Кинетическая энергия

Поступательное движение (м.т.)

Пусть тело перемещается под действием силы. Элементарная работа dA =F_sds =F_sds. Применив второй закон Ньютона и определение тангенциального ускорения, получаем:Fs=ma_t=mdυ/dtи далее:dA =. Этот результат свидетельствует о том, что работа превращается в приращение некоторой величины, соответствующей данному состоянию тела. Эту величину называюткинетической энергией тела-E_к:

E_к= (3.5.1)

Кинетическую энергию можно выразить через характеристику состояния тела – импульс p=mv:

E_к=p²/2m (3.5.2)

Вращательное движение

Кинетическую энергию вращающегося тела можно найти как сумму кинетических энергий всех его точек: E_к =. Использовали формулу (1.7.1) связи линейной и угловой скоростей, о также формулу (2.4.1), указывающую определение момента инерции, получаемформулу кинетической энергии вращающегося тела:

E_к=(3.5.3)

На практике часто встречается качениетвердого тела – это вид движения, когда все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. При качении одна или несколько точек тела касаются поверхности, по которой катится тело, и в момент касания неподвижны. Это означает, что тело имеет мгновенную ось вращения, проходящую через эти точки и лежащую в плоскости, по которой катится тело. В любой момент времени движение тела можно считать вращением относительно такой мгновенной оси. Качение тела можно рассматривать как сумму двух движений: вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, и поступательного с линейной скоростью центра инерции. Кинетическая энергия катящегося тела складывается из двух частей:

(3.5.4)

Здесь υ₀ - скорость поступательного движения центра инерции, I₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела перпендикулярно плоскостям перемещения его точек.

Кинетическая энергия – энергия движения, она численно равна работе, которую может совершить тело до полной остановки. При перемещении тела из точки 1 в точку 2 работа внешней силы на этом пути A₁₂ равна изменению его кинетической энергии:

A₁₂=(3.5.5)

Для элементарного изменения состояния

dA=dE_к (3.5.6)

Потенциальная энергия

Существуют силы, работа которых не зависит от формы траектории, связывающей начальное и конечное положения тела.Такие силы называются консервативнымиили потенциальными. Поясним это рис. 13.Если тело переместится из точки 1 в точку 2 по траектории 1а2, сила совершит работу А_1а2; при перемещении по траектории 1б2 работа равна А_1б2. По определению консервативной силы А_1а2= А_1б2. Работа силы по замкнутому пути Ao ( например, 1а2б1) равна нулю. Действительно, Ao = А_1а2+ А_2б1= А_1а2 - А_1б2 = 0. Заметим, что при измении направления движения на противоположное (см. рис. 11) угол межде векторами силы и перемещения из острого превращается в тупой, при этом их косинусы отличаются только знаком. Это означает, что если при движении в одном направлении работа силы положительная, то при движении в противоположном направлении она отрицательная. Отсюда следует еще одно свойство консервативной силы – равенство нулю работы по любой замкнутой траектории.

Покажем, что из трех сил – тяжести, упругости и трения первые две консервативные.

Пусть на тело действует сила тяжести, и тело перемещается из точки 1 в точку 2 (рис.14). Вектор силы тяжести mи элементарное перемещениеds (для наглядности пренебрегли математической строгостью, нарисовав его) образуют уголa. Вычислим работу силы тяжести, учитывая, чтоds^.соsa=- dy:. Действительно, работа силы тяжести выражается через характеристики состояния тела в его начальном и в конечном положениях - координатy₁ и y₂. Из этой же формулы следует, что работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю –сила тяжести консервативная.

Аналогичный результат дает сила упругостиF = -кх:, что доказывает ее консервативный характер.

Сила трения неконсервативная. Действительно, при любом направлении движения эта сила направлена против движения, ее работа на любом элементарном перемещении отрицательна, следовательно, работа на замкнутом пути не равна нулю.

Работа консервативной силы равна уменьшению некоторой величины, являющейся функцией состояния тела и измеряющейся в СИ в джоулях. Эту функцию называют потенциальной энергией Е_п, разность ее значений в начальном -1 и в конечном – 2 состояниях тела равна работе силы при перемещении тела по любой траектории, связывающей два его положения:

А₁₂=Е_л1 – Е_п2 (3.5.7)

При элементарном (бесконечно малом) изменении состояния тела

dA=-dE_п (3.5.8)

Оказывается, что мы уже вывели формулы потенциальной энергии. Напомним, что потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, зависящая от взаимного положения тел. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести землизависит от его высотыhнад горизонтальным уровнем, принятым за нулевой, и выражается формулой:

E_п =mgh (3.5.9)

Для упругой деформации за нулевой уровень потенциальной энергии естественно принять недеформированное состояние, тогда формула потенциальной энергии упруго деформированного тела имеет вид:

Е_п=(3.5.10)