
|||||
где i ¹ k |
(i, k = |
|
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 11. Найти алгебраические дополнения всех элементов |
|
||||||||||||||
определителя |
|
|
2 |
|
-1 |
5 |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
-2 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
Решение. Алгебраическим дополнением элемента a11 = 2 является |
|
||||||||||||||
число A |
|
= (-1)1+1 |
× |
|
1 |
4 |
|
=1, которое получается из данного |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
определителя вычеркиванием первой строки и первого столбца.
16
Аналогично, вычеркиванием из определителя первой строки и
второго столбца, |
получаем A = (-1)1+2 × |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
= -9 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
A = (-1)1+3 |
× |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
= 2 , A = (-1)2+1 |
× |
|
-1 5 |
|
=1, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
0 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A = (-1)2+2 × |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
=12 , A = (-1)2+3 × |
|
|
2 -1 |
|
= 2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
1 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
A = (-1)3+1 |
× |
|
-1 |
5 |
|
|
|
|
|
= -9 , A = (-1)3+2 × |
|
2 5 |
|
= -3 , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A = (-1)3+3 |
× |
|
|
|
2 -1 |
|
|
|
= 3 . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы |
||||||||||||||||||||||||||||||
1. Вычислить определители третьего порядка: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
2 |
3 |
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
2) |
|
-5 |
6 |
|
7 |
|
; |
|
|
3) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
-1 |
-2 |
-8 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
1 |
2 |
3 |
|
; |
|
|
5) |
|
|
-5 10 15 |
|
; |
6) |
|
1 |
-1 0 |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1 2 |
8 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
2 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
6 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|||||||||||
7) |
|
8 |
|
9 |
10 |
|
; |
|
|
|
8) |
|
|
-1 |
2 |
|
6 |
|
; |
9) |
|
0 |
1 |
2 |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
3 |
|
|
1 |
0 |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
9 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
-3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
-2 3 -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10) |
|
5 |
|
-2 |
|
1 |
|
; |
11) |
|
|
-5 |
0 |
|
-1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
-1 |
|
-5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 2
12) 4 3 2 . -1 4 -3
2. Вычислить определители четвертого порядка
17
|
−2 3 |
5 |
−1 |
|
4 |
8 |
−5 2 |
|
|
−4 0 |
2 7 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
0 |
1 |
−3 |
0 |
; 2) |
2 |
−4 |
7 |
0 |
; |
3) |
1 |
−1 |
−1 |
2 |
; |
4 |
−2 3 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
5 |
6 |
−8 |
−3 |
||||||
|
0 |
1 |
−2 |
0 |
|
3 |
−5 |
4 |
1 |
|
|
0 |
6 |
−5 |
2 |
|
|
5 7 |
|
−2 2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
0 |
|
1 |
−3 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4) |
11 4 |
−12 7 |
; 5) |
|
|
−8 −7 |
|
−6 |
−5 |
; 6) |
|
|
3 |
|
0 |
1 |
0 |
; |
||||||||
0 3 |
−6 7 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
0 |
|
−2 4 |
−3 |
|||||||||||
|
0 5 |
|
0 |
2 |
|
|
|
−9 −8 |
|
−7 |
−6 |
|
|
−3 2 |
0 |
−1 |
|
|||||||||
|
2 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
−1 0 |
|
1 |
3 |
|
|
6 |
|
−2 0 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7) |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
|
; 8) |
3 |
1 |
|
0 |
1 |
; |
9) |
0 |
|
13 0 |
−5 |
. |
|
||||||
0 |
−2 |
−3 0 |
|
|
−1 0 |
|
3 |
1 |
6 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
3 |
|
|
3 |
|
5 |
0 |
−1 |
|
|
3.Пользуясь свойствами определителей, вычислить следующие определители:
|
sin2 |
α |
1 |
cos2 α |
|
1) |
sin2 |
β |
1 |
cos2 β |
; |
|
sin2 γ |
1 |
cos2 γ |
|
2) |
|
a + b c |
1 |
|
; |
3) |
|
x a α x + βa |
|
; |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
b + c |
a 1 |
|
|
y b |
α y + βb |
|
|||||
|
|
c + a |
b |
1 |
|
|
|
|
z c |
α z + βc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + a2 ax 1 |
|
|||||
|
|
cos x |
−sin x |
|
|
|
|
|
a3 − b3 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4) |
|
; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; 6) |
|
y2 + a2 |
ay 1 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + a2 |
az 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
||||||||||||
7) |
|
ctgx |
−1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить определители: |
|
|
|
|
−1 0 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) |
|
1 |
2 |
3 4 5 |
|
; |
|
|
|
2) |
|
2 |
−2 1 0 1 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
0 |
3 0 1 |
|
|
|
|
|
−2 |
0 |
|
|
−1 3 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
4 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
0 |
−1 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−2 |
|
−1 |
|
−3 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
