Приложение 1. Исследование операций

Теория игр входит как составная часть в исследование операций.

Исследование операций - построение, разработка и приложение математических моделей принятия оптимальных решений. Под операцией понимают совокупность целенаправленных действий. Основной задачей исследования операций является поиск путей достижения цели.

Совокупность тех лиц и автоматов, которые стремятся в данной операции к поставленной цели, можно назвать оперирующей стороной. Цель операции либо определяется извне, либо определяется самой оперирующей стороной. Исследователь операций, как правило, сам не принимает решения по выбору способа действий, а помогает в этом оперирующей стороне. Для достижения цели оперирующая сторона имеет в своем распоряжении некоторый запас активных средств, используя которые она может добиться цели. Способы использования активных средств называютсястратегиями оперирующей стороны. Например, в операции по проведению расчетно-теоретических исследований активными средствами могут быть ЭВМ и люди, а стратегиями оперирующей стороны – алгоритмы. Оценка приемлемости и сравнение стратегий и составляет суть работы исследователя операций.

Результаты операции зависят как от контролируемых, так и неконтролируемых факторов. Неконтролируемые факторы составляют обстановку проведения операции. Самое общее качественное описание компонент любой операции заканчивается указанием на информированность оперирующей стороны и исследователя операций об обстановке операции. Информированность исследователя операций в момент исследования и оперирующей стороны в момент принятия решений может быть разной и это должно учитываться.

Содержанием теоретического аспекта исследования операций является анализ и решение математических задач выбора в заданном множестве допустимых решений Xэлемента, удовлетворяющего тем или иным критерием оптимальности и называемогооптимальным решением задачи. При этом иногда выбирается обобщенный элемент X: подмножество X или функция со значениями вX. Такие задачи называютсяоптимизационными.Прикладной аспект исследования операций (И.о.) состоит в составлении оптимизационных задач и реализации их решений. Постановка задачи И.о. охватывает прежде всегоформальное описание множества допустимых решений X и критериев оптимальности выбора. Оно должно соответствовать содержательным представлениям о возможном и целесообразном в данных условиях. Напротив, проверка адекватности самих содержательных представлений объективной реальности уже выходит за пределы И.о.

Все решения (в том числе оптимальные) принимаются всегда на основе информации, которой располагает принимающий решение субъект и только на ней. Поэтому каждая задача И.о. должна в своей постановке отражать знания принимающего решения субъекта о множестве допустимых решений и о критерии оптимальности. Так, если принятие решения происходит в наперед известном и не изменяющемся информационном состоянии, то задача называется статической.В таких условиях весь процесс принятия решений может быть сведен к единому мгновенному акту.

В противном случае, если приходится иметь дело с несколькими различными информационными состояниями, то решение будет заключаться в установлении соответствия между каждым информационном состоянием и доступной в нем альтернативой, т.е. в выборе функции, выражающей это соответствие. Если информационные состояния в ходе принятия решения сменяют друг друга, то задача называется динамической.В ней часто целесообразно принимать поэтапные, многошаговые решения или даже развертывать принятие решения в непрерывный во времени процесс.

Информационные состояния принимающего решение субъекта могут по-разному характеризовать его истинное («физическое») состояние. Может оказаться, что одно информационное состояние субъекта охватывает целое множество его физических состояний. В этом случае задача принятия решений называется неопределенной. Такие задачи И.о. рассматриваются в теории игр. Если информационное множество содержит несколько физических состояний. Но субъект кроме их множества знает еще и (априорные) вероятности каждого из этих физических состояний, то задача называетсястохастической. Наконец, если информационное состояние состоит из единственного физического состояния, то задача называетсядетерминированной.Иногда представляет интерес одновременно рассматривать семейства задач, зависящих от параметра, численного, векторного или пробегающего значения из какого-либо другого множества параметров, объединяя их в единуюпараметрическуюзадачу. Отличие ее от неопределенной задачи состоит в том, что решение первой заключается в решении всех задач, отвечающих конкретным значениям параметра, а решение второй - в нахождении такого допустимого решения, которое было бы в известной мере желательным, как бы конкретно ни реализовалась неопределенность. Вместе с тем решение стохастической задачи состоит в нахождении такого допустимого решения, которое было бы оптимальным «в среднем» по всему множеству отдельных задач. Теоретически мыслимы задачи И.о. с любым множеством допустимых решений X и с весьма произвольными критериями оптимальности. Последние могут иметь вид требований о максимизации (или минимизации) значений некоторой числовой или векторной функцииfнаX. Эта функция обычно называетсяцелевой функцией. В первом случае говорят о задачематематического программирования ( оптимального программирования), а во втором – о задачевекторной оптимизацииили омногокритериальнойзадаче. Рассматриваются также критерии, выражаемые бинарным отношением предпочтенияна X. Это отношение не обязано быть отношением линейного или хотя бы частичного упорядочения.

