3.5.Игры двух лиц с нулевой суммой

;,.

Мы можем сказать, что цель 2-ого игрока – минимизировать ожидаемый выигрыш 1-ого игрока.

Пример: простая карточная игра – игра с нулевой суммой.

	M	P
Rr	0,0	1,-1
Rf	0.5,-0.5	0,0
Fr	-0.5,0.5	1,-1
Ff	0,0	0,0

Теорема 3.5.

является равновесием в конечной игре двух игроков с нулевой суммойтогда и только тогда когда

Более того, если - равновесие в этой игре, то

Доказательство:

Предположим, что - равновесие. Тогда

,

.

(Равенство следует из определения равновесия, и неравенства следуют из того, что если , то,).

Но:

и

Из полученных неравенств следуют три равенства в последней строке теоремы.

Два включения из формулировки теоремы следуют из равенств:

,

.

Теперь в другую сторону, предположим, что иудовлетворяют двум включениям теоремы. По теореме 3.1 в игреравновесие, следовательно выполнено последнее равенство из формулировки данной теоремы ( междуminmaxиmaxmin). Поэтому:

=

=.

Т.е. все эти выражения равны и - равновесие.

Таким образом, все равновесия в игре двух лиц с нулевой суммой даёт один и тот же ожидаемый выигрыш для игрока 1. В теореме использовался факт существования равновесия в смешанных стратегиях. Это позволило использовать равенство между

max min и min max. Без смешанных стратегий это равенство не может быть гарантировано.

Пример.

	M	P
Rr	0,0	1,-1
Rf	0.5,-0.5	0,0
Fr	-0.5,0.5	1,-1
Ff	0,0	0,0

=0,

Равновесная стратегия первого игрока носит ещё название максиминной стратегии первого игрока. Аналогично, равновесная стратегия второго игрока в этой игре носит название минимаксной стратегии второго игрока.

3.6.Равновесие Байеса

Равновесие Байеса – это равновесие по Нэшу в тип-агентном представлении. Равновесие Байеса описывает смешанную стратегию для каждого типа каждого игрока так, что каждый тип каждого игрока максимизирует свой ожидаемый выигрыш, если он знает свой собственный тип, но не знает типы других игроков.

- игра Байеса.

Набором смешанных стратегий в игре является, т.е.т.ч.;,,,и

,,.

В таком наборе смешанных стратегий числопредставляет условную вероятность того, что игрокiбудет использовать действие, если его тип. Смешанная стратегия для типаигрокаI- это.

Равновесием Байеса в является любой набор смешанных стратегийт.ч.

Например,,_.

Т.е. 1-ый игрок имеет только один возможный тип и не имеет частной информации, ,,и функция выигрышазависят от действий и типов 2-ого игрока так:

	1,2	0,1
	0,4	1,3

	1,3	0,4
	0,1	1,2

строго доминируемострого доминируемо

при типе 2.1 при типе 2.2

Поэтому 2.1 должен выбрать и 2.2 должен выбратьв равновесии по Байесу. 1-ый игрок хочет получить либо, либов результате игры, и он думает, что 2.1 более вероятно, чем 2.2.

Таким образом, единственным равновесием Байеса в этой игре является

,,.

Вычисление:

=при условии, что,=>_.