Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf

Скачиваний:

115

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

2.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3824 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Рис.8 Рис. 9 Двуполостным гиперболоидом называют поверхность, определяемую в

декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением

x2	+	y2	−	z2	= −1 .	(13)
a2		b2		c2

Двуполостный гиперболоид изображен на рис. 9.

Величины a, b, c называют полуосями гиперболоидов (12) и (13).

Пример 17. Выяснить, какая поверхность определяется уравнением 4x2 + y2 − z2 − 24x − 4y + 2z + 35 = 0 .

Решение. Выделим полные квадраты для каждой из переменных x, y, z :

4(x2 − 6x + 9) − 36 + ( y2 − 4y + 4) − 4 − (z2 − 2z +1) +1+ 35 = 0

или 4(x − 3)2 + ( y − 2)2 − (z −1)2 = 4 . Разделим обе части уравнения на

(x − 3)	2	+	(y − 2)2	−	(z −1)	2	=1.
1			4		4

Получили уравнение однополостного гиперболоида с центром в точке (3;2;1) и полуосями a =1, b = 2, c = 2 . □

Пример 18. Какая поверхность определяется уравнением x2 + y2 − z2 − 2x − 2y + 2z + 2 = 0 ?

Решение. Выделим полные квадраты:

231

(x2 - 2x +1) -1+ (y2 - 2y +1) -1- (z2 - 2z +1) +1+ 2 = 0 или (x -1)2 + (y -1)2 - (z -1)2 = -1.

Получили уравнение двуполостного гиперболоида с центром в точке (1;1;1) и полуосями a =1, b =1, c =1. □

Пример 19. Составить уравнение однополостного гиперболоида,

полученного вращением гиперболы

=1, y = 0

вокруг оси Oz .

Решение. Поверхность, полученная при вращении гиперболы

=1, y = 0

вокруг

оси

Oz ,

называется

однополостным

гиперболоидом вращения. По формулам (10) имеем

x2 = ϕ12

(z) = a2

2 ö

ç1+

÷, y = ϕ2 (z) = 0 .

2 ÷

Согласно

(11),

получим

уравнение

однополостного

гиперболоида вращения x2

+ y2 = a2

+ 02 или

ç1

x2 + y2 - z2 =1. □ a2 a2 c2

80. Параболоиды. Эллиптическим параболоидом (рис. 10) называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат Oxyz


каноническим уравнением
z =		x2	+		y2		.	(14)
		a2
					b2
Гиперболическим параболоидом (рис. 11) называется поверхность,
определяемая каноническим уравнением
z =	x2		−	y2		.		(15)
	a2
				b2

Из уравнений (14) и (15) вытекает, что плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии параболоидов.

Ось Oz называется осью параболоида, а точка ее пересечения с поверхностью параболоида – вершиной.

232

Рис. 10							Рис. 11
Пример 20. Привести к каноническому виду уравнение
9x2 + z2 −18x − 9y − 6z = 0 .
Решение. Выделим полные квадраты для переменных x,								z :
9(x2 − 2x +1) − 9 + (z2 − 6z + 9) − 9 − 9y = 0
или 9(x −1)2 + (z − 3)2 = 9y +18 . Разделим обе части уравнения на 9:
	(x −1)2 +				(z − 3)2		= y + 2 .
	(x −1)2 +				9		= y + 2 .
Получили уравнение			эллиптического параболоида					с	осью
x =1, z = 3 и вершиной в точке (1;–2;3). □
Пример 21. Выяснить, какая поверхность задается уравнением
x2 − y2 − 4x + 8y − 3z = 0 . Записать ее канонический вид.
Решение. Выделим полные квадраты для переменных x,								y :
(x − 2)2 − (y − 4)2 = 3z −12 .		Разделим обе					части уравнения	на	3	и
получим соотношение:
	(x − 2)2					(y − 4)2
				−			= z − 4 ,
		3		−	3		= z − 4 ,
которое определяет гиперболический параболоид с осью x = 2, y = 4										и

вершиной в точке (2;4;4). □ Пример 22. Составить уравнение параболоида вращения,

полученного вращением параболы x2 = 2z, y = 0 вокруг оси Oz . Решение. По формулам (10) имеем

233

x2 = ϕ12 (z) = 2z, y = ϕ2 (z) = 0 .

Согласно (11), получим уравнение эллиптического параболоида вращения x2 + y2 = 2z . □

Задания для самостоятельной работы

1.Составить уравнение сферы, проходящей через точку M (−1;−5;4) и касающейся координатных плоскостей.