В математическом программировании чаще других рассматриваются задачи, в которых X есть подмножество конечномерного евклидова пространства . Если при этом X – выпуклый многогранник с конечным числом вершин, а целевая функцияfлинейна, то имеют дело с задачамилинейного программирования; если X – произвольное выпуклое множество, а f – выпуклая функция, то – с задачейвыпуклого программирования.Естественным образом определяются задачи, относящиеся ккусочно-линейномупрограммированию. Частью выпуклого программирования являетсяквадратичное программирование. Множество допустимых решений X может быть множеством функционального пространства, и формально вариационное исчисление, а также круг вопросов, связанных с принципом максимума Понтрягина, могут быть также отнесены к оптимальному программированию. В других задачах оптимального программирования X может быть конечным множеством; такие задачи относятся кдискретному программированию. В них допустимые решения могут быть точками целочисленной решетки в (целочисленное программирование) или векторами, каждая компонента которых принимает лишь два значения (булевопрограммирование). В отдельных задачах элементы X суть перестановки конечного числа символов, пути в заданном графе и т.д. Особым случаем задач оптимального программирования является нахождениемаксимина, т.е. максимального значения функции, имеющей вид минимума (аналогично –минимакса).

Теория решения стохастических задач линейного программирования составляет предмет стохастического программирования. Многокритериальные задачи, а также задачи с отношением предпочтения по существу относятся к теории игр. Их классификация проводится по теоретико-игровым признакам.

Переходят также от изучения отдельных задач И. о. к изучению систем, пространств , исчислений таких задач и исследованию связей между различными задачами или сведению одних задач к другим, более просто устроенным.

Математический аппарат, предназначенный и разрабатываемый для целей решения задач И.о. принято называть математическими методами исследования операций. Разработанность математических методов для решения задач И.о. неодинакова. Наиболее разработанной является теория линейного и выпуклого программирования.

Некоторые параметрические задачи И.о., выделяемые специфическими содержательными интерпретациями, проблематикой и терминологией носят названия моделей И.о. Обычно каждая модель И.о. имеет присущие ей методы решения. Диапазон калибров моделей И.о. весьма широк: от конкретных задач, различающихся лишь численными значениями входящих в них параметров (к их числу можно отнести задачу о назначениях, транспортную задачу и несколько более сложные задачи о раскрое, задачу о размещении и задачу о сетевых графиках), до таких разветвленных дисциплин, как теория управления запасами, теория расписаний (иногда называемая календарным планированием) или теория надежности. Большое число моделей дает теория игр (игры типа покера, дифференциальные игры преследования и др.).

Пример – транпортная задача. Она является одной из самых распространенных задач линейного программирования специального вида. Предположим, что имеется m складов, где хранится некоторый продукт в количествах иnпунктов реализации этого продукта, потребности которого равны_{. Требуется найти наиболее экономичный способ перевозки продукта со складов потребителям, если затраты на перевозку единицы продукта с i-го склада в j- й пункт потребления равны . Обозначим через}

количество продукта, перевозимого с i-го склада в j-й пункт. Тогда задача минимизации транспортных расходов формулируется так: найти

при ограничениях

.

Первое неравенство означает, что количество продукта, вывезенного со складов, не превышает запаса, второе – что потребности каждого пункта должны быть удовлетворены. Третье условие обеспечивает неотрицательность планируемых объемов перевозок. Мы получили задачу линейного программирования, называемую транспортной.

