3.7.2. Классические теории прочности

Первая (I) теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений. Наиболее простая теория прочности, ведущая своё начало от Галилея. Критерием прочности, "ответственным" за наступление опасного состояния является наибольшее из трёх главных напряжений.

Условие нарушения прочности имеет вид

σ₁ = σ_оп⁺ = σ_т, σ₃ = σ_оп^- = σ_пч. (3.41)

Если правую часть выражений (3.41) поделить на коэффициент запаса, получим условие прочности:

σ^I_расч = σ₁ ≤ [σ₊], σ^I_расч = |σ₃| ≤ [σ_-]. (3.42)

Первая теория прочности из трёх главных напряжений учитывает лишь одно- наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность. Это явный недостаток этой теории.

Опытная проверка показывает, что I-я теория прочности не отражает переход материала в пластическое состояние и даёт удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов.

Вторая (II) теория прочности – теория наибольших линейных деформаций. Идею второй теории прочности впервые высказал Мариотт: критерием прочности, "ответственным" за наступление опасного состояния, является наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация.

Условие разрушения следующее:

|ε_max| = ε_оп, (3.43)

а условие прочности

. (3.44)

Используя обобщённый закон Гука (3.25), выразим условие прочности (3.44) в напряжениях. Пусть наибольшее относительное удлинение будет ε₁. Тогда

. (а)

При простом растяжении, приняв в качестве допускаемого напряжения [σ], мы тем самым для наибольшего относительного удлинения допускаем величину

. (б)

Подставив (а) и (б) в условие прочности (3.44) и, сократив на E, получим окончательное выражение для условия прочности по II - й теории прочности

σ^II_расч = σ₁ – ν (σ₂ + σ₃) ≤ [σ]. (3.45)

В отличие от I-й теории прочности учитываются все три главных напряжения. Однако, опытная проверка указывает на согласующиеся результаты лишь для хрупких материалов.

Третья (III) теория прочности – теория наибольших касательных напряжений. В этой теории, предложенной Кулоном в 1773 году, в качестве фактора, "ответственного" за наступление опасного состояния, принято наибольшее касательное напряжение.

Условия разрушения и прочности имеют вид

τ_max = τ_оп. (3.46)

. (3.47)

Так как согласно (3.21)

, а _,

то условия разрушения и прочности (3.46) и (3.47) можно выразить через главные напряжения:

σ₁ – σ₃ = σ_оп, (3.48)

σ^III_расч = σ₁ – σ₃ ≤ [σ]. (3.49)

Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Она предназначена для прогнозирования предельного состояния в форме течения, т.е. для пластичных материалов. Недостаток третьей теории заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ₂, которое, как показывают опыты, оказывает некоторое влияние (хотя во многих случаях и незначительное) на прочность материала. Условие прочности в форме (3.49) нашло широкое применение в инженерной практике.

Четвёртая (IV) теория прочности – энергетическая. В основу этой теории, предложенной Мизесом в 1913 году, положен постулат о том, что причиной наступления предельного состояния в форме течения является удельная потенциальная энергия изменения формы, а не напряжения или деформации. Следовательно, математической моделью энергетической теории является следующее условие

u_ф = u_оп. (3.50)

Подставляя в (3.50) значения u_ф при объёмном напряжённом состоянии по формуле (3.38) и при линейном напряжённом состоянии по формуле (3.40), получим условие наступления предельного состояния

, (3.51)

где σ_т – предел текучести.

Сокращая на множитель с упругими постоянными и записывая в правой части допускаемое напряжение [σ] = σ_т/n, получим условие прочности

. (3.52)

Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

В третьей и в четвёртой теориях прочности нашёл своё отражение экспериментально установленный факт неразрушения изотропного материала в условиях гидростатического сжатия.

Так же, как и третья теория, четвёртая широко применяется в инженерных расчётах. Как правило, третья теория даёт несколько больший запас прочности, т.е. σ^III_расч > σ^IV_расч.