4.4.Совместимость мнений и последовательная рациональность во всех информационных состояниях

Чтобы гарантировать последовательную рациональность во всех информационных состояниях, в том числе и в состояниях с нулевой вероятностью, понятие равновесия должно быть усовершенствовано. Вероятность состояния определяется самим равновесием. Если в состояниях с нулевой вероятностью позволить игрокам вести себя нерационально, то это может повлиять на нашу оценку (рациональное или нерациональное) поведения игроков в состояниях с положительной вероятностью.

Пример (4.4.1)

	2,3	0,2
	1,9	1,9

– равновесие по Нэшу. Если 1-й игрок выбрал, то что бы ни выбрал 2-й игрок, он получит выигрыш 9. Выборне является рациональным для второго игрока в вершине 2.2, т.к. 3>2. Т.е.не является последовательно рациональным для 2-го игрока. (– последовательно рациональное равновесие). Если разрешить 2ому игроку выбирать x₂в состоянии 2, которое осуществляется с нулевой вероятностью, тогда выбор y₁для первого игрока неразумен, т.к. в равновесиипервый игрок выигрывает 2, что больше 1. В этой игре y₂является слабо доминируемым движением (Если 1-й игрок выбирает y₁, то и при x₂, и при y₂2-й игрок получает 9, если 1-й игрок выбирает x₁, то x₂лучше, чем y₂(3>2)). Можно привести пример игры, в которой ни одна чистая стратегия игроков не является доминируемой. Но те же самые явления наблюдаются,что и в примере (4.4.1).

– равновесие в стратегиях поведения. Движение x₃не рационально для 3-го игрока, т.к. 4-й игрок выбирает y₄, так что последовательная ценность движения x₃меньше, чем последовательная ценность движения y₃для 3-го игрока ( 0<2 ).

Слабое последовательное равновесиев Г^еэто любая пара, такая, чтои

,последовательно рациональна для каждого игрока в каждом информационном состоянии с вектором мнений_,ислабо согласован с.

Т.е. – это слабо последовательное равновесие, если выполнены условия (4.3.1), (4.3.2) для каждого игрока i и каждого информационного состояния s. Мы скажем, что набор стратегий поведенияявляется сценарием слабого последовательного равновесия, если существует некоторый вектор мненийтакой, чтоявляется слабым последовательным равновесием.

Понятие слабого последовательного равновесия может исключить некоторые неразумные равновесия. является равновесием в только что рассмотренной игре, но не является сценарием слабого последовательного равновесия. Но это понятие не исключает все возможные неразумные равновесия.

Пример

– сценарий слабого последовательного равновесия. Выберемдля верхнего узла 3.3 и для нижнего узла 3.3. Такие мнения слабо согласуются со сценарием, т.к. оба узла 3.3 имеют предварительную вероятность 0 по этому сценарию ( т.к. оба узла следуют за x₁, которая имеет вероятность быть выбранной равную 0).

нельзя определить по формуле (4.3.4). Если 3-й игрок считает, что оба его узла равновероятны, тогда он хочет выбирать случайным образом между x₃и y₃, каждый из узлов даст ожидаемый выигрыш 1/2*2+1/2*0=1 ( третьему игроку известно только, что 3.3 узел лежит на траектории игры). 4-й игрок захочет выбирать y₄при таком выборе 3-го игрока. 2-й игрок захочет выбирать y₂ в узле 2.2, если он знает, что 3-й и 4-й игроки будут придерживаться сценария ( т.к 1/2*5+1/2*2>3). И игрок 1 захочет выбрать y₁, если он будет ожидать, что 2-й игрок выберет y₂.

То есть – является сценарием слабого последовательного равновесия.

Проблема в том, что вероятности мнений, приписанных третьему игроку “неразумны”, т.к. если 4-й игрок выбирает y₄, тогда 3-й игрок будет считать, что с вероятностью 1 траектория пройдет через его нижний узел, если бы она действительно могла достигнуть узлов 3.3. При таком мнениине будет последовательно рациональным для третьего игрока, т.к. x₃будет нерациональным выбором ( 0<2).

Таким образом, понятие сценария слабого последовательного равновесия не исключает все неразумные равновесия, а только часть из них. Недостаточно требовать, чтобы вероятности мнений были согласованы, если нулевые предварительные вероятности стоят в обеих частях равенства (4.3.2).

