5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Чистый изгиб – это самый простой случай нагружения балки (рис.5.10). Он имеет место и при другой схеме нагружения (рис.5.13.). Силовая плоскость совпадает с одной из главных осей поперечного сечения – осью y (рис.5.13). В сечении действует только нормальное напряжение σ, касательное τ равно нулю ввиду равенства нулю поперечной силы Q.

Формулу для σ можно вывести только из рассмотрения картины деформации балки (рис.5.14,б). Опыты, поставленные на эластичных (например, резиновых) моделях, позволяющих легко получить значительные деформации, показывают, что нанесённая на поверхность прямоугольная сетка линий (рис.5.14,а) деформируется (рис.5.14,б) следующим образом:

а) продольные линии искривляются по дуге окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются прямыми;

в) линии контуров сечений пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

Далее, замеряя расстояния между аналогичными точками контура каких-либо двух сечений, можно обнаружить, что при деформации верхние продольные волокна укорачиваются (), а нижние – удлиняются (). Ясно, что есть такие волокна, длина которых остается неизменной (), они лишь искривляются. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (НС). Поперечное сечение пересекается с нейтральным слоем по прямой, которая называется нейтральной линией (НЛ).

Таким образом, при чистом изгибе балка деформируется следующим образом.

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси – справедлива гипотеза плоских сечений.

2. Продольные волокна удлиняются и укорачиваются, но друг на друга не давят – имеет место линейное напряжённое состояние.

3. В поперечном направлении (вдоль оси z) деформация постоянна.

а б

Рис.5.13 Рис.5.14

Выделим элемент двумя смежными поперечными сечениями m-m и n-n, отстоящими друг от друга на расстоянии dx (рис.5.15,а), и, приняв во внимание гипотезу плоских сечений, покажем его деформированное состояние (рис.5.15,б). Сечения m-m и n-n остаются плоскими и поворачиваются на угол dθ, элемент a₀b₀ нейтрального слоя превращается в дугу с радиусом ρ. Волокна нейтрального слоя не изменяют своей длины при деформации, поэтому

,

. (5.8)

Произвольное волокно , находящееся на расстоянии y от нейтрального слоя, превращается в криволинейное волокно . Абсолютное удлинение его ∆ab может быть показано на рис.5.15,б, если из точки b′₀ провести прямую, параллельную Cm

, (5.9)

Относительное удлинение этого волокна

. (5.10)

Подставив выражение (5.8) в выражение (5.10), получим

. (5.11)

Таким образом, рассмотрение геометрической стороны задачи показало, что относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

а б Рис.5.15

Физическая сторона задачи выражается законом Гука. Для волокон, находящихся в линейном напряжённом состоянии, его следует записать в виде . (5.12) Исключив ε из формул (5.11) и (5.12), получим

. (5.13)

Формулой (5.13) пока пользоваться невозможно, т.к. неизвестны радиус кривизны нейтрального слоя ρ и положение нейтральной оси в сечении. Для определения этих величин рассмотрим статическую сторону задачи (рис.5.16).

Запишем уравнения статики для отрезка балки длиной x, находящегося под действием постоянного изгибающего момента M и нормальных напряжений σ.

Нужно записать шесть уравнений статики

∑х = 0, ∑у = 0, ∑z = 0,

∑M_x = 0, ∑M_y = 0, ∑M_z = 0.

Из них три дают тождество 0 = 0. Остаются три уравнения

∑х = 0, ∑M_y = 0, ∑M_z = 0.

Запишем их по порядку, подставляя σ по формуле (5.13).

. (5.14)

Поскольку , , а это статический момент сечения относительно нейтральной линии.

. (5.15)

.

Рис.5.16

По той же причине, что и в предыдущем уравнении, . Это другая геометрическая характеристика сечения – центробежный момент инерции

. (5.16)

На основании равенства (5.15) заключаем, что ось z – нейтральная линия сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения. Равенство (5.16) показывает, что оси y и z – главные центральные оси сечения. Этим определяется положение нейтральной линии сечения.

Таким образом, если силовая линия совпадает с одной из главных центральных осей сечения, то изгиб будет плоским и нейтральная линия сечения совпадает с другой главной центральной осью.

Из третьего уравнения (5.13) определим радиус кривизны нейтрального слоя.

.

Вспомнив, что , представляет собой момент инерции сечения относительно оси z, можем последнюю формулу записать в виде

. (5.17)

Наконец, подставив формулу (5.17) в выражение (5.13), получим формулу для нормального напряжения при чистом изгибе

. (5.18)

Формула (5.17) в приведённом выводе была вспомогательной, однако она имеет и большое самостоятельное значение. Её можно трактовать как закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя 1/ρ) с действующим изгибающим моментом.

Произведение EJ носит название жёсткости сечения при изгибе и имеет размерность кНсм².

Рис.5.17

Формула (5.18) показывает, что величина σ линейно возрастает по мере удаления от нейтральной линии (рис.5.17). При этом напряжения постоянны по ширине сечения. При изменении знака изгибающего момента поменяется и знак напряжений (верхние волокна окажутся растянутыми, нижние – сжатыми).