Решение каждой задачи И.о. начинается с выбора принципа оптимальности. Если задача относится к оптимальному программированию, то этот выбор тривиален: принцип оптимальности состоит в максимизации (минимизации) целевой функции. Таким образом, в этом случае принцип оптимальности задачи формально совпадает с ее критерием оптимальности. В остальных случаях нахождение принципа оптимальности оказывается существенным этапом решения задачи и может реализоваться неоднозначно. Употребительны приемы сведения векторного критерия или отношений предпочтения к численным критериям. Например, в случае многокритериальной задачи принцип оптимальности может состоять в придании отдельным компонентам векторного критерия тех или иных весов и рассмотрении в качестве целевой функции взвешенной суммы. Другой принцип оптимальности в этой задаче может заключаться в максимизации минимальной компоненты вектора критерия (принцип максимина) и т.д. Весьма разнообразными могут быть принципы оптимальности в задачах с отношением предпочтения (теория игр). Возможности и пути замены отношений предпочтения численными критериями составляют один из основных вопросов теории полезности. Таким образом, критерий задачи И.о. есть часть ее условия, а принцип оптимальности – часть ответа. Для большинства моделей И.о. принципы оптимальности фиксированы.

Следующим после выбора принципа оптимальности этапом решения задачи И.о. является установление его реализуемости (т.е. существование решений задачи в смысле этого принципа). Нереализуемость принципа оптимальности в классе заданных в условиях задачи допустимых решений иногда преодолевается введения в том или ином смысле обобщенных решений: подмножеств множества допустимых решений или функций со значениями в этом множестве. Так как существование оптимальных решений задачи И. о. нередко доказывается неконструктивно (например, на основании тех или иных теорем о неподвижной точке), а иногда конструктивным образом, но обеспечивающим фактическое его нахождение лишь потенциально (но не практически), получение оптимального решения задачи И. о. является третьим этапом ее разработки.

Задачи исследования операций обладают рядом черт, обуславливающих методику их составления и решения. Во-первых, даже для наиболее простых параметрических классов задач не удается представить решение в виде единообразного аналитического выражения от соответствующих параметров. Поэтому задачи исследования операций в подавляющем большинстве не поддаются аналитическому решению и должны решаться численно. Во-вторых, большинство практически интересных задач И.О. содержит в свих формулировках весьма большое количество числового материала, не сводящегося к аналитическим выражениям, поэтому численное решение этих задач возможно лишь с использованием ЭВМ. В третьих, процесс решения многих задач И.о. заключается в выполнении простых однотипных операций над числами, составляющих большие массивы, что также требует использования ЭВМ с обширной памятью.

Круг приложений И. о. весьма широк. И.о. используется для решения технических, технико-экономических, социально-экономических задач, а также задач управления в различных сферах и на различных уровнях, вытесняя постепенно традиционные «интуитивные» методы принятия решений.

Практическое внедрение результатов И.о. встречается с трудностями различного рода. Первая из них, преодолеваемая сравнительно легко, связана с построением концептуальной структуры модели (или с подбором уже имеющейся структуры модели). Этим устанавливается принципиальная возможность моделирования класса реальных задач, включающего рассматриваемую задачу, некоторым классом задач И.о. Следующая трудность состоит в выборе из этого класса задач И.о. именно той, которая моделирует интересующую исследователя конкретную задачу. Для этого, в частности, необходимо измерить значения параметров, определяющих решаемую задачу. Но поскольку эти параметры носят не обязательно физический или технический, а часто экономический или даже социально-экономический характер, их измерение с требуемой точностью может представлять самостоятельную проблему. Затем, после построения модели, возникают чисто математические и в том числе вычислительные трудности ее анализа и решения. В сущности, именно их преодоление и составляет содержание И.о. Наконец, после нахождения решения возникает последняя трудность, уже организационного и психологического плана: найденное решение нередко отличается от традиционных и поэтому может восприниматься с недоверием. Все это ограничивает практическое применение И.о. Для более успешного их преодоления коллективы, работающие в области И.о.формируются как комплексные. В них включаются, кроме математиков, обычно и инженеры, и экономисты, и специалисты в области конкретных дисциплин, иногда – психологи, администраторы и т.д.