Теперь устремим V → 0, стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом (ρ) будет стремиться к ρ в данной точке, т.е.

(ρ) → ρ .

ε0 ε0

Величину, являющуюся пределом отношения ∫ЕdS к V, при V → 0 называют дивергенцией поля Е и обозначается divE. Тогда по определению

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. В декартовой системе координат

Это запись теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

Написание многих rформул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла)

где i , j , k – орты осей (единичные вектора).

Сам по себе смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается

Формула (2.4.7) - дифференциальная форма теоремы Гаусса.

В тех точках поля, где divE > 0 – (положительные заряды) источники поля, где

divE < 0 – стоки (отрицательные заряды). Линии E выходят из источников и заканчиваются в стоках.

2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Гаусса.

Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких примерах.

2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.

Вспомним понятие поверхностной плотности заряда

18

σ = dSdq ,

где dq – заряд сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Возьмем произвольную плоскость площадью S (Рис. 2.10.).

Рис. 2.10

Пусть σ воr всех точках плоскости одинакова. Заряд q – положительный.

Напряженность E во всех точках будет иметь направление перпендикулярное плоскости.

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, Е одинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ∆S, расположенными симметрично относительно плоскости (Рис. 2.11).

Рис. 2.11

Тогда Е' = E'' = E.

Применим теорему Гаусса. Поток ФЕ через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Еn = 0. Для основания цилиндра Еn = Е.

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр)

ФЕ=2∆SЕ.

Внутри поверхности заключен заряд q = σ∆S, т.к. σ = dSdq .

Следуя из теоремы Гаусса

ФЕ = εq0 2∆SE = σ∆S ε10

откуда

19

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит что на любом расстоянии от плоскости Е = const.

2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей.

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (Рис. 2.12).

Рис. 2.12

Результирующее поле, как вы уже знаете из предыдущих лекций, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей Е = 0.

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы действующие между заряженными телами называют

пандермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где ε0 – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость среды. Или через Е :

20

Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на графике Рис. 2.12.

2.5.3. Поле бесконечного заряженного цилиндра.

Линейная плотность

λ = dqdl ,

где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (нити).

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью λ+ (Рис. 2.13).

Рис. 2.13

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров Еn = 0, для боковой поверхности Еn = Е(r), т.е. зависят от расстояния r.

Следовательно поток вектора E через рассматриваемую поверхность равен

Е(r)2πrl.

При r > R , на поверхности будет заряд q = λl. По теореме Гаусса Е(r)2πrl = λl , т.е.

ε0

Если r < R, Е(r) = 0 поэтому внутри замкнутой поверхности зарядов нет. (Если уменьшить радиус цилиндра R, (при λ = const), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью) и при R → 0 получить нить. Графически распределение напряженности электростатического поля показано на Рис. 2.14.

21