2.5.1. Расчёт на действие нагрузки

Подобрать площади поперечного сечения стержней трёхстержневой фермы, изображённой на рис.2.11,а.

а б

Рис.2.11

Поскольку при расчёте статически неопределимых конструкций используются уравнения совместности деформаций, выражаемые по закону Гука через жёсткость EF, а значения F нам неизвестны, необходимо заранее задавать соотношение площадей рассчитываемых стержней. Исходные данные – в табл.2.1.

Таблица 2.1.

Стержень	Площадь поперечного сечения F	Модуль Юнга E, кН/см2	Допускаемое напряжение [σ], кН/см2
1	F1	104	12
2	2F1	2·104	16

Определим длины стержней:

ℓ₁ = 3 м, ℓ₂ = ℓ₃ = 3/cos 30⁰ = 3/0,866 = 3,46 м  ℓ₂ = 3,46 м.

Решаем задачу в соответствии с записанным выше порядком расчёта.

1. Условия равновесия узла А (рис.2.11,б) выражаются двумя уравнениями статики:

∑ х = 0: N₃sin 30⁰ – N₂sin 30⁰ = 0  N₃ = N₂,

∑ у = 0: N₁ + P – N₂cos 30⁰ – N₃cos 30⁰ = 0.

В результате остается одно второе уравнение, содержащее два неизвестных усилия:

N₁ + P – 2N₂cos 30⁰ = 0. (a)

Таким образом, конструкция один раз статически неопределима.

2. Так как система симметрична относительно оси среднего стержня и боковые стержни растягиваются одинаковыми силами, то узел A опустится по вертикали на величину деформации первого стержня ∆ℓ₁ и займёт положение A′ (рис.2.11,в). Стержни 2 и 3 удлиняются, на рисунке показан только второй стержень ВА и его новое положение ВА′. Удлинение бокового стержня получим, если из точки В радиусом, равным ВА′, проведём дугу и сделаем засечку на старом положении стержня ВА. Вследствие малости упругих удлинений по сравнению с длинами стержней можно дугу заменить перпендикуляром А′С, опущенным на линию АВ: АС = ∆ℓ₂. При построении картины деформированного состояния пользуемся принципом «Стержень растянулся (или сжался) и повернулся». В данном случае стержень 2 растянулся, точка A перешла в точку C, и повернулся, точка C перешла в точку A₁. Из рисунка:

∆ℓ₂ = ∆ℓ₁cos 30⁰. (б)

Уравнение (б) есть уравнение совместности деформаций.

3. Удлинения стержней выразим по закону Гука через действующие в них усилия:

.

86,5 N₂= – 259,8N₁N₁= – 0,33N₂. (в)

Деформация 1-го стержня записана со знаком ''–'' т.к. она – укорочение.

4. Необходимо решить совместно уравнение статики (а) и уравнение совместности деформаций, выраженное через усилия (в):

В результате решения системы уравнений получим:

N₁ = – 112,1 кН, N₂ = 339,5 кН.

5. Найдём площади поперечного сечения стержней из условия прочности :

,. (г)

Так как кроме условий (г) должно еще выполняться первоначально заданное соотношение F₂ = 2F₁, окончательно принимаем: F₁ = 10,6 см², F₂ = 21,2 см². При этом напряжение во втором стержне будет равно допускаемому, а в первом оно будет меньше допускаемого

.

Отметим, что в статически неопределимых конструкциях невозможно получить равнопрочность всех элементов – всегда есть недогруженные стержни.