§2.4. Момент инерции.

Момент инерции тела при вращательном движении является аналогом массы при его поступательном движении, а именно, служит мерой инертности тела, т.е. его способности сопротивляться изменению скорости. Из собственного опыта нам известно, что чем дальше вращающаяся масса от оси вращения, тем труднее ускорить или замедлить ее вращение. Момент инерции, как и масса, скалярная величина. Масса (и момент инерции) тела равна сумме масс (моментов инерции) всех его частей. По определению момент инерции тела, являющегося системой материальных точек, выражает формула:

I =m_ir_i² (2.4.1)

Здесь m_i - масса точки тела с номеромi, r_i – ее расстояние от оси вращения; суммирование ведется по всем точкам тела. Единица измерения момента инерции в СИ обозначается кг^.м². Инертность тела при вращении зависит от распределения его массы относительно оси вращения, так что одно и то же тело относительно разных осей вращения имеет разные моменты инерции. Для сплошного однородного тела, рассматриваемого как совокупность м.т., с точки зрения математики удобно суммирование свести к интегрированию. Пустьdm –масса физически малого элемента объемаdV ³, находящегося на расстоянииr от оси вращения, плотность вещества тела - (кг/м³), тогдаdm= dV, и момент инерции этого элемента массыdI = r²dm = r² dV. Формула для вычисления момента инерции сплошного тела примет вид:

(2.4.2)

Интегрирование проводят по всему объему тела, это обозначено ниже знака интеграла.

Приведем формулы моментов инерции некоторых тел, часто встречающихся в практике.

а) Обруч или тонкостенный цилиндрмассойm и радиусомR , вращающийся относительно своей оси симметрии.

I₀ =m_ir_i² = R²m_i = m R² (2.4.3)

б) Диск или сплошной цилиндрмассойm и радиусомR , вращающийся относительно своей оси симметрии.

(2.4. 4)

Попробуйте вывести формулу (2.3.4): для этого диск представьте составленным из тонких колец, вставленных друг в друга. Радиусы этих колец плавно изменяются от 0 до R.

в) Шар, вращающийся относительно своей оси (эту формулу нетрудно получить интегрированием, перейдя в сферическую систему координат):

(2.4.5)

г) Стержень длиной l, вращающийся относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его середину (получите эту формулу самостоятельно):

(2.4.6)

д) Теорема Штейнерапозволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, если известен момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела:

I=I₀+mb² (2.4.7)

Здесь I –момент инерции тела относительно рассматриваемой оси,I₀ - момент инерции этого же тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной рассматриваемой,b – расстояние между этими осями. Обратите внимание, что наименьший момент инерции тела относительно любых параллельных осей в случае, когда ось проходит через цент инерции. Самостоятельно получите формулу для момента инерции стержня, если ось вращения проходит через его коней и перпендикулярна стержню.