Математика для инженеров(практика) I часть

Поэтому координаты его фокусов (−2;0), (2;0) . Эти точки должны

быть вершинами гиперболы. Значит фокусы гиперболы лежат на оси Ox и, по условию, совпадают с вершинами эллипса.

Тогда для гиперболы: a = 2, c = 23 , b2 = c2 - a2 =12 - 4 = 8.

Искомое уравнение гиперболы имеет вид x2 - y2 =1 . □

4 8

Пример 17. Найти уравнение множества точек, равноотстоящих

уравнение окружности в виде

(рис. 7).

Очевидно, расстояние от

191

мого множества до окружности равно разности расстояний AM от этой точки до центра окружности и радиуса AN самой окружности,

т.е. (x + 2)2 + y2 - 2 .Расстояние между точками M и B равно

(x - 2)2 + y2 .

Таким образом, согласно условию задачи получаем уравнение

(x + 2)2 + y2 - 2 = (x - 2)2 + y2 ,

которое после возведения в квадрат равносильно следующему: (x + 2)2 + y2 = (x - 2)2 + y2 + 4(x - 2)2 + y2 + 4 ,

2x -1 = (x - 2)2 + y2 , (2x -1)2 = (x - 2)2 + y2 , 3x2 - y2 = 3 .

действительной полуосью a =1 и мнимой – b = 3 . □

Фокальными радиус-векторами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами гиперболы. Длины фокальных радиус-векторов точки правой ветви гиперболы вычисляются так: r1 = ε x − a

Решение. Найдем точки пересечения гиперболы и окружности из системы:

Получили точки

192

получаем

r1 = - 541 × 5 214 - 5 » -16,98 , r2 = - 541 × 5 214 + 5 » -6,98. □

40. Парабола и ее каноническое уравнение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F , называемой фокусом, и от данной прямой L , называемой директрисой.

Уравнение параболы, изображенной на рис. 8, имеет вид

(x0; y0 ) параболы, имеет вид

193

yy0 = p(x + x0 ) .

Парабола, уравнение которой y2 = −2 px, p > 0 , расположена слева от оси ординат (рис. 9а)). Ее вершина совпадает с началом координат О, осью симметрии является ось Ох. Уравнение x2 = 2 py, p > 0 , является

уравнением параболы с вершиной в точке О и осью симметрии Оу (рис.9б)). Такая парабола

параболу, которая лежит ниже оси Ох, с вершиной в точке О и осью симметрии Оу (рис. 9в)).

Пример 19. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, проходящей через точку М(5;2) и симметричной относительно оси Оу.

Решение. Подставляя координаты точки M в уравнение x2 = 2 py ,

находим p = 254 . Значит, уравнение искомой параболы 2x2 = 25y . □

Пример 20. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей

на биссектрисе I и III координатных углов хорду длиной 42 . Решение. Так как парабола симметрична относительно оси Оу,

то будем искать ее уравнение в виде x2 = 2 py либо x2 = -2 py . Уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид

y = x .

Тогда парабола x2 = 2 py будет пересекать эту прямую в точках (0;0), (x0; x0 ) . Длина хорды между этими точками x0 2 . По условию,

x0 2 = 42 , откуда x0 = 4 .

Подставим координаты точки (4;4) в уравнение параболы: 42 = 2 p × 4 . Тогда p = 2 . Уравнение искомой параболы x2 = 4y .

194

ее координаты удовлетворяют уравнению y2 =16x . Расстояние от нее до

195

фокального радиус-вектора точки параболы определяется по формуле r = x + 2p ( p > 0) .

Пример 23. Определить угол α между фокальным радиусом точки М(4;3) параболы, проходящей через эту точку, с вершиной в начале координат, симметричной

фокальным радиусом точки М и осью Oy − π2 - arctg 5548 . □

Задания для самостоятельной работы

1.Составить уравнение окружности, с центром в точке (5;−7) и проходящей через точку (6;−1) .

2.Составить уравнение окружности, с центром в точке (3;−5) и проходящей через точку (2;0) .

3.Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты: а) (3;−1) и (0;3) ; б) (7;−3) и (5;−3) .

4.Составить уравнение окружности, диаметром которой является

отрезок прямой 3x + 2y −1 = 0 , заключенный между осями координат.

196

8.Составить уравнение окружности, проходящей через точки

A(3;6), B(9;0), C(−1;−10) .

9.Составить уравнение окружности, проходящей через точки

A(−1;8), B(3;4), C(−5;−4) .

10.Составить уравнение окружности, описанной около треугольника,

сторонами которого являются прямые x − 6y + 26 = 0 , x + y − 9 = 0, x − y +11 = 0 .

11. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, сторонами которого являются прямые x + y −12 = 0 ,

2x − y + 9 = 0, x − y = 0 .

12.Составить уравнения окружностей, касающихся оси абсцисс в точке A(4;0) и имеющих радиус 5.

13.Составить уравнения окружностей, касающихся оси ординат в точке B(0;6) и имеющих радиус 4.

14.Составить уравнения окружностей, касающихся оси ординат и проходящих через точки (5;−1), (10;4) .

15.Составить уравнения окружностей, касающихся оси абсцисс и проходящих через точки A(1;2) и B(3;4) .

16.Составить уравнения окружностей, касающихся осей координат и проходящих через точку M (10;5) .

17.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(10;4), B(8;−6) и имеющей центр на оси абсцисс.

18.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(4;2), B(−5;3) и имеющей центр на оси ординат.

19.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(3;3), B(2;4) , если ее центр лежит на прямой 2x − y + 4 = 0 .

20.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(3;2), B(−1;−6) , если ее центр лежит на прямой, пересекающей

оси координат в точках (2;0), (0;−4) .

197

21.Составить уравнение окружности, с центром в точке (−2;2) , если она касается прямой 6x + 2y + 68 = 0 .

22.Составить уравнение окружности, проходящей через начало

координат и отсекающей на осях Ox, Oy соответственно отрезки

4, –8.

23. Найти координаты центра и радиусы окружностей:

x2 + y2 −10x +16y + 80 = 0 и x2 + y2 + 6x + 4y −12 = 0 .

25.Составить уравнение прямой проходящей через центры окружностей x2 + y2 − 2x + 3y − 4 = 0 и x2 + y2 − x + y − 3 = 0 .

26. В окружности x2 + y2 − 4x +12y + 4 = 0 диаметр образует угол

60o с положительным направлением оси абсцисс. Составить уравнение диаметра.

27.В окружности x2 + y2 − 2x + 6y + 2 = 0 диаметр образует равные

углы с положительными направлениями осей координат. Составить уравнение диаметра.

30.Составить уравнение радиуса, проведенного в точке (−9;−2) окружности x2 + y2 − 6x +14y −111 = 0 .

31.Составить уравнение касательной, проведенной в точке (−12;11) окружности x2 + y2 + 2x −10y −131 = 0 .

32.Составить уравнение общей хорды двух пересекающихся окружностей:

а) x2 + y2 + 8x + 2y + 4 = 0 , x2 + y2 + 3x −13y + 4 = 0 ;

б) x2 + y2 + 6x − 4y +10 = 0 , x2 + y2 + 5x − 2y + 6 = 0 .

198

параллельной оси ординат и пересекающей окружность в точках A и B, таких что AB = 3 .

35.В окружность с центром в начале координат вписан квадрат ABCD. Найти радиус окружности и координаты вершин B, C, D, если (2;−10) – координата вершины A.

36.Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, образованный прямыми x = 0, y = 0 и 2x + 5y −10 = 0 .

37.Составить уравнения касательных, проведенных к окружности

x2 + ( y -1)2 = 5 из точки (3;−10) .

38.Составить уравнение эллипса, проходящего через точки (2;1) и

æ3 2 ö

ç÷

ç2 ÷

è ø

39.Составить уравнение эллипса, проходящего через точки (3;0) и3;- .-

(-2;-5) .

40.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках (3;0), (−3;0) и эксцентриситет ε = 0,6 .

41.Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox , если он про-

42.Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет ε = 0,5 .

43.Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox , если сумма полуосей его равна 6 и расстояние между фокусами равно 43 .

199

46.Определить полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис для каждого из эллипсов:

прямой.

48.Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках (3;0), (−3;0) и фокусы в точках (5;0), (−5;0) .

49.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если длина ее действительной оси равна 14, а расстояние между фокусами равно 22.

50.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если фокусы ее расположены в точках (8;0), (−8;0) , а эксцентриситет

ε= 3,5 .

51.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если

фокусы ее расположены в точках (±32;0) , а эксцентриситет

ε= 4 .

52.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если

фокусы ее расположены в точках (±2;0) , а эксцентриситет

ε= 5 .

53.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если сумма ее полуосей равна 28 и расстояние между ее фокусами 40.

54.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если сумма ее полуосей равна 34 и расстояние между ее фокусами 52.

55.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если разность ее действительной и мнимой полуосей равна 7, а расстояние между ее фокусами 34.

56.Составить уравнение гиперболы, если длина ее действительной оси равна 10 и гипербола проходит через точку (−10;3).

57.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если длина ее мнимой оси равна 12 и гипербола проходит через точку

(20;8) .

200