3.4.Эволюционный подход

MaynardSmith(1982),Axelrod(1984) отождествили хорошую стратегию в игре с некоторым биологическим эволюционным критерием.

Строится этот критерий так. Выбирается есть некоторое числоi– животных, которые инстинктивно ведут себя согласно стратегии. Этих животных называют популяцией первого поколения. Можно создать последовательность поколений так. Каждоеi– животное играет игру много раз, а роль другого игрокаjисполняетj– животное, выбранное независимо и наугад изj– животных текущей генерации.

- доляj– животных в генерацииk, которые инстинктивно выбирают смешанную стратегию.

.

Ожидаемый выигрыш i–го животного, инстинктивно выбирающего:,.

Тогда каждое животное в поколение kбудет иметь число детей в следующей генерацииk+1, которое пропорционально ожидаемому выигрышу

.

(Чтобы избежать дополнительных трудностей, считаем, что всякий выигрыш – положительное число).

Мы подсчитываем эволюцию такой мысленной системы и увидим, какие стратегии побеждают в популяции.

Возможность такого анализа проистекает из того факта, что мы – результат долгого эволюционного процесса и плата во многих играх имеет некоторое отношение к частоте

Воспроизводства наших предков в этом процессе.

Но результат любого такого воспроизведения эволюции зависит от предположения о распределении стратегий в первом поколении, например, там могут быть доминируемые стратегии. Поэтому существует возражения против такого подхода. Результаты воспроизведения эволюции не уместны для решения проблемы выбора наилучшей стратегии, т.к. игроки разумны и рациональны.

Для любого равновесия по Нэшу , если почти всеi– животные первой генерации используют стратегию, тогда животное, использующее другую стратегию, не добивается особых успехов в такой среде.

Г в стратегической форме,,- равновесие по Нэшу, определим сопротивлениенабору стратегийкак наибольшее,такое, что

.

Т.е. сопротивление равновесия другому равновесиюэто максимальная доля животных, применяющих стратегиюи помещённых в популяцию животных, применяющих стратегиютакая, чтоживотные не имеют никакого преимущества по количеству потомков над- животными. Сопротивление даёт некоторую оценку относительной эволюционной стабильности одного равновесия по сравнению с другим.

Равновесие с доминирует по риску равновесие d, если сопротивлениеcстратегиямdбольше, чем сопротивлениеdстратегиям набораc.

Пример.

Два игрока,

,

,

	9,9	0,8
	8,0	7,7

,- равновесия в чистых стратегиях.

Сопротивление набору стратегийравно 7/8 (,). Сопротивлениенабору стратегийравно 1/8 (,).фокусируется свойством оптимальности по Парето,фокусируется доминируемостью по риску. В таких случаях важны традиции относительно свойства доминируемости по риску и свойства оптимальности по Парето. Мы бы могли определить, какое равновесие центральное.

В играх, моделирующих конфликты животных рассматриваются еще -вязкое равновесие и эволюционно-устойчивые стратегии.

Игра называется симметричной, если,,.

-параметр вязкости,. Он показывает относительную частоту взаимодействия внутри маленького подвида.

является-вязким равновесием в, если- набор смешанных стратегий, симметричный, т.е.,и для каждой чистой стратегииесли, то. То есть единственными чистыми стратегиями, которые используются с положительной частотой популяцией, являются те, которые были бы оптимальны для подвида, если всякий раз, когда индивид из подвида играет в игру, с вероятностьюего соперник является представителем того же подвида и с вероятностью-представителем общей популяции.

Смешанная стратегия называетсяэволюционно устойчивой, еслиявляется равновесием по Нэшу и для каждой смешанной стратегии,,, т.ч..

То есть равновесная стратегия должна давать выигрыш строго больше, чем любая другая стратегия, если существует небольшая положительная вероятность того, что будет встречен индивид, использующий альтернативную стратегию.

Пример:

	x	y	z
x	(1,1)	(3,-3)	(-3,3)
y	(-3,3)	(1,1)	(3,-3)
Z	(3,-3)	(-3,3)	(1,1)

{1,2}, равновесие по Нэшу, где.

Эволюционно устойчивой стратегии не существует. Пусть .

, т.е.

.