- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 1
- •Глава 1. Введение
- •1.1. Задачи и методы сопротивления материалов
- •1.2. Реальный объект и расчётная схема
- •1.2.1. Модели материала
- •1.3. Классификация сил (модели нагружения)
- •1.4. Напряжения
- •1.5. Общие принципы расчёта на прочность
- •Глава 2. Центральное растяжение – сжатие прямого бруса
- •2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса
- •2.2. Условие прочности
- •2.3. Деформации. Закон Гука
- •2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса
- •2.5. Статически неопределимые системы
- •2.5.1. Расчёт на действие нагрузки
- •2.5.2. Температурные напряжения
- •2.5.3. Монтажные напряжения
- •2.6. Механические характеристики материалов
- •2.6.1. Испытание на растяжение малоуглеродистой (мягкой) стали
- •Характеристики прочности
- •Характеристики пластичности
- •Разгрузка и повторное нагружение
- •Диаграммы напряжений
- •2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов
- •2.6.3. Определение твёрдости
- •2.6.4. Сравнение свойств различных материалов
- •2.7. Допускаемые напряжения
- •2.8. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 3. Напряжённое и деформированное
- •3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний
- •3.2. Линейное напряжённое состояние
- •3.3. Плоское напряжённое состояние
- •3.3.1. Прямая задача
- •3.3.2. Обратная задача
- •3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия
- •3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии.
- •3.5.1. Обобщённый закон Гука
- •3.5.2. Относительная объёмная деформация
- •3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
- •3.7. Теории прочности
- •3.7.1. Задачи теорий прочности
- •3.7.2. Классические теории прочности
- •3.7.3. Понятие о новых теориях прочности
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Статические моменты.
- •4.2. Моменты инерции
- •4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •4.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса
- •5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия
- •5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, q и m
- •5.3. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m
- •5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
- •5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •5.7. Распределение касательных напряжений в балках
- •5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе.
- •5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба
- •Нормальные напряжения:
- •5.10. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 6. Сдвиг
- •6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
- •6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
- •Глава 7. Кручение прямого бруса
- •7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
- •7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
- •7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость
- •7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации
- •7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения
- •7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
- •Оглавление
1.5. Общие принципы расчёта на прочность
Целью расчёта является выяснение вопроса – удовлетворяет ли конструкция (деталь) требованиям надёжности, которые к ней предъявляются.
Надёжностью называется свойство изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определённых пределах в течение требуемого промежутка времени или наработки,
Прочностной надёжностью называется отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформациями элементов конструкции.
В машиностроении в качестве параметра работоспособности изделий, как правило, используют напряжение. Поэтому метод расчёта на прочность называется расчётом по допускаемым напряжениям. Порядок расчёта следующий:
1.Определение внешних нагрузок, составление расчётной схемы.
2.Определение внутренних усилий и характера их изменения. Нахождение положения опасного сечения.
3.Определение величины и характера распределения напряжений в опасном сечении. Нахождение опасной точки и определение величины наибольшего напряжения σmax или, в случае сложного напряжённого состояния, величины наибольшего расчётного напряжения σрасч.
4.Определение величины допускаемого напряжения [σ] по формуле
, (1.3)
где σ0– опасное напряжение, соответствующее наступлению предельного состояния для данного материала, находится при лабораторных испытаниях;
n– коэффициент запаса прочности, n > 1.
5.Проверка условия прочности
σmax ≤ [σ]. (1.4)
При определении допускаемого напряжения [σ] по формуле (1.3) очень важно правильно выбрать модель разрушения и обоснованно назначить запас прочности. Модель разрушения зависит от материала и условий нагружения детали. Может быть статическое разрушение, длительное статическое разрушение, усталостное разрушение, малоцикловое разрушение.
Глава 2. Центральное растяжение – сжатие прямого бруса
2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса
Растяжение и сжатие весьма часто встречаются в элементах строительных конструкций и машин.
Если внутренние силы в поперечном сечении стержня сводятся только к одному силовому фактору – продольной силе N, а все остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место центральное растяжение или сжатие.
Внешние силы, вызывающие растяжение или сжатие, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть также направлены по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси.
