2.2.Эквивалентность игр в стратегической форме

Две игры Г=(N, (С_i)_iєN, (u_i) _iєN) иполностью эквивалентнытогда и только тогда, когда для каждого игрока i существуют числа А_iиB_i, А_i>0,

_i= А_iu_i(c)+B_i,. Более общий путь описать поведение игроков в игре в стратегической форме – задать вероятностное распределение на множестве наборов стратегий С=.

Напомним, что

.

В игре Г с функцией полезности u, игрокiпредпочитал бы, чтобы игроки вели себя согласно распределению вероятности μ=( μ(c))_cєCєΔ(C), а не согласно распределению вероятностей λ тогда и только тогда, когда μ дает более высокую ожидаемую плату, чем λ, т.е..

В игре с функцией полезности, игрокiпредпочитал бы, чтобы игроки вели себя согласно распределению вероятности μ=( μ(c))_cєCєΔ(C), а не согласно распределению вероятностей λ тогда и только тогда, когда

.

Из теоремы 3 следует, что Г и полностью эквивалентны тогда и только тогда, когда для каждого игрока iєN, для каждого λєΔ(C) игрок i предпочитает μ, а не λ в игре Г только тогда, когда он предпочитал бы μ, а не λ в игре.

Эквивалентность по лучшему ответу

Обозначим

;.

(e_-i,d_i) – набор стратегий всех игроков, такой, что в нем i-компонента – этоd_i, а все другие компоненты -e_-i.

_..

_.

Если игрок i считает, что некоторое распределение предсказывает поведение других игроков в игре, тогда игрок i захочет выбрать свою собственную стратегию из множества

.

В игре , аналогично, лучший ответ i-го игрока получится заменой u_iна.

Игры и эквивалентны по лучшему ответу тогда и только тогда, когда их лучшие ответы совпадают для любого игрокаiи для любого распределения вероятностей на множестве других стратегий, т.е.

=.

Пример:

С1	С2
	X2	Y2
X1	9,9	0,8
Y1	8,0	7,7

С1	С2
	X2	Y2
X1	1,1	0,0
Y1	0,0	7,7

Игры не полностью эквивалентны, т.к. в первой игре каждый игрок предпочитает (х₁,х₂), а во второй (у₁,у₂).

Если же каждый из игроков думает, что другие игроки выбирают у стратегию с вероятностью ⅛ или более, то эти игры эквивалентны по лучшему ответу, т.к. лучшей выбор каждого игрока в каждой из игр - (у₁,у₂).

Расчет: для всех игроков первой игры:

0p(θ)+9(1- p(θ))≤8(1- p(θ))+7 p(θ),

1≤8 p(θ),

⅛≤ p(θ).

Для всех игроков второй игры:

0p(θ)+1(1- p(θ))≤0(1- p(θ))+7 p(θ),

1≤8 p(θ),⅛≤ p(θ).

2.3.Сокращенная нормальная форма стратегической игры

Рассмотрим игры, которые мы можем упростить, удаляя лишние стратегии.

C1	C2
	X2	Y2
a1x1	6,0	6,0
a1y1	6,0	6,0
a1z1	6,0	6,0
b1x1	8,0	0,8
b1y1	0,8	8,0
b1z1	3,4	7,0

(а₁х₁), (a₁y₁), (а₁z₁) можно заменить одной строкой(а₁·) 6,0 6,0

Получим сокращенную нормальную форму игры.

В общем случае для игры Г=(N, (C_i)_iєN, (u_i)_iєN)мы можем сказать, чтоd_iи е_iэквивалентны по выигрышу тогда и только тогда, когда.

Т.е. когда вне зависимости от того, что игроки отличные от i могут делать, ни один из них не заметит, что i использует стратегию d_i, а не е_i.

C1	C2
	X2	Y2
a1.	6,0	6,0
b1x1	8,0	0,8
b1y1	0,8	8,0
b1z1	3,4	7,0

В некотором смысле стратегия b₁z₁сократима. Стратегия 0,5[a₁·]+0,5[b₁y₁] дает такую же ожидаемую плату как и b₁z₁.

0,5(6,0)+0,5(0,8)=(3,4),если х_2;

0,5(6,0)+0,5(8,0)=(7,0), если у_2.

В общем случае:

cтратегияd_iєС_iслучайно сократима, когдатакая, что.

Полностью сокращенное нормальное представлениеполучается из сокращенной нормальной формы с помощью удаления всех стратегий, случайно сократимых в сокращенной нормальной форме.