Математика для инженеров(практика) I часть
.pdfта точки пересечения прямой с осью Oy .
|
|
|
|
Пример 5. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях |
|||||||||||||||||
Ox, Oy , соответственно, отрезки a = |
3 |
, b = − |
5 |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Подставляя |
|
a и |
71 |
|
14 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
b |
в |
уравнение (4), |
получим |
|||||||||||||
|
|
x |
|
+ |
y |
=1 или, после преобразований, 355x − 42y =15 . □ |
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
− 5 |
|
||||||||||||||||
|
|
71 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
50. Нормальное уравнение прямой. |
Умножим обе части уравнения |
||||||||||||||||
(3) |
на |
число μ = ± |
|
1 |
|
, |
называемое |
нормирующим |
множителем, |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
A2 + B2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена C . |
|||||||||||||||||||||
Тогда получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x cosϕ + y sinϕ − p = 0 , |
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||
которое называют нормальным |
уравнением |
прямой. Здесь |
p |
– |
длина |
||||||||||||||||
перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, |
ϕ |
– угол, |
образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси
Ox .
Пример 6. Дано общее уравнение прямой 6x −12y + 35 = 0 .
Написать: 1) уравнение этой прямой с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках; 3) нормальное уравнение.
|
|
Решение: 1) выражая в данном уравнении |
y |
через x , получим |
|||||||||||||||
уравнение прямой с угловым коэффициентом y = |
|
1 |
x + |
35 |
; |
||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||||
|
|
2) |
|
перепишем |
заданное |
уравнение в виде |
6x −12y = −35 и |
||||||||||||
разделим обе |
его |
|
части |
|
|
на (−35) . Получим |
уравнение |
||||||||||||
− |
6 |
x + |
|
12 |
y =1 |
или |
|
|
x |
+ |
y |
|
=1 , которое является уравнением |
||||||
35 |
35 |
35 |
35 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
прямой в отрезках;
3) так как в исходном уравнении C > 0 , то нормирующий множитель μ < 0 . Поэтому разделим обе части уравнения на число
131
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x + |
12 |
|
y − |
35 |
|
= 0 или |
|||
μ = − |
|
62 + (−12)2 = −6 |
|
. Уравнение − |
|
|||||||||||||||||||||||
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
6 |
5 |
6 |
5 |
|
||||||||||
− |
1 |
|
x + |
2 |
|
y − |
|
35 |
|
= 0 является нормальным уравнением прямой. □ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример 7. Составить уравнения прямых, проходящих через |
|||||||||||||||||||||||
точку M (−5;−7) |
и параллельных осям координат. |
|
|
|
|
|
Решение. Прямые, параллельные осям координат, имеют вид: x = a – вертикальная прямая, y = b – горизонтальная прямая. Т.к.
точка M принадлежит этим прямым, то уравнения искомых прямых, соответственно: x = −5 , y = −7 . □
60. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение
прямой, которая проходит через точки M1(x1; y1) и M2 (x2 ; y2 ) , имеет вид
x - x1 |
= |
y - y1 |
. |
(6) |
|||
|
|
||||||
x |
- x |
|
y |
2 |
- y |
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
Если y1 = y2 , то уравнение искомой прямой имеет вид y = y1 , и такая прямая х. Если x1 = x2 , то прямая, проходящая через точки M1 и M2 ,
параллельна оси Оу и ее уравнение имеет вид x = x1 . |
|
||||
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
x - x0 |
= |
y - y0 |
|
(7) |
|
l |
m |
|||
|
|
|
определяет прямую, проходящую через точку M0 (x0 ; y0 ) , с направляющим вектором a = (l;m) и называется каноническим уравнением прямой.
Вводя параметр t , |
перейдем от уравнения (6) к параметрическим |
|
уравнениям |
|
|
ìx = (x2 - x1)t + x1, |
(8) |
|
í |
= ( y2 - y1)t + y1. |
|
î y |
|
Пример 8. Составить нормальное уравнение прямой, проходящей через точки M1(1;5) и M2 (4;3) .
|
Решение. Подставляя координаты точек M1 и M2 |
в уравнение |
|||||||||||
(6), |
получим |
|
x −1 |
= |
y − 5 |
|
или |
−2(x −1) = 3(y − 5) , |
или |
||||
|
|
|
|||||||||||
2x + 3y −17 = 0 . |
|
4 −1 |
3 − 5 |
|
|
|
|
|
|||||
Так |
как |
C = −17 < 0 , |
то |
разделим |
обе |
части |
|||||||
полученного общего |
уравнения |
прямой |
на |
положительное |
число |
132
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
17 |
|
|
|
|
||||||
μ = |
22 + 32 = |
|
|
. |
Уравнение |
x + |
|
|
y - |
|
|
= 0 |
является |
|||||||||||||
13 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
13 |
13 |
13 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нормальным уравнением искомой прямой. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
70. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим две прямые L и |
L , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
заданные |
соответственно уравнениями |
y = k1x + b1 |
и |
y = k2 x + b2 , |
где |
|||||||||||||||||||||
k1 = tgα1 , |
k2 = tgα2 ; α1 (α2 ) – соответственно угол между прямой L1 ( L2 ) |
|||||||||||||||||||||||||
и положительным направлением оси Ox , |
а ϕ – угол между прямыми L1 и |
|||||||||||||||||||||||||
L2 , |
0 ≤ ϕ < π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Имеет место формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ = |
k2 − k1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ k1k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Формула (9) определяет один из углов между прямыми L1 |
и L2 . Вто- |
|||||||||||||||||||||||
рой угол равен π −ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Пример |
9. |
|
Прямые заданы |
уравнениями |
|
|
y = 5x + 2 |
и |
||||||||||||||||
y = −3x + 3 . Найти острый угол между этими прямыми. |
tgα1 = 5 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
Для |
данных прямых |
k1 = 5, k2 = -3 , |
|
|
т.е. |
tgα2 = -3 , где α1 , α2 – углы между соответствующими прямыми и положительным направлением оси Ox . Если ϕ – острый угол между
прямыми, |
то согласно формуле (9) имеем |
tgϕ = |
-3 - 5 |
= |
4 |
. Тогда |
||||
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
|
1- 3×5 |
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ = arctg |
|
|
. □ |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||
Условием параллельности двух прямых L1 |
и L2 является равенство их |
|||||||||
угловых коэффициентов, т.е. k1 = k2 . |
|
|
|
|
|
|||||
Условие перпендикулярности двух прямых L1 и L2 состоит в том, что |
||||||||||
их угловые |
коэффициенты обратны по величине и противоположны по |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
знаку, т.е. k2 = − |
|
или k1k2 = −1. |
|
|
|
|
|
|||
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.
Пример 10. Проверить, являются ли прямые 8x −12y + 4 = 0 и 2x − 3y + 20 = 0 параллельными.
133
|
Решение. Выразим в данных уравнениях |
y через x . Получаем |
|||||||||||||
y = |
8x + 4 |
и y = |
2x + 20 |
или |
y = |
2 |
x + |
1 |
и |
y = |
2 |
x + |
20 |
. Угловые |
|
12 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициенты этих прямых равны, следовательно, данные прямые параллельны. □
|
|
|
Пример 11. Проверить, являются ли прямые 6x −10y +18 = 0 и |
||||||||||||||||||||||||||||
10x + 6y −11 = 0 перпендикулярными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Выразим в заданных уравнениях y через x . Получим |
||||||||||||||||||||||||||||
y = |
|
6 |
|
x + |
18 |
|
|
и |
y = - |
10 |
x + |
11 |
. Для этих прямых k = |
6 |
, k |
|
= - |
10 |
|
и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10 |
10 |
|
|
6 |
6 |
|
10 |
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
k k |
|
= |
6 |
× |
æ - |
|
10 |
ö |
= -1 . |
|
Так |
как |
условие |
перпендикулярности |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
|
10 |
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
è |
|
|
6 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
выполнено, то прямые перпендикулярны. □ |
5x − 2y +11 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример |
12. |
Показать, что |
прямые |
и |
||||||||||||||||||||||||
2x + 5y −13 = 0 пересекаются и найти точку их пересечения. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Перепишем уравнения прямых в виде |
y = |
5 |
x + |
|
11 |
и |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = - |
x + |
|
. Угловые коэффициенты заданных прямых не равны. |
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, прямые не параллельны, т.е. пересекаются. Точку пересечения найдем из системы
ì5x - 2y +11 = 0, |
ì25x -10y + 55 = 0, |
ìx = -1, |
|||
í |
= 0, |
Û í |
+10y - 26 |
= 0, |
Û í |
î2x + 5y -13 |
î4x |
îy = 3. |
Таки образом, M (−1;3) – точка пересечения данных прямых. □
80. |
Расстояние от точки до прямой. Расстояние d от |
точки |
||||||||
M1(x1; y1) |
до прямой L , заданной уравнением (3), определяется так: |
|
||||||||
|
d = |
|
|
Ax1 + By1 + C |
|
|
. |
(10) |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
Пример 13. Определить расстояние от точки M (1;3) до прямой
10x − 7y + 3 = 0 .
