Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tip_rasch_ver.pdf

Скачиваний:

693

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

3.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

2.17. Производящие функции. Преобразование Лапласа. Характеристические функции

2.17.1. Производящие функции

Пусть дискретная случайная величинаХ имеет закон распределения Р( Х = i) = pi , i = 0,1, 2,¼, т.е. принимает только целые неотрицательные значения. Такого типа закон распределения имеет, например, число требований в очереди для систем массового обслуживания с ожиданием, число выходов из строя некоторого устройства за время эксплуатации, число телефонных звонков на телефон фирмы и т.д.

Функция

	¥
K (z) = åzk pk					(2.17.1)
	k =0
называется производящей функцией этого распределения.
¥	k -1		¢	¥
Заметим, что K¢(z) = åk z	k -1	pk	¢	= åk pk	= М ( X ).
Заметим, что K¢(z) = åk z		pk	и K (1)	= åk pk	= М ( X ).
k =0				k =0
Напомним:
1) Начальным моментом порядкаk называется математическое
ожидание k-й степени случайной величины
n = M ( X k ).
k
Само математическое ожидание				является	начальным моментом
первого порядка.

2) Центральным моментом k-го порядка называется математическое

ожидание	k-й	степени	соответствующей		центрированной случайной
величины			o
			o
		mk	M ( X=)k	M [ X=– M ( X )]k .
Дисперсия является центральным моментом второго порядка
	o
m2	M ( X )2	M [ X= – M ( X )]2		D( X=).	=

3) Асимметрией распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения случайной величины: As = m3 / s3.

Если распределение симметрично, то As = 0. На рис. 2.17.1 слева (в качестве примера закона равпределения с положительной асимметрией) изображен многоугольник распределения для биномиального закона

распределения при n = 6 и	P( A) = p =1 / 3 .	В	правой части	рис. 2.17.1
приведен пример закона	распределения	с	отрицательной	асимметрией
(биномиальный закон при n = 6 и P( A) = p = 3 / 4 ).

159

Рис. 2.17.1

4) Для нормального закона распределенияm4 /s4 = 3 . Безразмерный

m4
коэффициент Ek = s4	- 3	называется эксцессом. Этот	коэффициент

характеризует «островерхость» распределения в сравнении с нормальным законом распределения. Например, если говорить о функциях плотности вероятности, то при Ek > 0 график функции плотности вероятности более островерхий, чем график кривой нормального распределения(см. левую часть рис 2.17.2). При Ek < 0 график плотности вероятности имеет более плоскую вершину, нежели нормальная кривая при тех же математическом ожидании и дисперсии (см. правую часть рис. 2.17.2).

Рис. 2.17.2.

Через производящую функцию можно выразить и другие начальные и центральные моменты случайной величины. Выразим через производящую функцию, например, дисперсию. Так как

K¢¢(z) = åk (k -1) zk -2 pk ,

k =0

то

160

¥		¥				¢¢	¢
K¢¢(1) = åk	2	pk - åk pk = M ( X	2	) – M ( X ) и M ( X	2	¢¢	¢
K¢¢(1) = åk		pk - åk pk = M ( X		) – M ( X ) и M ( X		) = K (1)	+ K (1).(2.17.2)
k =0		k=0

Сформируем в правой части последнего равенства дисперсию. Для этого прибавим и отнимем квадрат математического ожидания:

K¢¢(1) = M ( X 2 ) – [M ( X )]2 +[M ( X )]2 – M ( X ).

Величина M ( X 2 ) – [M ( X )]2 равна дисперсии. Поэтому

¢¢

(2.17.3)

D( X ) = K (1) – [K (1)]

+ K (1).

Аналогично

¢¢¢

z=1

= åk (k -1)(k - 2) z

k -3

K (Z )

k =0

z =1

= åk3 pk - 3åk 2 pk + 2åkpk .

k =0

Итак, при z =1 имеем

¢¢¢

)

- 3M ( X

)

+ 2M ( X ),

K (1) = M ( X

откуда

M ( X

¢¢¢

- 2M ( X ),

)

= K (1) + 3M ( X

а с учетом (2.17.2)

M ( X

¢¢¢

¢¢

¢¢¢

¢¢

) = K (1) +

3[K (1)

+ K (1)]

2K (1)=

K (1) +

3K (1)

+ K (1). (2.17.4)

Пусть

M ( X ) = m.

