25 Вынужденные колебания и резонанс

Если на систему, кроме упругой или квазиупругой силы и силы сопротивления, действует также внешняя периодическая сила, система будет совершать вынужденные колебания. Пусть внешняя сила (будем называть эту силу вынуждающей) изменяется по гармоническому закону:

, (25.1)

где - амплитуда силы;- циклическая частота изменений этой силы.

При наличии вынуждающей силы дифференциальное уравнение колебаний имеет следующий вид:

или (25.2)

где - коэффициент затухания;- циклическая частота собственных незатухающих колебаний;- вынуждающая сила, отнесенная к единице массы.

Общее решение этого неоднородного линейного дифференциального уравнения складывается из двух частей: общего решения соответствующего однородного уравнения, определяющего собственные затухающие колебания:

, (25.3)

и частного решения, характеризующего вынужденные колебания:

. (25.4)

Результирующее решение системы в любой момент времени равно сумме :

(25.5)

Таким образом, при наличии вынуждающей силы в системе одновременно возникают и собственные, и вынужденные колебания.

Собственные колебания постепенно затухают и по истечении некоторого времени (называемого временем установления колебаний) становятся пренебрежимо малыми по сравнению с вынужденными колебаниями. В системе устанавливаются вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы:

. (25.6)

Амплитуда вынужденных колебаний и величина , определяющая сдвиг фаз между координатой и вынуждающей силой, в отличие от амплитуды и фазы собственных колебаний, не зависят от начальных условий. Соответствующий расчет показывает, что для данной колебательной системы, определяемой параметрамии, амплитуда вынужденных колебаний зависит от массы системы, от амплитуды и частоты вынуждающей силы, а фаза- от частоты вынуждающей силы:

; (25.7)

. (25.8)

Проанализируем уравнение (25.7).

Рассмотрим случай, когда затухание мало. Для этого случая при «в подкоренном выражении всеми слагаемыми, кроме, можно пренебречь.

Тогда: . (25.9)

При малых частотах вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний практически равна величине статического смещения, которое вызвала бы сила .

Если », то, (25.10)

При .

При некотором значении подкоренное выражение минимально,

следовательно, амплитуда максимальна. Найдём частоту (она называется резонансной), соответствующую максимуму амплитуды. Для этого продифференцируем подкоренное выражение пои приравняем производную нулю:

,

откуда

(25.11)

(отрицательное значение корня следует отбросить – частота не может быть отрицательной).

Подставив в подкоренное выражение (25.7), получим:

(25.12)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к некоторой характерной для данной системы частоте называется резонансом.

Кривая зависимости называется резонансной кривой. На рисунке 47 изображены резонансные кривые соответствующие различным.

Как видно из формулы (25.12), высота максимума резонансной кривой тем больше, чем меньше затухания . Кроме того, чем меньше, тем «острее» максимум резонансной кривой. В идеальном случае – в отсутствие сопротивления – амплитуда вынужденных колебаний обращается в бесконечность.

В области резонанса создаются наиболее благоприятные условия для поступления в систему энергии от внешнего источника.