6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
Для проверки прочности детали, испытывающей деформацию чистого сдвига, необходимо использовать теории прочности (см.п.3.7). Касательные напряжения на гранях элемента равны τ, допускаемое напряжение при растяжении – [σ].Как указывалось выше, главные напряжения при чистом сдвиге σ1 = τ, σ2 = 0, σ3 = – τ.
Составим условие прочности по четырём классическим теориям прочности:
а) по первой теории – теории наибольших нормальных напряжений в соответствии с формулой (3.41)
σIрасч= σ1≤ [σ].
Подставляем значение σ1и получаем:
τ= [σ], (6.9)
Правая часть формулы (6.9) представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге; то есть по первой теории прочности
[τ]I≤ [σ]; (6.10)
б) по второй теории – наибольших линейных деформаций в соответствии с формулой (3.44)
σIIрасч= σ1– ν (σ2+ σ3) ≤ [σ],
или τ– ν (0 –τ) ≤ [σ],
откуда
. (6.11)
Для металлов ν = 0,25 – 0,42. Следовательно, по второй теории прочности
[τ]II= (0,7 – 0,8)[σ]; (6.12)
в) по третьей теории – теории наибольших касательных напряжений в соответствии с формулой (3.48)
σIIIрасч= σ1– σ3≤ [σ]
или τ– (–τ) ≤ [σ],
откуда
. (6.13)
т.е. допускаемое напряжение при сдвиге по третьей теории прочности
[τ]III= 0,5[σ]; (6.14)
г) по четвёртой теории – энергетической в соответствии с формулой (3.50)
,
или
,
откуда
. (6.15)
Следовательно, допускаемое напряжение при сдвиге по четвёртой теории прочности
[τ]IV= 0,58[σ]. (6.16)
Отметим, что чистый сдвиг – это тот случай плоского напряжённого состояния, который легко осуществить в лабораторном эксперименте – достаточно испытать на кручение тонкостенную трубу. Опыты показали, что для пластичной и обычной конструкционной стали предел текучести при сдвиге составляет примерно 60% от предела текучести при растяжении
τт= 0,6σт.
Таким образом, для пластичных материалов наиболее подходят формулы (6.16) и (6.14), полученные на основании четвёртой и третьей теорий прочности.
6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
Полученные выше величины допускаемых напряжений применяют при расчётах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза (заклёпок, болтов, шпонок, некоторых сварных соединений).
Рассмотрим заклёпочные соединения. Если в XIXвеке единственным способом изготовления металлоконструкций (мостов, ферм и перекрытий зданий, котлов, трубопроводов, корпусов судов и прочих) был способ соединения деталей с помощью заклёпок, то в настоящее время заклёпки повсеместно вытеснены сваркой. Сварные соединения экономичнее и технологичнее заклёпочных. В то же время заклёпочные обладают одним весьма существенным достоинством – они надёжнее сварных. Заклёпочные соединения никогда не разрушаются внезапно, поэтому периодический контроль позволяет обнаружить плохие заклёпки и вовремя заменить их. Существует целая отрасль современной техники, в которой применяются только заклёпочные соединения – это авиация. В железнодорожных мостах, испытывающих большие динамические нагрузки, сварка не применяется – детали соединяются на заклёпках или на болтах.
Рис.6.5
При расчёте заклёпочного соединения (рис.6.5,а) считают, что усилия между заклёпками распределены равномерно. Условие прочности на срез:
, (6.17)
где i– число заклёпок, в нашем примереi=8.
Нагрузка, приложенная к каждой заклёпке, помимо среза, вызывает смятие контактирующих поверхностей. Смятие – это пластическая деформация по поверхности контакта. Расчёт на смятие так же, как и расчёт на срез, проводят приближённо, поскольку закон распределения давления по поверхности контакта точно не известен. Если принять криволинейный закон распределения (рис.6.5,б), то максимальное напряжение смятия на цилиндрической поверхности будет
,
где Fсм– площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость:
Fсм=d∙δ.
Условие прочности на смятие имеет следующий вид:
. (6.18)
Допускаемое напряжение на смятие устанавливают опытным путём; обычно его можно принять равным [σсм] = (2 – 2,5)[σ-].
Учитывая, что заклёпки ослабляют листы, последние проверяют на растяжение в наиболее ослабленном сечении (рис.6.5,в):
, (6.19)
где m– число отверстий в ряду заклёпок; в нашем примереm= 2.
В соединении, показанном на рис. 6.5, силы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Эти силы стремятся не только срезать заклёпки, но и изогнуть их. Однако изгибающий момент мал, и вызванными им нормальными напряжениями можно пренебречь.
Болты, работающие на срез, рассчитываются аналогично заклёпкам.
а б в
г
Рис.6.6
Сварные соединения принято рассчитывать на срез или на растяжение. Наиболее распространены соединения встык и с помощью угловых, или валиковых, швов. Соединения встык применяются, когда листы находятся в одной плоскости. При толщине листов δ ≤ 8 мм кромки их не обрабатываются (рис.6.6,а); при δ = 8 – 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с одной стороны (V-образный шов, рис.6.6,б); при δ ≥ 20 мм кромки скашивают и заваривают листы с двух сторон (Х-образный шов, рис.6.6,в). Расчётную толщину шва принимают равной толщине листа δ, наплывы не учитываются. Рассчитываются соединения встык на растяжение или сжатие по формуле
, (6.20)
где ℓ = b– 10 мм – расчётная длина сварного шва (10 мм – длина непровара по краям шва);
b– ширина листа;
[σЭ] – допускаемое напряжение для материала электрода на растяжение.
Соединения с помощью угловых швов делают, когда листы параллельны или перпендикулярны. Сюда относятся соединения внахлёстку (рис.6.7,а), с накладками (рис.6.7,б) и в тавр (рис.6.7,в). Если направление углового шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов называется лобовым (рис.6.7,а); если параллельно- фланговым (рис.6.7,б).
а б в
Рис. 6.7
Рассмотрим расчёт фланговых и лобовых (торцевых) швов, то есть таких швов, которые должны сопротивляться действию касательных напряжений. Ясно, что фланговые швы работают на срез в биссекторных сечениях (рис.6.8). Считается, что касательные напряжения равномерно распределены по площади сечения АА1В1В. Площадь среза каждого шва
hℓ = 0,7δℓ
Фланговые швы всегда ставят парами. Условие прочности на срез принимает вид (с учётом возможного непровара по краям шва)
, (6.21)
где m– число швов;
[τЭ] – допускаемое напряжение на срез материала электрода.
Для соединения с двумя накладками, показанного на рис.6.7,б, m= 4 и δ = δ1. Для соединения внахлёст, показанного на рис.6.8,m= 2.
Рис.6.8
При расчёте лобовых швов пренебрегают составляющей нормальных напряжений на том основании, что сопротивление стали срезу ниже, чем растяжению. Лобовые швы условно рассчитывают на срез так же, как и фланговые, предполагая, что касательные напряжения равномерно распределены по площади биссекторного сечения. Условие прочности (см. схему на рис.6.7,а):
. (6.22)
Отметим, что вследствие незначительной протяжённости материала шва в направлении действия силы лобовые швы являются жёсткими, поэтому разрушаются при малых остаточных деформациях и плохо сопротивляются действию циклических и ударных нагрузок. Фланговые швы – вязкие, разрушаются после значительных остаточных деформаций, поэтому они предпочтительнее лобовых.