Рассмотрим модифицированную

производящую

функцию

k -m

K (z) =

åz

= åz

pk .

k =0

С помощью этой функции можно вычислять сразу центральные моменты случайной величины. Например,

K%¢(z)

K%¢¢(z)

K%¢¢¢(z)

z=1

(k - m)=zk -m-1 p

z=1 å

- m)=p

- m =

p m - m = 0;

å k

k =0

= k 0

k 0

z=1 = å(k - m)(k - m -1) zk -m-2 pk

z=1 =

k =0

= å(k - m)2 pk - å(k - m) pk = D( X );

k =0

z=1 = å(k - m)(k - m -1)(k - m - 2) zk -m-3 pk

z=1 =

k =0

= å(k - m)3 pk - 3å(k - m)2 pk + å(k - m) pk =

	k =0	=k 0	=k 0
¥	¥		o	o

= å(k - m)3 pk - 3å(k - m)2 pk =M ( X 3 ) - 3M ( X 2 ),

k =0 k =0

161

откуда

M ( X 3 ) = K%¢¢¢(z)

o	%¢¢¢	%¢¢
2			(2.17.5)
z=1 + 3M ( X=)	K (1)	+ 3K (1).

Пример 2.90.1. Пусть Х имеет пуассоновский закон распределения:

	lk
Р( Х = k) =		e-l , где l > 0 , а k = 0,1, 2,3,¼ .

	k!

Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и коэффициент асимметрии этой случайной величины.

Решение. Производящая функция пуассоновского распределения имеет вид

-l

-l ¥

(lz)k

-l

l( z-1)

К (z) = å

e= z

e =å

k !

k =0

k !

l( z-1)

¢¢

l( z-1)

. Поэтому

Заметим, что К (z) =l e

и К (z) = l

l и, в соответствии с (2.17.3),

М ( X ) = =K (1)

¢¢

– l

+ l = l.

D( X ) = K (z) –

[K (1)] + =K (1)

Для вычисления коэффициента асимметрии составим модифицированную производящую функцию. Так как М ( X ) = l , то

%	1		l( z-1)		-l		l( z-1)		l( z-1) - lln z
K (z) =	zl	e		= z		e		= e		.

Тогда

K%¢(z)

K%¢¢(z)

=æçl - l ö÷el( z-1)-lln z ; è z ø

	æ	l			æ	l ö2 ö			l( z-1)
z=1	= ç			+	ç	l - =	÷	÷e
			z
	ç					z		÷
	è z				è		ø	ø

-lln z	l;
z=1

%¢¢¢		= e	l( z-1)-lln z	é	2l		l
			l( z-1)-lln z	é	2l		l

K (z)	z=1			ê- z2		+ 3 z2
K (z)	z=1			ê- z2		+ 3 z2
				ê
				ë

Поэтому по формуле (2.17.5) имеем

æ	l ö		æ	l ö2 ù			-2l.
çl -		÷	+ çl - = ÷		ú

è	z ø		è	z ø	ú
					û	z=1

%¢¢¢

%¢¢

M ( X

-2l + 3l = l.

) = K (1)

3=K (1)

В итоге A =

l l

Ответ. М ( X ) = l,

D( X ) = l,

A =

Пример 2.90.2. Пусть Х имеет закон распределения

162

(

2p2q

3p2q2

4p2q3

5p2q4

(k +1) p2qk

Это частный случайотрицательного биномиального

распределения или

распределения

Паскаля с

параметрами 2

и p).

Требуется найти M ( X ) ,

D( X ) и коэффициент асимметрии As.

Решение. Составим производящую функцию

К (z) = p2 + 2 p2qz + 3 p2q2 z2 + 4 p2q3 z3 +K p2 (1=+ 2qz + 3q2 z2 + 4q3 z3 +K).

