12 Применение законов сохранения к некоторым физическим задачам

I. Явление отдачи

Закон сохранения импульса позволяет объяснить явление отдачи. Это явление имеет место и при взаимодействии макроскопических тел (выстрел из орудия, реактивное движение) и при взаимодействии микрообъектов (например, распад атомных ядер).

1. Рассмотрим, к примеру,  - распад. При  - распаде ядра радиоактивного элемента выбрасывают  - частицы - ядра атомов гелия. Если до распада основное ядро покоилось, то суммарный импульс продуктов распада должен остаться равным нулю:

, (12.1)

здесь М и - масса и скорость вновь образовавшегося ядра, m и - масса и скорость  - частицы. При этом  - частица и ядро разлетаются в прямо противоположные стороны: . Скорости ядра и

 - частицы обратно пропорциональны их массам:

(12.2)

Заметим, что на явлении отдачи ядер был осуществлён один из первых экспериментов по обнаружению нейтрино - самой „неуловимой" из элементарных частиц.

2. Явление “непрерывной отдачи" лежит в основе реактивного движения.

Реактивный двигатель (ракета) - единственный летательный аппарат, не нуждающийся при своем движении в опоре. Изменение скорости реактивного двигателя осуществляется без участия внешних сил (если не учитывать действие сил тяготения, от которых, как известно, нельзя избавиться).

Рассмотрим, от чего зависит скорость, приобретаемая ракетой во время разгона.

Вследствие непрерывного истечения продуктов сгорания - масса ракеты постепенно уменьшается, а её скорость возрастает.

Пусть в некоторый момент времени t масса ракеты и её скорость относительно Земли равны соответственно М и . Импульс ракеты в этот момент времени . Если за время dt масса выброшенных продуктов сгорания равна dM, то масса ракеты в момент временя t+dt

станет равной (М-dM), а ее импульс (M-dM) (+), - приращение скорости ракеты за время dt. Импульс выброшенных газов в момент времени t+dt:

- скорость истечения газов относительно ракеты;

- скорость газов относительно Земли. В соответствии с законом сохранения импульса, импульсы системы до и после взаимодействия равны:

(12.3)

Спроектируем все векторы этого соотношения на направление

(12.4)

(скорость противоположна направлению , поэтому её проекция на направление отрицательна). Раскроем скобки:

Пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка , получим

Разделим переменные:

Учтем, наконец, что dM - изменение массы ракеты отрицательно;

(12.5)

(dМ теперь - абсолютная величина изменения массы ракеты). Знак “минус” означает, что уменьшению массы ракеты соответствует возрастание её скорости.

Полагая, что скорость истечения продуктов сгорания относительно ракеты постоянна, нетрудно проинтегрировать написанное уравнение. Если масса ракеты на старте (=0) была M₀ , а в момент, когда скорость достигла значения , стала равной М, то интегрирование дает

; (12.6)

Полученное соотношение называется формулой Циолковского, а величина - числом Циолковского.

При скорости истечения газов > 2000 м/сек и , скорость ракеты получается порядка 4,8 км/сек. Дальнейший рост числа Циолковского приводит к довольно медленному увеличению скорости ракеты. Поэтому технически целесообразным оказывается создание ракетных “поездов” – многоступенчатых ракет.