- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 1
- •Глава 1. Введение
- •1.1. Задачи и методы сопротивления материалов
- •1.2. Реальный объект и расчётная схема
- •1.2.1. Модели материала
- •1.3. Классификация сил (модели нагружения)
- •1.4. Напряжения
- •1.5. Общие принципы расчёта на прочность
- •Глава 2. Центральное растяжение – сжатие прямого бруса
- •2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса
- •2.2. Условие прочности
- •2.3. Деформации. Закон Гука
- •2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса
- •2.5. Статически неопределимые системы
- •2.5.1. Расчёт на действие нагрузки
- •2.5.2. Температурные напряжения
- •2.5.3. Монтажные напряжения
- •2.6. Механические характеристики материалов
- •2.6.1. Испытание на растяжение малоуглеродистой (мягкой) стали
- •Характеристики прочности
- •Характеристики пластичности
- •Разгрузка и повторное нагружение
- •Диаграммы напряжений
- •2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов
- •2.6.3. Определение твёрдости
- •2.6.4. Сравнение свойств различных материалов
- •2.7. Допускаемые напряжения
- •2.8. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 3. Напряжённое и деформированное
- •3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний
- •3.2. Линейное напряжённое состояние
- •3.3. Плоское напряжённое состояние
- •3.3.1. Прямая задача
- •3.3.2. Обратная задача
- •3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия
- •3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии.
- •3.5.1. Обобщённый закон Гука
- •3.5.2. Относительная объёмная деформация
- •3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
- •3.7. Теории прочности
- •3.7.1. Задачи теорий прочности
- •3.7.2. Классические теории прочности
- •3.7.3. Понятие о новых теориях прочности
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Статические моменты.
- •4.2. Моменты инерции
- •4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •4.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса
- •5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия
- •5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, q и m
- •5.3. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m
- •5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
- •5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •5.7. Распределение касательных напряжений в балках
- •5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе.
- •5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба
- •Нормальные напряжения:
- •5.10. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 6. Сдвиг
- •6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
- •6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
- •Глава 7. Кручение прямого бруса
- •7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
- •7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
- •7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость
- •7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации
- •7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения
- •7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
- •Оглавление
5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
Наибольшей величины σmax напряжения достигают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. в случае симметрии сечения относительно горизонтальной оси z при y = ± h/2 (рис.5.17). Подставляя это значение в формулу (5.18), получим
Отношение обозначается W и называется осевым моментом сопротивления. Момент сопротивления имеет размерность см3 и характеризует прочность балки при изгибе, для сечения произвольной формы находится по формуле (см. п. 3.7)
. (5.19)
Таким образом, для материалов, имеющих одинаковую прочность на растяжение и сжатие, условие прочности при чистом изгибе имеет следующий вид
. (5.20)
Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы о рациональной форме сечения при изгибе. В отличие от растяжения при изгибе напряжения в сечении распределяются неравномерно. Материал, расположенный у нейтрального слоя, нагружен очень мало. Поэтому в целях экономии его и снижения веса конструкции следует выбирать такие формы сечения, чтобы большая часть материала была удалена от нейтральной линии (рис.5.18,а). Наиболее близки к идеальному тонкостенные профили – двутавр (рис.5.18,б), швеллер (рис.5.18,в), коробка (рис.5.18,г).Совершенно не рационален круглый профиль, т.к. большая часть материла находится у нейтральной линии.
а б в г
Рис.5.18
Тем не менее в машиностроении широко применяются круглые стержни – это валы и оси, которые по конструктивным или технологическим соображениям невозможно сделать другого профиля.
В случаях применения материалов, по разному сопротивляющихся растяжению и сжатию (например, железобетона или чугуна), имеет смысл использовать несимметричный профиль, у которого нейтральная линия смещена по отношению к середине высоты сечения и напряжения в крайних волокнах не одинаковы (рис.5.19). Такой профиль называется тавром, его моменты сопротивления будут
и . (5.21)
Рис.5.19
Условия прочности
, (5.22)
.
