5. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕРЕСНЫЕ ЗАДАЧИ

Поток требований называется простейшим, если интервалы времени между последовательными моментами прихода требований независимы и имеют показательный закон распределения.

Заметим, что в показательном законе распределения наиболее вероятны малые значения случайной величины. Это означает, что часто будут реализовываться малые интервалы между требованиями и редко–– большие. Для наблюдателя это будет выглядеть как локальные сгущения

Действительно, случайные события, даже будучи независимыми, имеют свойство группироваться во времени.

Задача 5.1 (о времени ожидания). Отметим одну особенность простейшего потока, связанную с «парадоксом времени ожидания». Предположим сначала, что к остановке с равными интервалами подходят автобусы (поток автобусов детерминированный). Пассажир в случайный момент времени приходит на остановку и ожидает ближайшего по времени автобуса. Каково среднее время ожидания пассажира?

Решение. Пусть интервал между автобусами равенt. Так как равновозможно любое значение времени ожиданияХ в пределах от 0 до t, то среднее время ожидания равно

последовательно приходящими автобусами имеют показательный закон

357

Пассажир может с вероятностью1/5 попасть на череду коротких интервалов между автобусами и среднее время ожидания для него будет равно 1 мин. На большой интервал можно попасть с вероятностью5/6 и тогда среднее время ожидания будет25 мин. Поэтому среднее время ожидания равно 1×1 / 6 + 25 ×5 / 6 126= / 6 21= мин. Минимальным среднее

время ожидания будет при регулярном потоке автобусов при равных интервалах между ними.

случайной точкой t на оси времени t. Пусть в потоке событий интервалы между соседними событиями независимы и имеют одинаковые функции плотности вероятности f (t) (такие потоки называют потоками Пальма).

Найдем плотность вероятности f * (t) длины того интервалаТ * , на

который попала случайная точкаt. Понятно, что шансы точкой попасть в длинный интервал больше, чем в короткий. Поэтому сам факт попадания случайной точки t на интервал меняет его распределение. Рассмотрим

большой серией изn интервалов. Среднее число интервалов, имеющих длину в пределах отt до t + dt , равно n f (t)dt , а средняя длина суммы

358

таких интервалов равнаtn f (t)dt. Средняя же длина всехn интервалов

¥

равна nmt = nòt f (t)dt . Поэтому

Например, для показательного закона распределения интервалов(для

рис. 5.1. Если для показательного закона распределения наиболее вероятны малые значения, то для f * (t) вероятности смещены в сторону больших значений.

Рис. 5.1

Пусть F (x) и f (x) соответственно функция распределения и функция плотности вероятности интервала X между моментами появления соседних событий. Предположим, что с момента появления последнего события уже прошло времяt. Найдем распределения оставшейся части интервала, которую обозначим через R:

359

Задача 5.2 (о наилучшем выборе). Имеется n однородных предметов различного качества, причем заранее о предметах ничего не известно. Предметы можно выбирать наугад по одному и обследовать. Если качество предмета нас не устраивает, о выбираем очередной предмет, но к отвергнутому предмету вернуться нельзя. Какой стратегии следовать, чтобы вероятность выбрать наилучший предмет была наибольшей? (Эту

предметов и отвергнем их, не взирая на качество. Затем остановим свой

находится среди первых m предметов (последнее условие гарантирует нам, что дело дойдет до выбора (k +1) -го предмета.). Тогда

n-1

P(выбрать наилучший предмет) = åP( Ak ) =

360

Итак, оптимальная стратегия рекомендует просмотреть примерно треть предметов (точнее, [n / e]) и затем остановить свой выбор на первом предмете лучшем, чем все ранее просмотренные. Не исключено, что

Задача 5.3. Вы принимаете участие в телеигре, и Вам предлагают выбрать одну из трех шкатулок, в одной из которых лежат деньги. Вы выбрали некоторую шкатулку (например, шкатулку № 1). Ведущий после этого открывает одну из двух других шкатулок(например, шкатулку № 3), показывает, что она пуста, и спрашивает: не желаете ли Вы изменить свое решение и выбрать шкатулку №2? Следует ли Вам менять свое решение или нет?

Решение. Будем полагать, что ведущий знает, где деньги лежат, и поэтому открывает именно пустую шкатулку. Насчет шкатулки с деньгами есть три одинаково вероятных предположения: Bi –– деньги находятся в i-й шкатулке, P(Bi ) =1 / 3, ( i = 1, 2,3).

Событие A состоит в том, что Вы выбрали шкатулку № 1, а ведущий открыл шкатулку №3. При пустой третьей шкатулке в силу симметрии

361

P(B1 / A) = P(B2 / A) =1 / 2.

Итак, игроку предварительно следует осведомиться у ведущего, знает ли он где деньги лежат. При положительном ответе следует изменить свой выбор. Если ведущий не знает, в какой шкатулке деньги, то менять выбор смысла нет.

Задача 5.4. Производитель некоторой продукции затеял рекламную

чтобы найти j-й жетон. Тогда общее число купленных пакетов

N=1 + X 2 +X 3 +K+ X n ,

Аматематическое ожидание этого числа равно

M (N ) =1 + M ( X 2 ) + M ( X 3 ) +K+ M ( X n ).

Вероятность того, что для поиска второго жетона придется вскрыть k пакетов, равна

KKKKKKKKK

362

Например, при n = 5 имеем M (N ) =137 / 12 »11, 4.

В заключение можно заметить, что при большихn можно воспользоваться асимптотической формулой

363