2 |
|
|
−1 |
1 |
|
|
−2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
−2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
−1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
3) |
|
0 |
0 |
3 |
2 |
1 |
; |
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 −1 2 −1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
−1 |
2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
|
1 |
2 |
−1 |
−2 0 |
|
|
|
2 |
3 |
−1 0 −1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5) |
|
0 |
0 |
1 |
−2 1 |
|
; 6) |
|
1 |
−1 0 1 3 |
|
; |
|
|
|||||||
|
−1 0 |
−2 1 |
0 |
|
|
|
|
2 |
−1 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
−1 2 4 −1 |
|
|
|
3 |
2 |
0 |
−1 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
2 |
−3 |
−1 0 |
|
|
|
3 |
2 |
0 |
−1 3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
−1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
2 1 |
−1 0 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7) |
|
−1 0 1 |
−1 0 |
|
|
|
; 8) |
|
−2 0 |
−2 |
−1 0 |
|
. |
||||||||
|
1 |
−1 0 |
1 |
−1 |
|
|
|
1 |
−1 2 |
1 |
−1 |
|
|||||||||
|
|
0 |
1 |
−1 0 |
1 |
|
|
|
|
|
−1 1 |
−1 0 |
1 |
|
|
||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
−1 0 |
|
|
|
|
|
1 0 |
2 |
−1 0 |
|
|
5. Определить, при каком значении параметра a уравнение
ax |
2 |
4 |
= 0 имеет ровно один корень. |
1 |
x |
0 |
10 1
6.Решить уравнения:
1) |
|
3x |
2 |
3x+1 |
|
= −2x+1 ; |
2) |
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
= 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
−1 |
|
|
1 0 x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
1 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
1 −1 2 |
|
= |
|
|
|
x 0 2 |
|
; |
4) |
|
x |
x −2x |
|
= |
|
1 |
|
|
x −2 |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
−1 2 1 |
|
x −1 |
−1 |
0 |
|
|
−x |
−1 0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−3 1 |
−1 |
|
|
|
|
|
−x 1 1 |
|
|
|
|
|
−1 1 |
1 |
|
|
|
−1 0 1 |
|
|
|||||||||||||
5) |
|
sin 2x |
cos2x |
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
sin 4x |
cos4x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. Найти среднее арифметическое корней уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x − 1 |
2 |
x − 1 |
2 |
|
|
|
= 9x − 4,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(x −1)3 |
(x + 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. Найти произведение корней уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) |
|
x −1 |
x |
2 |
|
= 0 ; |
|
|
2) |
|
x −1 1 |
|
0 |
|
|
= −1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
x −1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−2 2 − x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. Найти наименьшее и наибольшее значения определителя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
x +1 |
3x |
|
|
на отрезке x [−1;4] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Решить неравенства:
19
1) |
|
10 x +1 -2 |
|
|
|
70 ; 2) |
|
-1 1 2 |
|
|
|
2 x 2 |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x - |
1 |
5 |
1 |
|
|
£ |
|
2 x x |
£ |
|
|
1 2 -x |
||||||||||||
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
3 |
|
|
|
-1 1 x |
|
|
||||||
|
|
-1 x |
0 -1 |
|
|
|
|
|
|
x -1 0 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
|
1 |
-1 0 |
x |
³ 0 ; 4) -1< |
|
1 |
- x 2 |
1 |
-2 |
|
|
< 3 ; |
||||||||||||
|
|
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
||
|
|
x |
2 |
-1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
-1 1 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
2x |
0 |
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5) |
|
1- x |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
³ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
x +1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x + 2 |
-1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Вычислить определители и все алгебраические дополнения их
элементов: 1) |
|
4 |
2 |
-3 |
|
; 2) |
|
3 |
2 |
-1 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
1 |
-2 |
|
|
7 |
-1 |
0 |
|
|||
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
4 |
1 |
5 |
|
|
§ 2. Алгебра матриц
10. Действия над матрицами. Суммой двух матриц A = (aij ) и B = (bij )
одинаковых размеров m× n называется матрица C = (cij ) тех же размеров,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B:
cij = aij + bij ; i = |
1, m |
, j = |
1, n |
. |
(1) |
Для обозначения суммы матриц A и B используют запись A+B. Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц. Очевидно, что операцию сложения матриц можно распространить на случай любого числа слагаемых.
Произведением матрицы A = (aij )(i = 1, m, j = 1, n) на число α называется
матрица C = (cij )(i = 1, m, j = 1, n) , каждый элемент которой есть
произведение соответствующего элемента матрицы A и числа α : C = α A , т.е.
cij = αaij , i = |
1, m |
, j = |
1, n |
. |
(2) |
Операция нахождения произведения матрицы на число называется
умножением матрицы на число.
Разностью A − B двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) одинакового размера m× n назовем матрицу C = (cij ) такого же размера, которая получается с помощью правила
20