3.7.Замена смешанных стратегий чистыми

	L R
T B	0,0 0,-1 1,0 -1,3

Равновесие в смешанных стратегиях иногда бывает трудно проинтерпретировать. Рассмотрим игру

Единственное равновесие в этой игре:

(Вычисления:)

, т.е.

;;

;)

Если игрок 1 считает, что 2-й игрок с равной вероятностью выбирает как Lтак иR, то 1-й игрок захочет смешанным образом выбратьTиB. Но трудно представить что-то в реальной жизни, что заставило бы 1-го игрока выбрать междуTиBточки с вероятностью 0.75 и 0.25.

Harsanyi(1973) показал, что равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях можно проинтерпретировать как пределы равновесий Бейеса в котором каждый игрок (почти) всегда выбирает своё единственное оптимальное решение. ИдеяHarsanyi - слегка изменить игры так, чтобы каждый игрок имел незначительную частную информацию о своей собственной функции выигрыша. Например, предположим, что в игре, только что рассмотренной, сделаны некоторые изменения.

	L	R
T B

- некоторое заданное число, 0<<1, ии независимые и одинаково распределённые случайные переменные. Каждая из них выбирается согласно равномерному распределению на [0,1].

Во время игры 1-й игрок знает , но не знает и второй игрок знает , но не. Если ε = 0, то эта таблица переходит в таблицу, приведённую в начале лекции. Будем считать, что– очень маленькое положительное число (скажем, 0.0001). Тогдаи – это сомножители, которые влияют на плату, но слабо.

Для заданного существует одно равновесие по Байесу в этой игре (почти для всехи ).Tстановится лучше для игрока 1 по мере того каквозрастает иLстановится лучше для второго игрока по мере возрастания . Поэтому должны существовать числа и такие, что игрок 1 выбираетT, если и выбираетB, если. Второй игрок выбираетL, если и выбираетRесли. То есть равновесие стратегии можно искать в виде

,

.

и могут быть выбраны произвольно, если и . Вероятность таких событий равна 0.

Напоминание:

В случае конечной игры равновесие Байеса 2-х игроков определятся по формуле

.

Обозначим то, что в фигурных скобках, , .

В нашем случае для каждого игрока распишем .

.

,

.

Доля таких , чторавна

Доля таких , чторавна

Мы не можем воспользоваться формулой для равновесных

напрямую, т.к. у нас бесконечное множество состояний и, а не конечное. Но смысл в формуле для - определить весдля каждого состояния. У нас для всехскобки одинаковы, то же самое для. И вес эти скобок определён. Т.е. у нас равновесные по Байесу стратегии удовлетворяют включению

.

Т.е.

Аналогично

Отсюда если , тогда,

если , тогда,

если , тогда,

если , тогда.

Но по предыдущему,

если , тогда,

если , тогда.

Отсюда ;, т.е.и.

Т.е. равновесные по Байесу стратегии имеет вид:

,

.

ипроизвольны прии,

,.

То есть при приблизительно половина агентов, соответствующих информационным состояниям 2-ого игрока, выбираютL. Приприблизительно ¼ агентов, соответствующих информационному состоянию 1-ого игрока выбираютB.

В этом смысле равновесия Байеса сходятся к равновесию в игре, приведенной в начале лекции. Там равновесие такое: .

Если мы изучим равновесие, которое содержит смешанные стратегии, мы можем интерпретировать случайный выбор игрока как выбор, зависящий от незначительных факторов, которые были опущены при описании игры. Если игрок не имеет равновесия чистых стратегиях, значит, оптимальная стратегия игрока зависит от незначительных факторов, которые он наблюдает независимо от других игроков.

Интересно сравнить это заключение с эффектом фокусировки. В игроках с многими равновесиями общие незначительные факторы совсем не влияют на выигрыш, но бросаются в глаза всем игрокам. Они могут иметь значительное влияние на исход игры, определяя центральное равновесие.

Теория смешанных стратегий определяет ситуацию, когда незначительная частнаяинформации может быть решающей.

Эффект фокусировки определяет ситуацию, когда незначительная общеизвестнаяинформация может стать решающей.