3.2.Вычисление равновесий по Нэшу

В равновесии по Нэшу если две чистые стратегии игрока iобе имеют положительные вероятности, то они дают ему одну и ту же ожидаемую плату. Таким образом, множество стратегий, которые имеют положительную вероятность, является важным качественным аспектом равновесия и оно имеет специальное название – опора. Опорой дляявляется множество.

	3,1	0,0
	0,0	1,3

Например, для игры «Семейный спор» опорой (,) является {} и {}, опорой (,) является {} и {}, опоройявляетсяи.

В равновесии с этой опорой i-ый игрок должен одинаково оценивать выигрыши от примененияипри заданном ожидаемом поведении партнера.

;отсюда. Кроме того, т.е.и. Т.е. нашли смешанную стратегию 1-го игрока из условия, что 2-ой игрок хочет выбрать стратегию с опорой.

Аналогично, если первый игрок хочет выбрать с положительной вероятностью либо , либо, то можно записать

отсюда ,. Таким образом, равновесием с опоройбудет.

Опишем общую процедуру нахождения равновесия в любой конечной игре в стратегической форме .

Хотя существует бесконечное множество наборов смешанных стратегий, существует только конечное подмножество C, которое может быть опорой равновесия. Так что мы можем искать равновесие в Г последовательно рассматривая различные догадки, какая опора может быть и стараясь найти равновесие с такой опорой.

Пусть - такое множество стратегийi– го игрока, которое представляет наше текущее предположение о том, какие стратегии игрокаiимеют положительную вероятность в равновесии. Тогда, если- равновесная стратегия, тотакие, что

,(3.2.1)

Кроме того,

(3.2.2)

и ,(3.2.3)

(3.2.4)

. (3.2.5)

Условия (3.2.1)-(3.2.3) дают нам уравнений с тем же числом неизвестных (вероятностии).

Если не существует решения, удовлетворяющего (3.2.1)-(3.2.5), тогда надо поменять опору и повторить процедуру. Теорема существования гарантирует, что найдется, по крайней мере, одна опора для которой выполняется (3.2.1)-(3.2.5).

Пример.

	L	M	R
T	7,2	2,7	3,6
B	2,7	7,2	4,5

Сначала предположим, что есть равновесие в чистых стратегиях.

Если первый игрок будет выбирать T, тогда второй –M, ноBдля первого лучше, если второй выбираетM. Т.е.Tне входит в состав равновесия в чистых стратегиях. Если первый выбираетB, то второйL, в этом случае первому игроку лучше выбиратьT. Т.е.Bне входит в состав равновесия в чистых стратегиях, Т.е. ситуация равновесия для первого игрока должна иметь опорой иTиB.

Аналогично, не существует равновесия по Нэшу с опорой, в которой для второго игрока была бы только одна стратегия.

Таким образом, в ситуации равновесия опорой для первого игрока являются две чистые стратегии TиB, а у второго – по крайней мере, тоже две. Т.е. надо проверить 4 различные опоры.

Проверяем опору .

,

Неизвестные .

Но из следует, что.

А из следует, что.

Т.е. не существует решения этой системы уравнений и не существует равновесия, которое имело бы опору .

Второе предположение, что опорой могли бы служить , т.е..

Решение ,,,.- отрицательно, поэтому нет положения равновесия с опорой.

Предположение, что опорой является , т.е. предположим, что

,

,

.

Единственное решение ,,

Является ли это решение равновесным? Второй игрок одинаково относиться к MиLв этом решение, но может быть для негоRстратегия лучше? Если игрок 1 выбираетTс вероятностью 0,5, то ожидаемая плата от стратегииRбудет 6*0,5+5*0,5=5,5>4,5. Т.е. второй игрок предпочтётR.

Остаётся предположить, что опорой будут , т.е.

Существует единственное решение

Выигрыш второго игрока от выбора Mбудет

,

т.е. второй игрок захочет выбирать смешанным образом между Lи

R, а не выбиратьM. Значит, набор смешанных стратегий

является единственным равновесием в игре. Выигрыш первого игрока 11/3, второго 16/3.