Рассмотрим растянутый стержень (рис.2.1). Передача сил Р на этот стержень может быть осуществлена различными способами: можно, например, отогнуть концы стержня и захватить его за образовавшуюся петлю, можно изготовить стержень с бортиками и передать усилия через выступ, можно нарезать резьбу, можно сделать отверстие и в отверстие вставить палец, словом, вариантов можно предложить много. Всем этим, отличающимся друг от друга конструкциям, может быть поставлена в соответствие одна и та же расчётная схема (рис.2.2). Это возможно благодаря справедливости принципа Сен-Венана, названному по имени предложившего его французского учёного, сыгравшего большую роль в создании сопротивления материалов и теории упругости в середине XIX века.
Рис.2.1
Принцип Сен-Венана утверждает следующее: особенности приложения внешних сил сказываются на расстоянии, не превышающем характерный размер поперечного сечения. Напряжения и деформации в стержне на достаточном удалении от мест захвата (равном характерному размеру поперечного сечения – диаметру d) будут одинаковы, если одинаковы приложенные силы. Применение принципа Сен-Венана позволяет существенно расширить общность основных расчётных формул сопротивления материалов, поскольку освобождает от необходимости учитывать конкретные особенности местного распределения сил.
Для определения продольных сил применяется метод сечений, который заключается в том, что стержень мысленно пересекается плоскостью, перпендикулярной оси стержня, на две части. Продольная сила N равна сумме проекций на ось стержня сил, действующих по одну сторону от сечения. Сила N считается положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения), и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению).
Рассмотрим расчётную схему стержня (рис.2.2). Стержень рассекаем сечением m-n и рассматриваем равновесие левой отсечённой части. Целесообразно неизвестную продольную силу N принимать положительной (растягивающей). Если при решении уравнения статики сила N получится со знаком “–“, то её направление надо поменять на противоположное и учитывать в дальнейшем расчёте, что стержень сжат. В нашем случае (рис.2.2.) получим N = P, т.е. стержень растянут: ∑x = 0, N – P = 0, N = P.
Рис.2.2.
В более сложных случаях нагружения стержня имеет смысл строить график изменения продольных сил по длине, называемый эпюрой продольных сил. На рис.2.3 изображен брус, находящийся под действием внешних сил, направленных вдоль оси. Показана эпюра продольных сил.
Рис.2.3
При построении эпюры N рассматривали равновесие отсечённых частей на каждом из участков ℓ1, ℓ2, ℓ3 (рис.2.4).
∑х = 0: 40 – N1 = 0, N1 = 40 кН;
∑х = 0: 40 – 90 – N2 = 0, N2 = – 50 кН;
∑х = 0: 40 – 90 + 60 – N3 = 0, N3 = 10 кН. |
|
Рис.2.4
Из рис.2.4 следует, что мы все время рассматривали равновесие правой отсечённой части. Это связано с тем обстоятельством, что мы не определили реакцию опоры R , которая относится к внешним силам. Если бы сначала нашли R из уравнения статики, можно было бы рассматривать равновесие и левой отсечённой части. Построив эпюру N, получили R = 10 кH (растяжение).
С помощью построенной эпюры легко установить значение N, необходимое для расчёта на прочность. Так, в нашем примере получилиNmax = 50кН. Это значение не совпадает ни с одной из внешних сил.
Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью:
, (2.1)
где σ – нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dF;
F – площадь поперечного сечения бруса.
Однако из формулы (2.1) нельзя найти закон распределения нормальных напряжений σ по площади поперечного сечения. Опыты показывают, что если нанести на поверхность бруса систему линий перпендикулярных оси бруса (рис.2.5), то после нагружения поперечные линии a-a, b-b, c-c, d-d переместятся параллельно самим себе.
Рис 2.5.
Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса, – это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Выполняется гипотеза плоских сечений, впервые предложенная голландским учёным Д. Бернулли и широко применяемая в задачах сопротивления материалов: удлинения и напряжения во всех точках поперечного сечения бруса равны между собой, что позволяет в выражении (2.1) вывести величину σ за знак интеграла. Таким образом,
,
откуда
. (2.2)
Итак, в поперечных сечениях бруса при его растяжении (или сжатии) возникают равномерно распределённые нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.