15 Уравнение бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями и(рис.28). Пусть в месте сеченияскорость течения, давлениеи высота, на которой расположено это сечение. Аналогично, в месте сеченияскорость течения, давлениеи высота сечения. За малый промежуток временижидкость перемещается от сеченияк сечениюи отк.

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии

идеальной несжимаемой жидкости равно работе внешних сил по перемещению массыжидкости:

(15.1)

где и- полные энергии жидкости массойв местах сеченийисоответственно.

С другой стороны, - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениямии, за рассматриваемый промежуток времени. Для перенесения массыотдожидкость должна переместиться на расстояниеи отк- на расстояние. При этом,инастолько малы, что

значения скорости, давления и высоты в соответствующих сечениях не меняются.

Следовательно (15.2)

где и(направлена противоположно течению жидкости, рис.28).

Полные энергии ибудут складываться из кинетической и потенциальной энергий массыжидкости:

(15.3)

(15.4)

Подставив (15.3) и (15.4) в (15.1) и приравнивая (15.1) и (15.2), получим

(15.5)

Согласно уравнению неразрывности жидкости (14.1), объём жидкости, протекающий через сечения и, остается постоянным, т.е.

Разделив выражение (15.5) на , получим

где - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можно записать

(15.6)

Выражение (15.6) называется уравнением Бернулли в честь швейцарского физика Д.Бернулли. Это уравнение есть выражение закона сохранения энергии применительно к стационарному течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей с малой вязкостью.

Величина в формуле (15.6) называется статическим давлением, величина- динамическим давлением,- гидростатическое давление,называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (15.6) и уравнения неразрывности (14.1) для горизонтальной трубки тока следует, что при течении жидкости по трубке переменного сечения, статическое давление будет больше там, где скорость меньше, а сечение больше и, наоборот, статическое давление меньше в сечениях с большей скоростью. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы переменного сечения ряд манометров (рис.29).

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости, то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито – Прандтля (рис.30). С помощью одной из трубок измеряется полное давление (), с помощью другой – статическое ().

Манометром измеряют разность давлений:

, (15.7)

где - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

. (15.8)

Из формул (15.7) и (15.8) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в сечениях, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.31).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим сосуд (рис.32) с отверстием в боковой стенке. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений (на уровнеи уровне):

а так как иравны атмосферному давлению, то уравнение при-мет вид. Из уравнения неразрывности (14.1) следует, чтои если, то членомможно пренебречь и, откуда

. (15.9)

Это выражение получило название формулы Торричелли.