2.Составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы

x2 + y2 + z2 - 4x - 4y + 4 = 0 и перпендикулярной к прямой, походящей через точки M1(2;3;6), M2 (0;0;2) .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы x2 + y2 + z2 + 2x - 6y - 2z - 5 = 0 и перпендикулярной линии пересечения плоскостей 2x + 3y + 6z − 2 = 0, x + y = 0 .

4.Составить уравнение сферы, проходящей через точки A(1;4;−1) , B(−3;2;−3) , С(2;0;–2), если ее центр находится в плоскости Оyz.

5.Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

x2 + y2 + z2 - 6x - 8y + z - 4 = 0 .

6.Определить координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 + x + y - 2z - 4 = 0 .

7.Составить уравнение сферы, проходящей через точки (0;0;13) , (−1;8;−2) , (−9;−1;5), (−1;−1;−11) .

8.Составить уравнение сферы, проходящей через точки (0;2;1) , (−4;−4;1) , (−5;0;2), (−1;−3;−3) .

9.Установить, какие поверхности в пространстве определяются следующими уравнениями, и построить эти поверхности:

	а) x2 + y2 = 9 ;	в) x2 - 2y2 =1;						д) y2 = 3x ;
	б) z2 = 6y ;	г) x2 + y2 = 6x ;						е) x2 + 4y2 = 0 .
10.	Найти координаты центра и радиус окружности
	ì		2	+ (y + 2)	2	+ (z -1)	2	=100,
	ï(x - 3)			+ (y + 2)		+ (z -1)		=100,
	í
	ï2x - 2y - z + 9 = 0.
	î
11.	Найти координаты центра и радиус окружности

234

ìï(x -1)2 + ( y - 2)2 + z2 =10,

ïî2x - 3y + z -1 = 0.

12.Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны вектору a(−3;2;5) , а направляющая задана уравнениями (x -1)2 + y2 = 36, z = 2 .

13.Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны вектору a(2;1;1) , а направляющая задана

уравнениями

=1, z = 0 .

14.

Составить уравнение кругового цилиндра, проходящего через

точку A(2;1;3) , если его осью является прямая

x -1

y +1

15.

Составить уравнение кругового цилиндра, проходящего через

точку

A(3;0;5) ,

если

его

осью

является

прямая

x = 2t + 3, y = 3t, z =1− t .

16.Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси Ox , а направляющая задана

уравнениями	z2	+	y2	=1, x = 0 .
	6		5

17. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны прямой x = t, y = 4t, z = t , а направляющая

задана уравнениями	x2	-	z2	=1, y = 4 .
	4		2

18. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны вектору a(2;4;−2) , а направляющей служит

парабола y2 = 7x + 3, z = 2 .

19. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой составляют равные углы с координатными осями, а

направляющей служит парабола x2 = 5y, z =1 .

20. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке (1;2;1) , направляющая которой задана окружностью

x2 + y2 = 5, z = 3 .

235

21.Составить уравнение конической поверхности, вершина которой находится в точке A(1;1;0) , а направляющая задана уравнениями

z2 = x2 + y2 , z = 3x .

22.Составить уравнение конической поверхности, вершина которой находится в точке M (2;3;1) , а образующие составляют с

плоскостью 4x + 2y − 3z + 2 = 0 углы 45o .

23.

Составить

уравнение

конуса,

описанного

около

сферы

x2 + y2 + z2

= 4 , если вершина конуса находится в точке (0;4;0) .

24.

Составить

уравнение

конуса,

описанного

около

сферы

(x −1)2 + y2

+ z2 = 9 ,

если вершина

конуса

находится

в точке

пересечения прямых

x − 3

y + 3

= −

z − 2

x +1

y + 6

z + 4

25.Составить уравнение круглого цилиндра, описанного около двух сфер (x − 2)2 + (y +1)2 + (z −1)2 = 25 , (x −1)2 + ( y − 4)2 + z2 = 25 .

26.Составить уравнение кругового конуса, образующими которого

являются оси координат.

27.

Составить

уравнение

поверхности

вращения

параболы

y2 = 6x, z = 0 вокруг оси Ox .

28.

Составить

уравнение

поверхности

вращения

эллипса

=1, z = 0 вокруг оси Oy .

29.

Составить уравнение поверхности вращения вокруг оси Ox ги-

перболы

−

=1, z = 0

30.

