E = |
P |
3 |
3cos2 |
φ+1 |
|
(1.5.5) |
||||||
|
4πε0r |
|
|
π , |
|
|
|
|
P |
|
|
|
при φ = φ = |
E = |
|
|
|||||||||
4πε0r3 |
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
||||
при φ = φ = 0, Е |
|
= |
|
2P |
. |
|||||||
|
4πε0r3 |
|||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
Напряженность электрического поля системы зарядов равна геометрической сумме напряженностей полей каждого из зарядов в отдельности.
1.6. Взаимодействие двух диполей.
Рассмотрим взаимодействие диполей расположенных вдоль одной оси. Расстояние между центрами диполей обозначим r; пусть это расстояние много больше плеча диполя: r >> l (Рис. 1.8).
Рис. 1.8
Сила взаимодействия складывается из четырех компонентов – двух сил отталкивания между одноименными зарядами и двух сил притяжения – между разноименными зарядами:
|
(−q)(−q) |
|
|
|
(−q)(q) |
|
|
|
|
|
(−q)(q) |
|
|
q |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
F = |
+ |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
2 |
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
4πε0 r |
2 |
4πε0 (r −l) |
2 |
|
4πε0 (r +l) |
2 |
|
|
2 |
|
|
(r −l) |
2 |
(r +l) |
2 |
|
||||||||||||||||
|
4πε0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε0 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
После нескольких |
преобразований |
получим |
|
F = |
6q2l 2 |
|
r 2 −(l 2 / 3) |
|
. |
Обозначив |
|||||||||||||||||||||||
|
|
4πε0 |
r 2 |
(r 2 −l 2 )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ql = Pl и отбрасывая l2, как очень малую величину по сравнению с r2, имеем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F = − |
|
|
|
6P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
4πε0 r 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нетрудно обобщить это выражение для случая взаимодействия диполей с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
разными электрическими моментами P1l |
и P2l : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F = − |
6P1l P2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
4πε0 r 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Итак, если дипольные моменты двух диполей расположенных вдоль одной прямой и одинаково направлены, то они притягиваются, причем сила притяжения пропорциональна произведению электрических моментов диполей и обратно пропорциональна четвертой степени расстояния между ними. Следовательно, дипольное взаимодействие убывает с расстоянием значительно быстрее, чем взаимодействие между точечными зарядами.
Самостоятельно покажите, что будет – притяжение или отталкивание, между диполями, моменты которых расположены на одной прямой и направлены в противоположные стороны.
Вычислим силу взаимодействия между диполями, расположенными так, как показано на рисунке 1.9.
10
Рис. 1.9 |
|
|
|
|
|
Равнодействующая сила |
|
|
|
|
|
F' = F1 + F2 – F3cosα – F4cosα = |
2q2 |
− |
2q2cosα |
. |
|
4πε0 r 2 |
4πε0 R2 |
||||
|
|
|
Учитывая, что cosα = r/R и R2 – r2 = l2, получим после нескольких преобразований
|
F'= |
2q2l 2 |
(R2 + Rr +r 2 ) |
. |
|
||||
|
4πε0 r 2 R3 (R +r) |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
Полагая, как и выше, что l << r, следовательно R ≈ r, имеем |
|
||||||||
F'= |
2q2l 2 |
3r 2 |
= |
3P2 |
= |
F |
. |
|
|
|
|
l |
|
|
(1.6.3) |
||||
4πε0 2r6 |
4πε0 r 4 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Чему будет равна сила при антипараллельной ориентации дипольных моментов. Сравнивая выражения (1.6.2) и (1.6.3), убеждаемся, что, в отличие от центральных
сил (гравитационных и кулоновских), сила взаимодействия между диполями зависит не только от расстояния – между ними, но и от их взаимной ориентации. Аналогичными свойствами обладают ядерные силы.
11
Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА.
2.1. Силовые линии электростатического поля.
2.2. Поток вектора напряженности.
2.3. Теорема Остроградского – Гаусса.
2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского – Гаусса.
2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей. 2.5.3. Поле бесконечно заряженного цилиндра.
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком.
2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара. 2.5.6. Поле объемного заряженного шара.
2.1. Силовые линии электростатического поля.
Теорема Остроградского – Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.
Русский ученый М.В. Остроградский доказал эту теорему в 1828 г. применительно к теории теплоты. Гаусс получил соответствующий результат для электростатического поля и опубликовал его в 1839 г.
В принципе, напряженность электростатического поля, создаваемого данным распределением зарядов, всегда можно вычислить с помощью закона Кулона. Полное электрическое поле в любой точке является векторной суммой (интегральным) вкладом всех зарядов, т.е.
Е = Е1 + Е2 +... = ∑Еn или Е = ∫dЕ |
(2.1.1) |
n |
|
Однако, за исключением самых простых случаев, вычислить эту сумму или интеграл крайне сложно.
И вот здесь то и приходит на помощь теорема Остроградского – Гаусса, с помощью которой гораздо проще удается рассчитать напряженность электрического поля, создаваемая данным распределением зарядов.
Основная ценность теоремы Остроградского – Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем.
Но прежде чем переходить к теореме Остроградского – Гаусса необходимо ввести понятия: силовые линии электростатического поля, поток вектора напряженности электростатического поля.
Для того чтобы описать электрическое поле, нужно задать вектор напряженности в каждой точке поля. Это можно сделать аналитически или графически.
Для этого пользуются силовыми линиями – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности E (Рис. 2.1).
12
Рис. 2.1
Силовой линии приписывают определение направления – от положительного заряда к отрицательному или в бесконечность.
Рассмотрим случай однородного электрического поля.
Однородным называется электрическое поле, во всех точках которого
напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. E = const. Однородное электрическое поле изображено параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга (такое поле существует, например между пластинами конденсатора).
В случае точечного заряда, линии напряженности направлены по радиусам из заряда: для положительного – исходят и уходят в бесконечность; для отрицательного – из бесконечности входят в заряд. Т.к.
Е ~ r12 ,
то и густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда. Т.к. площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии сама возрастает пропорционально квадрату расстояния, то общее число линий остается постоянным на любом расстоянии от заряда.
Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному (Рис. 2.2).
Рис. 2.2
Густота силовых линий может служить для определения величины E (Рис. 2.1).
Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекала такое их число, которое равно
r
модулю вектора напряженности Е , т.е.
Еr = число.линий = Ф .
S S
Пример 1: Если на (Рис. 2.3) выделена площадка S = 2м2, то напряженность изображенного поля
13