Для вычисления суммы ряда в скобке рассмотрим сумму ряда

S (x) =1 + 2x + 3x2 + 4x3 +K,

(2.17.6)

который абсолютно сходится при | x |<1. Легко видеть,

что нас интересует

S (qz). Проинтегрируем

почленно

ряд(2.17.6) внутри

его

области

сходимости:

òS (t) dt = ò(1 + 2t + 3t2 + 4t3 + ...)=dt

x + x2 + x3 + x4 + ... =

1 - x

последней

строке

мы

воспользовались

формулой

суммы

бесконечной убывающей прогрессии:

b + bq + bq2 + bq3 +K=

- q

æ x

ö¢

Отсюда S (x) = ç

òS(t) dt=÷

=÷

S (qz) =

. Откуда

- x)

(1 - qz)

1 - x ø

К (z) =

(2.17.7)

(1 - qz)2

Воспользуемся

теперь

производящей

функцией(2.17.7)

для

вычисления числовых характеристик случайной величины X:

2 p2q

К (z)

К (1)

M ( X );

(2.17.8)

(1 - qz)3

(1 - q)3

¢¢

6 p2q2

¢¢

6 p2q2

6 p2q

6q2

M ( X

) – M ( X ),

К (z)

(1 - qz)4

К (1)

(1 - q)4

откуда следует, что

6q2

6q2 + 2 pq

M ( X

)

¢¢

(2.17.9)

= К (1) + К (1)=

По формуле (2.17.3)

ö2

D( X ) = K

¢¢

6q2

2q2 +

2 pq

(1) – [K (1)]

+ K (1)

163

2q(q + p)

, s(X) =

/ p.

24 p2q3

24 q3

¢¢¢

K (Z ) =

(1 - qz)5 , K (Z )

z=1 =

(1 - q)5 =

p3 .

По формуле (2.17.4) вычисляем

M ( X

) = K

¢¢¢

¢¢

24 q3

6q2

24 q3

+18 p q2 + 2 q p2

+ 3 p2 +

(1) + 3K (1)

+ K

(1)=

Так как

=M {X 3 - 3M ( X 2 )M ( X ) + 3M ( X )[M ( X )]2 -

M ( X 3 ) = M [ X – M ( X )]3

-[M ( X )]3} M ( X= 3 ) - 3M ( X 2 )M ( X ) + 2[M ( X )]3,

то с учетом (2.17.8) и (2.17.9) имеем

æ 2q ö3

o 3

24 q3 +18 pq2 + 2 qp2

6q2

+ 2 pq

M ( X =)

+ 2

è p ø

2q(2q2 + 3 pq + p2 )

2q(2 - p)

Учитывая это получаем значение коэффициента асимметрии

A =

2q(2 - p) p3

2 - p 1 + q

p3 2q 2q

Ответ. M ( X ) =

;

D( X ) =

;

A =

+ q

Задача 2.90.1. В вариантах1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27:

случайная величина Х имеет геометрический закон распределения:

Р( Х = k)	k
	pq=, где p + q 1, k = 0,1,2,3,=¼

(Х –– это, например, число независимых опытов до первого появления события, если вероятность появления события в одном опыте равнаp, причем опыт, в котором событие появилось, не считается).

В вариантах 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28: случайная величина Х имеет геометрический закон распределения:

Р( Х = k) pk q=, где p + q 1, k = 0,1, 2,3,=¼

(Х –– это, например, число независимых опытов до первого непоявления события, если вероятность появления события в одном опыте равнаp, причем опыт, в котором событие появилось, не считается).

В вариантах 9, 10, 19, 20, 29, 30: случайная величина Х имеет закон распределения:

Р( Х = k) pq= k –1, где p + q 1, =k 1,2,3,= ¼

164

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.20154.5 Mб38Thermodynamics.pdf
#
31.03.201526.11 Кб11Tiitel.doc
#
13.03.2016782.91 Кб3tipar_po_empp мой.docx
#
31.03.20153.18 Mб316Tipovoy_po_ISU_2014.doc
#
31.03.201586.02 Кб32Tipovoy_raschyot_po_elektrostatike_IEE.doc
#
31.03.20153.46 Mб693Tip_rasch_ver.pdf
#
31.03.201528.16 Кб11Titul_Razdatochnyy_material.doc
#
31.03.2015144.38 Кб22TPI_Zadania_14.doc
#
31.03.201588.06 Кб23tr1_dlya_enmi_2012.doc
#
31.03.20157.49 Mб8tr2(2014-1)gox.doc
#
31.03.2015825.55 Кб52tr3.pdf