Составить

уравнение

поверхности

вращения

гиперболы

−

=1, z = 0 вокруг оси Oy .

31.

Составить

уравнение

поверхности

вращения окружности

(x −1)2 + y2 = 4, z = 0 вокруг оси Ox .

32.

Составить

уравнение

поверхности

вращения

гиперболы

xy = 3, z = 0

вокруг оси Ox .

33.

Установить, что плоскость x − 2 = 0 пересекает эллипсоид

236

x2 + y2 + z2 =1 по эллипсу и найти его вершины и полуоси. 16 25 6

34. Показать, что плоскость					y − 4 = 0 пересекает гиперболический
параболоид	x2	−	y2	= 4z	по параболе. Найти ее параметр,
	8
		4

вершину и ось симметрии.

35. Найти вершины и полуоси гиперболы, по которой пересекаются

плоскость y = 4 и однополостный гиперболоид

−

=1 .

36.

Составить

уравнения

линий

пересечения

конуса

x2 − 3y2 + 6z2 = 0 с плоскостями: 1)

y = 3 ; 2) z =1.

37.

Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат,

направляющая которого задана уравнениями x = a, y2 + z2 = b2 .

38.

Найти

координаты

центра

полуоси

эллипсоида

2x2 + 6y2 + z2 − 4x −12y + 3z − 4 = 0 .

39.

Какую

поверхность

определяет

пространстве

уравнение

4y2 = 3xy + y ?

40.

Какую

поверхность

определяет

пространстве

уравнение

4x2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 2yz + 2x + y + z − 2 = 0 ?

41.

Напишите

уравнение

фигуры, полученной вращением прямой

x − 4y = 0, z = 0 вокруг оси Ox .

42.Напишите уравнение фигуры, полученной вращением прямой

x+ 2z − 4 = 0, y = 3 вокруг оси Oz .

43.Составьте уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями

координат	и	который	проходит	через	три	точки
(2;2;4), (2;−4;−2), (0;6;0) .

44. Составьте уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями

координат и который проходит через эллипсы y2 + z2 =1, x = 0 и 36 5

x2	+	y2	=1, z = 0 .
6
	36

237

45. Составьте уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями

координат и который проходит через эллипс					x2	+	y2	=1, z = 0 и
координат и который проходит через эллипс					2	+	3	=1, z = 0 и
					2		3
	æ 1		1	ö
точку	M ç	;		;1÷ .
точку	M ç	;	2	;1÷ .
	è 2		2	ø

46. Составьте уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями

координат и который проходит через эллипс y2 + z2 =1, x = 0 и 25 4

	окружность x2 + y2 = 25, z = 0 .
47.	Привести	к каноническому виду уравнение и установить тип
	поверхности x2 + 2y2 - z2 - 4x + 4y + 2z +1 = 0 .
48.	Привести	к	каноническому	виду	уравнение
	5x2 + y2 - 6z2 - 40x + 6y +12z + 85 = 0 .

49.Привести к каноническому виду уравнение и установить тип поверхности x2 + 6y2 - 4x +12y -10z +10 = 0 .

50.Привести к каноническому виду уравнение и установить тип поверхности 4x2 - 2y2 + 8x +12y - 7z - 28 = 0 .

51.Привести к каноническому виду уравнение и установить тип поверхности 6x2 + 4y2 - z2 + 24x - 24y - 2z + 54 = 0 .

52.Привести к каноническому виду уравнение и установить тип поверхности 2x2 - 2y2 - 4x - 8y - z - 5 = 0 .

53.Составить уравнение однополостного гиперболоида вращения,

полученного вращением гиперболы	x2	-	y2	=1, z = 2 вокруг
	4		8

прямой y = 0, z = 0 .

54.Составить уравнение параболоида вращения, полученного вращением параболы y2 = 2z, x = 0 вокруг оси Oz .

55.Составить уравнение гиперболического параболоида,

проходящего через точки çæ	4;6;-	1	÷ö	и çæ	2;-1;	7	÷ö	, если плоскости
						8
è		2 ø		è			ø

Oxz, Oyz являются плоскостями его симметрии.

238

56.

Найти

точку пересечения

двуполостного

гиперболоида

+ y2 −

= −1 и прямой

x − 3

y −1

z − 6

57.

Доказать, что через точку (4;3;0), принадлежащую

гиперболическому

параболоиду

−

= 2z , можно

провести

две прямые, целиком лежащие на параболоиде. Напишите их

уравнения.

М(1;−1;3)

58.

