получает право на m выстрелов. Какова вероятность поражения цели? (См. пример 2.34 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.34.

2.7. Простейший (пуассоновский) поток событий

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Например, телефонные вызовы, автомобили, подъезжающие к перекрестку, выходы из строя некоторого устройства, покупатели, приходящие в магазин и т.д. Для наглядности можно изображать моменты наступления событий точками на оси времени. События могут распределяться не только во времени, но и в пространстве (например, опечатки в тексте, капли дождя на асфальте, пожары в городе и т.д.).

62

расположения на оси времени и от требований, приходящих вне этого интервала.

может либо наступить одно событие, либо ни одного события не поступит. Остальными возможностями можно пренебречь. В этом случае говорят, что поток событийординарен, т.е. события происходят по одному, а не группами. Формально свойства 2 и 3 означают, что

P0 (Dt) =1 – mDt + о(Dt).

Построим математическую модель простейшего потока. Прежде всего из определения простейшего потока выведем формулы для вероятностей Рi (t).

Чтобы не заниматься выводом формулы для каждой вероятности

для которой интересующие нас вероятности служат коэффициентами ее разложения в ряд по степеням z.

Выберем 0 < z <1, и будем считать, что каждое событие потока независимо от других может оказаться«красным» с вероятностью z. Такая условная раскраска событий позволяет придать вероятностный смысл, что упрощает дальнейшие рассуждения по выводу для нее дифференциального уравнения

можно считать вероятностью того, что за время t поступило два события и они оба «красные». В свою очередь, zn Pn (t) можно расценивать как вероятность того, что за время t поступило n «красных» событий. Это дает

63

возможность понимать F(t, z) как полную вероятность того, что за время t

чего равна F(t + Dt, z), если за время t наступят только «красные» события, вероятность чего равна F(t, z) , и за время Dt либо не произойдет событий, вероятность чего равна P0 (Dt), либо произойдет одно событие и оно будет

Возможностью прихода двух или более требований за малое время Dt пренебрегаем в силу ординарности потока. Последнее равенство с учетом (2.7.1) можно переписать в форме

F(t + Dt=, z) F(t, z)[1 – mDt + mDtz + о(Dt)],

или

F(t + Dt, z) – F(=t, z) F(t, z)m(z -1)Dt + о(Dt) .

После деления обеих частей равенства наDt и перехода к пределу при Dt ® 0 получаем уравнение

F¢t =m(z -1)F,

причем F(0, z) =1, так как Р0 (0) =1, а все Рk (0) = 0, k =1,2,3,K .

Решением этого дифференциального уравнения при указанном начальном условии является функция

F(t, =z) exp[m(z -1)t].

Разложение этой функции в ряд по степеням z имеет вид

F(t, z=) exp(-mt)exp(mtz) =

=exp(-mt)(1 + mtz + (mtz)2 / 2!+¼+ (mtz)k / k!+¼) =

=e-mt + mte-mt z + z2 (mt)2 e-mt / 2!+K+ zk (mt)k e-mt / k!+K .

Сравнение с записью (2.7.2) приводит к выводу, что

Величина m называется интенсивностью простейшего потока. Она равна среднему числу событий, происходящих в единицу времени. Среднее число событий, происходящих за время t, равно mt. Полученный результат можно не строго сформулировать следующим образом. Если события приходят независимо друг от друга и по одному и известно, что на данный интервал времени в среднем приходитсяl событий, то вероятность появления на этом интервале равно k событий равна

64

интенсивности близка по своим свойствам к пуассоновскому потоку(см.

рис. 2.7.2).

»Простейший поток

Рис. 2.7.2

Именно такими суммарными потоками являются потоки вызовов на телефонную станцию, поток отказов сложных систем и. т.д.

Замечание. Если в произвольном потоке требований каждое требование отбрасывать с определенной вероятностью, то после такого многократного «прореживания» получается поток близкий к простейшему.

Пример 2.35. Известно, что наборщик в среднем допускает одну ошибку на две страницы текста. В набранной книге взяли наугад страницу. Какова вероятность того, что на данной странице содержится более одной опечатки? Какова вероятность того, что на данных четырех страницах содержится ровно одна опечатка?

Решение. Опечатки появляются по одной и независимо друг от друга. Условия простейшего потока приблизительно выполняются, и формула Пуассона приблизительно верна. На одну страницу приходится в среднем l =1 / 2 опечатки. Поэтому вероятность того, что на данной странице содержится более одной опечатки, равна

Для четырех страниц среднее число опечаток l = 2. Поэтому

65