4 Момент силы. Момент инерции. Основной закон

ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Вращательное действие силы (сообщение телу углового ускорения) зависит не только от величины силы, но и от того, в каком направлении она действует и к какой точке тела приложена. Величиной, которая учитывает все эти факторы, является момент силы. Дадим определение момента силы относительно оси (существует определение момента относительно точки).

Пусть на твёрдое тело, имеющее неподвижную ось вращения, в произвольном направлении действует сила (рис.6-а). Разложим эту силу на две составляющие: , лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и — параллельную оси вращения.

Сила вращательного движения вызвать не может, она лишь деформирует тело (стремится сдвинуть его вдоль оси).

Вращательное действие оказывает только составляющая . Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей этой силы , действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояние h от оси вращения до линии её действия (рис.6 -б).

(4.1)

где r - расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Если сила действует в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то момент этой силы равен произведению самой силы на плечо.

. (4.2)

Вращательное действие, в конечном счете, вызывает только составляющая , поэтому ее можно назвать вращательной составляющей, отсюда и индекс - вр. Составляющая направлена перпендикулярно к оси вращения и стремится ее деформировать, вращения не вызывает (рис.6,б).

Момент силы относительно оси – вектор, направленный вдоль этой оси. Направление момента совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, если ось буравчика совпадает с осью вращения тела, а рукоятка поворачивается по направлению силы (рис.7). Произведение есть численное значение векторного

произведения радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы , и силы . Следовательно,

(4.3)

2. Установим связь между моментом сил, действующих на вращающееся твёрдое тело, и угловым ускорением этого тела.

Выделим в рассматриваемом теле элемент dm_i. Радиус окружности, по которой движется этот элемент, обозначим через . Пусть сила, действующая на этот элемент в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела, равна. Разложим эту силу на две составляющие: касательнуюи нормальную (рис.8). Первая из них сообщает выделенному элементу касательное ускорение , вторая - нормальное. По второму закону Ньютона

(4.4)

Как видно из рисунка 8 . Тангенциальное и угловое ускорения связаны соотношением (2.9):; подставим в (4.4): ; умножим обе части этого равенства на:

(4.5)

В правой части этого выражения стоит момент силы , так как - плечо силы. Следовательно,

(4.6)

Чтобы оценить действиевсех сил, приложенных к телу, необходимо проинтегрировать уравнение (4.6) по всем элементам тела:

(4.7)

Интеграл представляет собой полный вращательный момент всех внешних сил, действующих на тело -M.

Величина численно равная произведению массы элемента dm_i на квадрат расстояния от этого элемента до оси вращения , называетсямоментом инерции этого элемента относительно оси, а интеграл называется моментом инерциивсего тела относительно этой оси.(4.8)

Момент инерции характеризует инерционные свойства вращающихся тел: чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции различных тех зависит от распределения масс относительно оси вращения. Расчет моментов инерции - довольно сложная математическая задача.

Приведем выражения моментов инерции некоторых тел: тонкий обруч (цилиндр) радиуса r: I=mr²; сплошной однородный диск (цилиндр) радиуса r: I=½mr² (в обоих случаях оси вращения совпадают с

осями цилиндров); однородный шар радиуса r: (относительно оси, проходящей через центр шара).

Таким образом, , откуда

(4.9)

Учитывая, наконец, векторный характер момента силы и углового ускорения, запишем: (4.10)

Угловое ускорение, приобретаемое вращающимся твёрдым телом, прямо пропорционально результирующему моменту всех внешних сил, зависит от его момента инерции и направлено в сторону момента силы.

Это и есть основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

3. Второй закон Ньютона для материальной точки мы привели в нескольких формах, в частности, в форме . Аналогично можно представить основной закон и для вращательного движения:

(4.11)

В этой формуле (обозначается как) –момент импульса твёрдого тела (момент количества движения). Момент импульса - вектор, численно равный произведению момента инерции тела на угловую скорость и направленный в сторону угловой скорости.импульс момента силы.

Изменение момента импульса вращающегося тела равно импульсу вращательного момента, действующего на это тело.

Изменение момента импульса за конечный промежуток времени при I = const равно

(4.12)

Если =const (момент силы не изменяется с течением времени), (4.13)

Таковы основные соотношения динамики вращательного движения твёрдого тела.