Как

расположена

точка

относительно

сферы

(x −1)2 + (y + 2)2 + z2 =19 ?

59.

Найти уравнения линии пересечения поверхности

z = 2 − x2 − y2

и z = x2 + y2 .

60.Найти уравнение эллиптического параболоида, имеющего вершину в начале координат, осью которого является ось Oz , если на его поверхности заданы две точки ( − 1; − 2;2) и (1;1;1).

ОТВЕТЫ

§1

1.8x + 2y − 21 = 0. 2. y = −5x. 3. 15x2 - 26x +15y2 + 7 = 0.

			æ		3			1	ö
4.	2x2 - 21x + 2y2 = 0. 5.	точка	ç				;		÷ . 6. 8x2	- 26x + 9y2 + 9 = 0.
4.	2x2 - 21x + 2y2 = 0. 5.	точка	ç		2		;	2	÷ . 6. 8x2	- 26x + 9y2 + 9 = 0.
			è		2			2	ø
7.	4x2 - 24x + 3y2 +12y = 0. 8. 9x2 + 8y2 -18y - 45 = 0.
9.	x2 - 6x - 4y +13 = 0. 10.	x2 - 6x + 4y + 9 = 0.
		æ	x	2	ö2			= (x -1)2 + y2.
11. 2x2 - 2x - y2 +10y - 26 = 0. 12. ç			x			÷
11. 2x2 - 2x - y2 +10y - 26 = 0. 12. ç						÷
		ç	y		÷
		è	y		ø

13.	x2 + y2 - xy = 0. 14. 2xy − 8x − y −14 = 0. 15. Прямая y =				2x − 7.
		(x + 2)2 + (y -1)2 = 9.			2	2	2
16. Окружность		(x + 2)2 + (y -1)2 = 9.	17.	Астроида	x3	+ y 3	= r 3 .
18.	x + 5y − 2z −	11 = 0. 19. x − 9y + 6z + 5 = 0.		20. 2x − 2y + 8z + 7 = 0.
23.	1 = 2xy − гипербола с асимптотами		x = 0, y = 0, расположена в І и ІІІ

четвертях. 24. x2 - 5x + y2 + z2 + 2z + 2 = 0.

239

25.	3x2 + 3y2 -16x - 24y - 2xy + 52 = 0. 26. ρ = 2a(1+ cosϕ).
27.	x2 + y2 + z2 - 3x - 2y - 2z + 4 = 0.	28. 1) окружность x2 + y2 - x - 2y = 0;
2) окружность x2 + y2 - 4y -12 = 0;		3) парабола x2 - y - 3 = 0; 4) прямая
x = 7.

§2

1.9. 2. 6. 3. 4. 4. 98 . 5. Точки А и В не принадлежат прямой, точка С

принадлежит

прямой.

6. а) y = 5x − 9 ; б)

y = −2x + 5 .

7. а) arctg

;

3 ö

3π

б) arctg ç

; в) arctg

. 8. а) arctg( - 2) ; б)

; в)

; г) 90 . 9. а) y = 2

;

4 ø

б) x -

y + 2

-1 = 0 ; в)

y = x +1; г)

y = −x + 3 ; д)

y = −7x + 9.

10. 3x − y − 6 = 0 .

11.

а)

5x + 3y = 0 ;

б) x + 7 y = 0 .

13. 12x +10y −15 = 0 .

14. (-2;-1);

(2;1) .

15.

(0;0);

(12;0);

(0;16);

(12;16). 16.

а)

y =

x + 4 ;

б)

= 1 ;

в)

x +

y -

= 0 .

17.

а)

y =

x +

;

= 0 .

б)

= 1 ; в) -

y -

= 0 . 18.

x +

y -

19.

а)

æ 1

ö æ

3 ö

б)

ö æ

20.

M (-3;11), S = 5,5 .

21. а)

45o ;

÷, ç0;

÷ ;

÷,ç

÷ .

è 2

ø è

2 ø

ø è

б) arctg

;

в)

90o .

22.

23.

24.

Окружность

(x - 2)2 + ( y - 2)2 = 25 ,

центр

(2;2) .

25. AD = 5;

BF =

;

CE =

. 26.

x − y − 3 = 0,

y = −1 ,

3x − 2y − 8 = 0 . 27.

3x + 2y −13 = 0;

28.

3x + y −12 = 0 .

29. 2x − 5y + 22 = 0 ,

7x − 2y −16 = 0 ,

240

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3824 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016260.1 Кб26Маргарин раздат.doc
#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc