2.4.Исключение доминируемых стратегий

Стратегия d_i строго доминируема для игрока i тогда и только тогда, когда

такая, что

C1	C2
	M	P
Rr	0,0	1,-1
Rf	0.5,-0.5	0,0
Fr	-0.5,0.5	1,-1
Ff	0,0	0,0

Стратегия Ff строго доминируема для игрока 1 случайной стратегией 0,5[Rr]+0,5[Rf] так как

0,25>0 (M),

0,5>0 (P).

По теореме 1.6 d_iсильно доминируемо тогда и только тогда, когдане может быть лучшим ответом для i вне зависимости от того, что он думает о выборах других игроков. Исключение такой стратегии не влияет на анализ игры. Напомним теорему 1.6.

Теорема 1.6. Зададим u: X·Ω→R,X≠, Ω≠и конечны. Зафиксируем уєX. Смешанная стратегия σєΔ(X), такая, что у строго доминируем в смысле

существует тогда и только тогда, когда не существует pєΔ(Ω) такого, что y оптимально в смысле условия

.

После удаления доминируемых стратегий другие стратегии, которые не были строго доминируемы в первоначальной игре, могут стать ими в оставшейся игре.

C1	C2
	x2	y2	z2
a1	2,3	3,0	0,1
b1	0,0	1,6	4,2

z₂ строго доминируема для 2-го игрока стратегией 0,5[x₂]+0,5[y₂] .

Остальные стратегии являются недоминируемыми для всех игроков.

а₁лучше для первого игрока при х_2;

b₁лучше для первого игрока приz_2;

x₂лучше для второго игрока приa_1;

y₂ лучше для второго игрока приb_1.

Однако в игре, которая остается после исключения z₂ выборb₁строго доминируем а₁(т.к. 0<2 и 1<3).

C1	C2
	x2	y2
a1	2,3	3,0
b1	0,0	1,6

Исключим b₁:

C1	C2
	x2	y2
а1	2,3	3,0

В этой игре у₂строго доминируем х₂

Исключим у₂:

C1	C2
	x2
а1	2,3

Получили результат, как действовать игрокам в этой игре.

Опишем процесс сокращения более формально. У нас есть первоначальная игра

Г=(N, (C_i)_iєN, (u_i)_iєN).

В процессе сокращения получим последовательность игр

Г^(k)=(N, (C_i^(k))_iєN, (u_i)_iєN),

где – множество всех стратегий в C_i ^(k-1), которые не являются строго доминируемыми для i в игре Г^(k-1).

Ясно, что , но для некоторого k.

Для этого kмы напишем:

Г^(∞)=Г^(k)иC_i^(∞)=C_i^(k).

Стратегии в C_i ^(∞)являются итеративно недоминируемыми в строгом смысле для игрока i.

Для любая стратегия изC_i^(∞)является наилучшим ответом к некоторому распределению вероятностей на.

d_iслабо доминируетсядля игрока i тогда и только тогда, когда такая, что

и, по крайней мере, для одной комбинации стратегий

.

При исключении слабо доминируемой стратегий могут возникнуть трудности.

C1	C2
	x2	y2
x1	3,2	2,2
y1	1,1	0,0
z1	0,0	1,1

Если мы сначала исключим строго доминируемую стратегию z₁, то останемся с игрой, в которой стратегия у₂слабо доминируема.

C1	C2
	x2	y2
x1	3,2	2,2
y1	1,1	0,0

Если мы исключим сначала строго доминируемую стратегию у₁, то останемся с игрой, в которой х₂слабо доминируема.

C1	C2
	x2	y2
x1	3,2	2,2
z1	0,0	1,1

Если мы исключим как z₁так и у₁, то тогда никакая стратегия второго игрока не будет слабо доминируема в оставшейся игре.

C1	C2
	x2	y2
x1	3,2	2,2

То, что остается, зависит от порядка исключения. Оставшиеся игры не эквивалентны по плате.

Тем не менее, итеративное удаление слабо доминируемых стратегий полезно для анализа игр. Рассмотрим игры, которые мы изучали.

Простая карточная игра.

C1	C2
	M	P
Rr	0,0	1,-1
Rf	0.5,-0.5	0,0
Fr	-0.5,0.5	1,-1
Ff	0,0	0,0

Fr,Ffслабо доминируемы для игрока 1.

C1	C2
	Ll	Lr	Rl	Rr
T	2,2	2,2	4,0	4,0
B	1,0	3,1	1,0	3,1

L1, R1, Rrслабо и сильно доминируемы стратегиейLrдля второго игрока.

Потом надо удалить стратегию Т первого игрока как строго доминируемую в оставшейся игре.

C1	C2
	L	R
T	2,2	4,0
B	1,0	3,1

В этой игре В строго доминируема, потом надо удалить R.