28 Уравнение плоской гармонической волны.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

1. Уравнение волны – это формула, позволяющая найти смещение любой частицы среды, в которой распространяется волна, для любого заданного момента времени: , (28.1)

где S – смещение произвольной частицы от положения равновесия;

- декартовы координаты равновесного положения этой частицы; - время.

Формула (28.1) должна быть периодической функцией, как координат, так и времени. Это следует из того, что все частицы, охваченные волновым движением, совершают периодические колебания, и все час-тицы, отстоящие друг от друга на расстоянии , колеблются одинаковым образом.

2. Будем полагать, что частицы среды колеблются по гармоническому закону, волна плоская и распространяется в направлении оси . В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны к осии так как все частицы, принадлежащие одной и той же волновой поверхности, колеблются одинаково, смещение любой из частиц будет зависеть только оти:

. (28.2)

Выделим две волновые поверхности так, чтобы одна проходила через начало координат (поверхность «0»), другая – через произвольную точку с координатой (поверхность «») – рис.54. Пусть колебания частиц, принадлежащих волновой поверхности «0», происходят по закону

(28.3)

Колебания частиц, принадлежащих поверхности «», начнутся позже, так как требуется некоторое время для того, чтобы волна прошла расстояниех, отделяющее поверхности «0» и «». Это время, очевидно, равно, где- скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц поверхности «» будут отставать от колебаний частиц поверхности «0»

на :

или

(28.4)

Это уравнение и есть уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси . ВеличинаS определяет смещение от положения равновесия любой из частиц с координатой в момент времени. Предполагается, что амплитуда колебаний всех частиц одинакова. Для плоской волны это справедливо, если энергия волны не поглощается средой.

Уравнения плоской волны можно записать также в виде:

или, учитывая (27.4):

. (28.5)

3. Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси , имеет вид:

. (28.6)

4. График зависимости смещения от при некотором фиксированномприведен на рисунке 55,а; график зависимости смещения

от при некотором фиксированном- на рисунке 55,б.

5. Уравнение плоской волны есть решение соответствующего дифференциального уравнения, называемоговолновым.

Волновое уравнение связывает вторые частные производные от смещения по координатам со вторыми частными производными от смещения по времени. Продифференцируем уравнения волны (28.5) дважды по времени:

, (28.7)

затем дважды по координате:

. (28.8)

Сопоставим уравнения (28.7) и (28.8), найдём, что

.

Учитывая, наконец, , найдём искомое волновое уравнение плоской гармонической волны:

. (28.9)

В случае если волна распространяется в произвольном направлении, в левой части волнового уравнения появляются слагаемые содержащие вторые частные производные по и:

. (28.10)

Решением этого уравнения в зависимости от дополнительных условий может быть уравнение плоской, сферической и т.д. волн.