Сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на заряд каждый из зарядов системы в отдельности (принцип суперпозиции).
Тогда
A = ∑Ai
Здесь каждое слагаемое не зависит от формы пути и, следовательно не зависит от формы пути и сумма.
Итак электростатическое поле потенциально.
Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль
потенциальной энергии – разность двух функций состояния: |
|
||||||||
A12 = Eп1 – Eп2 |
|
|
(3.2.2) |
||||||
Тогда выражение (3.2.2) можно переписать в виде: |
|
||||||||
A12 = |
|
qq' |
|
− |
qq' |
|
|
(3.2.3) |
|
|
4πεε r |
4πεε r |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
0 |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
||
Сопоставляя формулу (3.2.2) и (3.2.3) получим выражение для потенциальной |
|||||||||
энергии заряда q' в поле заряда q: |
1 |
qq' |
|
|
|
|
|||
En = |
+const |
(3.2.4) |
|||||||
4πεε0 |
|
r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Потенциальную энергию определяют с точностью до постоянной интегрирования. Значение константы в выражении Eпот. выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т. е. при r = ∞), потенциальная энергия обращалась
в нуль. Выражение (3.2.4.) – для одного заряда. Для системы зарядов |
|
EnΣ = ∑Eni |
(3.2.5) |
3.3. Потенциал. Разность потенциалов.
Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями En', En'' и так далее. Однако отношение En/q'пр. будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому ввели скалярную величину, являющуюся
энергетической характеристикой собственно поля – потенциал. |
|
|||
φ= |
En |
|
(3.3.1) |
|
q' |
||||
|
|
|||
Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.
Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (3.2.3), получим для
потенциала точечного заряда следующее выражение: |
|
|||
φ= |
1 |
q |
(3.3.2) |
|
4πεε0 |
r |
|||
|
|
|||
Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования. Договорились считать, что потенциал точки удаленной в бесконечность равен нулю. Поэтому когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность. Другое определение потенциала:
φ = Aq∞ или A∞ = qφ,
т.е. потенциал числено равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность
28
(наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.
Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получим:
|
1 |
|
N |
qi q' |
|
|
|
||
En = |
|
∑= |
|
|
(3.3.3) |
||||
4πεε |
r |
||||||||
0 |
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
||
Тогда: |
|
1 |
|
|
qi |
|
|||
φ= ∑φi φ= |
∑ |
(3.3.4) |
|||||||
4πεε |
r |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
i |
|
|
т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. А вот напряженности, как вы помните, складываются при наложении полей – векторно.
По этой причине потенциалы полей считать проще, чем напряженности.
Вернемся к работе сил электростатического поля над зарядом q'. Выразим работу
через разность потенциалов: |
|
A12 = En1 − En2 = φ1q′−φ2 q′ = q′(φ1 −φ2 ) |
(3.3.5) |
Т.о., работа над зарядом q' равна произведению заряда на убыль потенциала. То |
|
есть: |
|
A = q'(φ1 −φ2 )= q'U , |
|
A = qU , |
(3.3.6) |
где U – разность потенциалов или еще называют напряжение. Между прочим, хорошая аналогия:
A12 = mgh1 −mgh2 = m(gh1 − gh2 )
gh – имеет смысл потенциала гравитационного поля, а m – заряд.
Итак потенциал – скалярная величина, поэтому пользоваться и вычислять φ
проще, чем E . Приборы для измерения разности потенциалов широко распространены. Формулу A∞=qφ можно использовать для установления единиц потенциала: за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из ∞ единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.
Так в СИ – единица потенциала 1В = 1Дж/1Кл, в СГСЭ 1ед.пот. = 300В.
В физике часто используется единица энергии и работы, называемой эВ – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1В, то есть:
1эВ =1,6 10−19 Кл В =1,6 10−19 Дж
3.4. Связь между напряженностью и потенциалом.
Итак электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной
величины E , либо с помощью скалярной величины φ. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее:
Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l.
Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке dl можно найти так:
(3.4.1)
El – проекция E на drl ; dl – произвольное направление перемещения заряда.
29
С другой стороны, как мы показали, эта работа, если она совершена электростатическим полем равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl.
dA = −qdφ; El qdl = −qdφ |
(3.4.2) |
|||
El = − |
dφ |
|
(3.4.3) |
|
dl |
||||
|
|
|||
Вот отсюда размерность напряженности поля В/м.
Для ориентации dl – (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции E на оси координат:
Ex = − |
∂φ |
; Ey = − ∂φ |
; Ez = − |
∂φ |
; |
(3.4.4) |
|||||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
r |
|
|
∂φr |
− |
∂φr |
|
∂φ r |
|
|
(3.4.5) |
|||
E = − |
∂x |
i |
∂y |
j − |
∂z |
k |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где i, j,k – орты осей – единичные вектора.
По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, то есть:
gradφ = ∂∂φx ri + ∂∂φy rj + ∂∂φz kr
Тогда коротко записывается так: |
|
E = −gradφ |
(3.4.6) |
gradφ – вектор, показывающий направление наибыстрейшего |
увеличения |
функции. Знак минус говорит о том, что E направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.
3.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.
Как мы с вами уже знаем, направление силовой линии (линии напряженности) в
каждой точке совпадает с направлением E . Отсюда следует, что напряженность E
равна разности потенциалов на единицу длины силовой линии.
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала.
Поэтому всегда можно определить E между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые
линии – прямые. Поэтому здесь определение E наиболее просто:
E = |
U |
|
В |
|
|
|
|
|
|
(3.5.1) |
|
l |
|
||||
|
|
м |
|
||
Теперь запишем определение эквипотенциальной поверхности. Воображаемая поверхность все точки, которой имеют одинаковый потенциал, называют
эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности |
|
φ =φ (x,y,z) = const. |
(3.5.2) |
30
Рис. 3.4
При перемещении по этой поверхности на dl, потенциал не изменится: dφ = 0. Следовательно, проекция вектора E на dl равна 0, то есть El = 0. Отсюда
следует, что E в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.
Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По
густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине E , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине. На одной из лабораторных работах мы с вами будем моделировать электрическое поле и находить эквипотенциальные поверхности и силовые линии от электродов различной формы – очень наглядно вы увидите как могут располагаться эквипотенциальные поверхности.
Формула E = −gradφ – выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и
обратную задачу, т.е. по известным значениям E в каждой точке поля найти разность φ между двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как:
2 r r
A12 = ∫qEdl
1
С другой стороны работу можно представить в виде:
A12 = q(φ1 −φ2 )
тогда
2 |
r r |
|
φ1 −φ2 = ∫Edl |
(3.5.3) |
|
1 |
|
|
Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру φ1 = φ2 получим:
∫Edl = 0 , |
(3.5.4) |
т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности.
Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее этим
свойством, называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора E ,
следует, что линии E электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах и на отрицательных зарядах заканчиваются или уходят в бесконечность.
31