Чтобы сформулировать более сильное определение согласованности мнений сделаем такое упрощенное предположение. Предположим, что каждой ветке исходящей из узла хода случая приписывается метка вероятности, которая строго положительна. В таком случае любой набор стратегий поведения, который приписывает строго положительную вероятность каждому движению в каждом информационном состоянии, порождает строго положительную вероятность для любой вершины y в дереве.

– множество всех наборов, в которых все движения положительны. Если, тогда, иединственный вектор мнений, который удовлетворяет (4.3.2) и (4.3.4).

Будем говорить, что вектор мнений полностью согласован с наборомстратегий поведения в игре Г^е, если последовательностьтакая, что

(4.4.1)

(4.4.2)

(4.4.3)

Далее, употребляя слово “согласован” по отношению к , имеем ввиду, что векторполностью согласован. Еслиполностью согласован с, тогдатакже слабо согласован с, т.е. удовлетворяет условию.

Пример:

– равновесие в этой игре. Слегка изменим этот сценарий так, чтобы все вероятности движений были положительны. То есть– очень маленькие положительные числа. Новый сценарий такой:

По формуле Байеса находим вероятности мнений

При стремящихся к 0 получаем,- любое число из интервала [0,1]. Т.е.однопараметрическое семейство векторов мнений, полностью согласованных со сценарием. Вероятность мненияможет быть любым числом между 0 и 1. Это условная вероятность, которую 2-й игрок приписал бы событию, что 1-й игрок выбрал x₁, если бы траектория достигла узла, в котором 2-й игрок принимает решение ( по этому сценарию это событие имеет нулевую вероятность ).– условная вероятность того, что 3-й игрок приписал бы событию, что 1-й игрок выбрал x₁, если бы траектория достигла узла, контролируемого третьим игроком.. Т.е. 2-й и 3-й игрок должны договориться об условной вероятности движения x₁, если z₁не будет выбрано.– это условная вероятность, которую 3-й игрок бы приписал событию, что 2-й игрок выберет x₂, если бы траектория игры достигла узла, контролируемого 3м игроком. Вероятность движения x₂ по сценарию должна быть равна 0, поэтому.

Последовательным равновесием ( илиполным последовательным равновесием ) в игре Г^еназывается паратакая, что вектор мненийполностью согласован си с вектором, сценарийпоследовательно рационален для.

Будем говорить, что набор стратегий поведения является сценариемпоследовательного равновесияили, чтоможет бытьрасширенодо последовательного равновесия, если существуеттакое, что– последовательное равновесие.

Простая карточная игра:

На рисунке показано единственное последовательное равновесие .

Единственным сценарием последовательного равновесия является

Единственным сценарием последовательного равновесия является ). Чтобы расширить этот сценарий до сценария последовательного равновесия, определяем вероятность мнений ½ для каждого узла 4.4.

Единственным сценарием последовательного равновесия является . Чтобы расширить этот сценарий до сценария последовательного равновесия, определяем вероятность мнений ½ для каждого узла 3.3.

– единственный сценарий последовательного равновесия. Почему сценарийне может быть расширен до сценария последовательного равновесия? Полная согласованностьтребует, чтобы.

Чтобыбыл последовательно рациональным выбором, необходимо, чтобы, т.е.

.

Чтобыбыл последовательно рациональным выбором, необходимо, чтобы, т.е.

.

Требования ,невозможно выполнить. Значит нельзя сделатьпоследовательно рациональным для 2-го и 3-го игроков.

Теорема 4.4.1 Если– последовательное равновесие в игре с совершенной памятью, тогдаявляется равновесием в стратегиях поведения.

Теорема 4.4.2 Для любой конечной игры в развернутой форме множество последовательных равновесий содержит хотя бы одно последовательное равновесие.

	3,2	2,3
	0,5	4,1
	2,3	3,2
	2,3	3,2

	3,2,3	2,3,2	0,5,5	4,1,4
	2,3,2	3,2,3	2,3,2	3,2,3

Многоагентное

представление.

Нормальное представление

– равновесие в многоагентном представлении, но не равновесие в стратегиях поведения. Стратегиисоответствует стратегияиз нормального представления игры.не является равновесием в нормальном представлении игры. Следовательно, по определению не является равновесием в стратегиях поведения.

Одно из требований, чтобы был полностью согласован:

Таким образом, полностью согласованный вектор мнений должен приписать вероятность 1 верхнему узлу с меткой 1.3. Мы рассматриваем стратегию . Еслипоследовательно рациональна, тогда из=>;

.

3>0, т.е.

не является сценарием последовательного равновесия, что согласовывается с теоремой 4.4.1.