§ 1.9. Примеры

1.

Начало формы

Конец формы

Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано на графике. Угловое перемещение (в радианах) за 10 с движения равно …(2, 4, 6, 8)

Решение. Угловое перемещение (путь) на графике зависимости скорости от времени равен площади под графиком. В первые 6 с движения он равен площади треугольника с основанием 6 с и высотой 4 рад/с, а именно 12 рад. В следующие 4 с знак скорости изменился на противоположный, что указывает на изменение направления вращения, и пройденный за это время путь составил 4 рад. Ответ: 8 рад

2.

Начало формы

Конец формы

Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса с угловой скоростью, модуль которой изменяется с течением времени по закону. Отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 секунды равно …(8, 4, 1,2)

Решение. Согласно формуле(1.4.8) a_n= ²R=2^.2².2=16 м/с². Тангенциальное ускорение вычислим по формулам (1.2.24) и (1.4.2):ε=4t=8 рад/с²,a_=16 м/с².Ответ: 1

3.

Конец формы

Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении … (1,2,3,4)Решение. Точка соприкосновения диска с плоскостью, по которой он катится, является мгновенным центром вращения тела. В рассматриваемый момент времени она неподвижна, а остальные точки тела движутся по окружностям. Их радиусы равны расстояниям от мгновенного центра вращения. Линейная скорость точки, движущейся по окружности, направлена перпендикулярно радиусу (по касательной к траектории). Ответ:3.

Глава 2. Динамика

§2.1. Задача динамики. Динамические характеристики

Задача динамики – ответить на вопрос, как будет двигаться тело (найти его закон движения), если известно, каким внешним воздействиям оно подвергается, или, наоборот, найти, каким внешним воздействиям должно подвергаться тело, чтобы выполнялся заданный закон движения. Для теоретического решения такой задачи необходимо следующее: а) задать динамическое состояниетела, б) задатьвнешнее воздействие, в) составить и решитьуравнение динамики. Подтверждением справедливости теории является совпадение ее результатов с опытом.

Опыт показывает, что состояние м.т. определено, если известны ее положение в пространстве и скорость: радиус – вектор , вектор . Нам это кажется очевидным, однако понимание этого появилось только в эпоху Ньютона. Еще Аристотель удивлялся тому, что топор, приставленный к полену, не оставляет на нем даже следа, а топор, ударяющий полено, раскалывает его. Одно и то же положение топора соответствует разным его состояниям, потому что различаются его скорости. Поэтому неудивительно, что разные состояния в начальный момент ведут к разным результатам. Состояние а.т.т. при поступательном движении полностью определяется состоянием любой его материальной точки, т.е.и. При вращательном движении состояние тела задают аналогичные кинематические характеристики вращательного движения: угловое положение –φ и вектор угловой скорости - .

Закон природы, выраженный принципом инерции Галилея (см.§1.1), утверждает, что состояние свободного тела сохраняется. Его изменение происходит только при взаимодействии с другим телом. Мерой взаимодействия является сила - полярный вектор, имеющей точку приложения, модуль и направление. Вектор силыслужит мерой внешнего воздействия на материальную точку, а также на тело, движущееся поступательно. При вращательном движении тела результат воздействия зависит не только от приложенной силы, но и от того, где и как она приложена. Мерой воздействия на вращающееся тело является момент сил -. Вектор момента силы является аксиальным (осевым). При вращении тела относительно неподвижной оси векторнаправлен вдоль оси в соответствии с правилом правого винта, и как прочие аксиальные векторы (угловой скорости, углового ускорения), не привязан к конкретной точке оси.

Свойство тела сохранять свою скорость называется инертностью. Мерой инертности м.т. или поступательно движущегося тела является масса m. При вращении тела его инертность зависит не только от массы, но и от ее расстояния от оси вращения: чем дальше масса от оси, тем больше инертность тела, и тем труднее изменить его скорость. Мерой инертности вращающегося тела является момент инерцииI. Момент инерции одного и того же тела относительно разных осей вращения может иметь разные значения. В задачах динамики нередко вместо характеристики состояния - скорости, используют другую, более информативную, учитывающую инертность тела. Для материальной точки это импульс(его устаревшее название – количество движения), для вращающегося тела – момент импульса

Уравнение динамики, решение которого позволяет найти состояние тела в любой момент времени, основано на трех хорошо известных из школьного курса физики законах динамики Ньютона. Первый закон Ньютона констатирует, что само тело не может изменить свою скорость. Второй закон Ньютона указывает связь между изменением скорости тела и оказываемым на него внешним воздействием. Третий закон Ньютона констатирует, что действие одного тела на другое носит характер взаимодействия, и сила действия равна силе противодействия.