Все формулы настоящего и предыдущего параграфов получены для случая чистого изгиба прямого стержня Действие поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу: поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются, продольные волокна давят друг на друга и находятся, следовательно, не в линейном а в плоском напряжённом состоянии. Однако практика расчётов и многочисленные экспериментальные исследования показывают, что и при поперечном изгибе можно пользоваться формулами, выведенными для чистого изгиба, т.к. погрешность при этом получается весьма незначительной.
5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
При поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют Q и M, возникают не только нормальные напряжения σ, но и касательные напряжения τ.
Получим формулу для определения τ в самом простом случае поперечного изгиба – когда Q = const. Задача об определении напряжений, как правило, статически неопределима и требует рассмотрения геометрической и статической сторон (например, задача о нормальном напряжении при чистом изгибе – см.п.5.4.). Однако можно принять такие гипотезы о распределении напряжений, при которых задача станет статически определимой. Тогда необходимость в привлечении геометрических и физических уравнений отпадает и достаточно рассмотреть одну только статическую сторону задачи. Именно так и будет обстоять дело с выводом формулы для τ при изгибе.
Проведем вывод на примере балки прямоугольного поперечного сечения (рис.5.20,а), нагруженной силой в пролёте.
Введём некоторые предположения о характере распределения напряжений:
1) τ всюду параллельны Q;
2) во всех точках сечения на данном уровне (y = const) τ одинаковы, (т.е. постоянны по ширине и зависят только от расстояния точки до нейтральной линии);
3) σ определяется по формуле (5.18) для чистого изгиба.
Первые два предположения справедливы, если b < h.
Двумя близкими поперечными сечениями A1B1 и A2B2 выделим элемент балки длиной dx (рис.5.20,б). Как видно по эпюрам, в обоих сечениях Q одинакова, а М разный: в сечении A1B1: М = M(x), a в сечении A2B2: М = M(x) + dM.Таким образом, в этих сечениях действуют нормальные напряжения σ′ и σ′′ (рис.5.20,в), причём σ′′ > σ′.
Отсечём часть элемента балки, проведя горизонтальную плоскость m1-m2 на расстоянии y от нейтрального слоя. Выделенный таким образом элемент показан в поперечном сечении (рис.5.20,г) и в аксонометрии (рис.5.20,д). Нормальные напряжения, действующие по граням A1m1n1C1 и A2m2n2C2, определяются по формулам
, , (5.23)
где y1 – текущая координата в пределах этих граней, y ≤ y1 ≤ h/2.
а б в
г д
Рис.5.20
Равнодействующие этих напряжений, нормальные усилия N1 и N2:
, , |
(5.24) |
где F1 – площадь грани A1m1n1C1 (рис.5.20,г).
Ввиду того, что N2 > N1, равновесие рассматриваемого элемента возможно только в том случае, если по грани m1m2n2n1 будут действовать касательные напряжения τ′. Площадь этой грани бесконечно мала (длина dx), поэтому можно считать, что напряжения τ′ распределены равномерно и, следовательно, дают усилие
T = τ′bdx = τbdx. (5.25)
В формуле (5.25) τ′ = τ по закону парности касательных напряжений, τ – касательное напряжение в поперечном сечении, параллельное Q.
Запишем теперь уравнение равновесия параллелепипеда:
∑x = N2 – N1 – T = 0.
Подставляя N по формулам (5.24) и Т по формуле (5.25), получим
,
.
Учтём, что – статический момент отсечённой площади, заключенной между уровнем «y» и краем балки, и разделим это равенство на bdx
.
Учитывая, что по формуле (5.4) , находим окончательно
. (5.26)
Формула (5.26) носит имя автора – русского учёного Д.И.Журавского. Несмотря на то, что положенные в основу её вывода гипотезы справедливы только для узких прямоугольных сечений, ею можно пользоваться для любых сечений, в том числе и для сечений переменной ширины. Поперечная сила может быть переменной по длине балки.
Рис.5.21
Таким образом, для произвольного сечения (рис.5.21) формула Журавского записывается в следующем виде
, (5.27)
где Q(x) – абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения;
Jz – момент инерции этого сечения относительно нейтральной оси;
by – ширина сечения в том месте, где определяют τ;
SzOTC – абсолютная величина статического момента отсеченной части профиля относительно нейтральной оси (отсечение производится линией, параллельной нейтральной оси в том месте, где определяют τ).
SzOTC = F1OTC ∙ yц,т.