Решение. По формуле (10)
134
d = |
|
10×1- 7 ×3 + 3 |
|
= |
8 |
|
. □ |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
102 + (-7)2 |
|
|
149 |
Пример 14. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами A(2;2), B(−2;4), C(−5;3) .
Решение. Координаты точки B1 (рис. 5), середины отрезка AC ,
æ 2 - 5 |
|
2 + 3 |
ö |
|
æ |
|
3 |
|
5 ö |
||
ç |
|
; |
|
÷ |
или |
ç |
- |
|
; |
|
÷ . |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
è |
|
ø |
|
è |
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение медианы BB1 , согласно |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(6), |
имеет |
вид |
x + 2 |
= |
y - 4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
+ 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
2 |
- 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
x + 2 |
= |
y - 4 |
, или −3x − 6 = y − 4 , или |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
окончательно 3x + y + 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точка C1 (0;3) – середина отрезка AB . Уравнение медианы CC1 |
|||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
x + 5 |
= |
y - 3 |
или |
|
x + 5 |
= |
|
y - 3 |
. Перепишем полученное |
|||||||||||||||||
0 + 5 |
3 - 3 |
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнение в параметрической форме (8), т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ìx = 5t - 5, |
Û |
ìx = 5t - 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
í |
|
×t + 3, |
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
îy = 0 |
|
|
|
îy = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Уравнение медианы CC1 есть y = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Серединой отрезка BC является точка A1 (-7 2;7 2). Уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||
медианы AA , используя (6), |
|
x - 2 |
|
= |
|
y - 2 |
|
или |
|
x - 2 |
= |
y - 2 |
, или |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
-7 2 - 2 |
|
|
7 2 - 2 |
|
|
-11 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
3x +11y − 28 = 0 . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 15. |
Даны вершины |
|
|
треугольника: A(0;2), B(6;4) , |
C(13;−1) . Составить уравнение высоты CD треугольника,
проведенной из вершины C и найти длину этой высоты. Решение. Применяя (6), запишем уравнение прямой AB:
135
|
x - 0 |
= |
y - 2 |
|
или |
2x = 6y −12 |
или |
|
|
|
|
|
y = |
|
1 |
x + 2 . |
Угловой |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 - 0 4 - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициент прямой AB (рис. 6): |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kAB = |
|
1 |
. |
|
Тогда, по |
условию |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярности прямых AB |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и CD, kCD |
= - |
|
1 |
= -3 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kAB |
уравнение |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой с угловым коэффициен- |
||||||||||||
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
том |
kCD = -3 |
|
|
и проходящей |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или 3x + y − 38 = 0 . Это и |
||||||||||||
через точку C имеет вид y +1 = −3(x −13) |
|
||||||||||||||||||||
есть урав нение искомой высоты CD. Точку пересечения D прямых |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2x = 6y -12, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB и CD найдем из системы í |
- 38 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
î3x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Получим D(10,8;5,6) . Длина высоты CD равна |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
CD |
|
= |
(10,8 -13)2 + (5,6 +1)2 = |
|
|
» 6,96 . □ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
48,4 |
Пример 16. Для треугольника с вершинами A(2;2), B(10;11) , C(15;6) составить уравнение биссектрисы угла A .
Решение. Найдем точку D пересечения биссектрисы угла A со стороной BC (рис. 7). Из курса геометрии известно, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BD |
|
|
= |
AB |
= λ . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DC |
|
|
AC |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
AB |
|
= |
(10 - 2)2 + (11- 2)2 = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
145, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
AC |
|
= |
(15 - 2)2 + (6 - 2)2 = |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
185. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Тогда λ = |
|
145 |
|
29 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
185 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Координаты точки D найдем |
|||||||||||||||||||||
Рис. 7 |
по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136