Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tip_rasch_ver.pdf

Скачиваний:

687

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

3.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Исходные данные к задаче 2.51.

№	a	b	c	x1	x2	№	a	b	c	x1	x2
1	–1	2	3	–1/3	4/3	16	–3	–4	2	1/3	1
2	–2	8	–1	1	3	17	–2	–4/3	2/3	–1/3	2/3
3	–4	–6	0	–3/4	1/4	18	–3	3	0	1/2	3/2
4	–2	8	–2	1	3	19	–2	4/3	0	1/3	1
5	–2	4/3	–2/3	1/3	2/3	20	–3	4	–2	–1/3	2/3
6	–3	3	–2	1/2	3/2	21	–2	–8	0	–3/2	–1/3
7	–2	–8	2	–3/2	–1	22	–2	–4/3	0	–1/3	2/3
8	–4	6	2	1/4	3/4	23	–3	–4	1	1/3	1
9	–2	4/3	–1/3	0	2/3	24	–4	6	0	0	3/4
10	–3	4	–1	1/3	4/3	25	–3	4	0	–1/3	4/3
11	–3	–3	1	1/2	3/2	26	–2	8	–1	1	2
12	–2	8	0	1	3	27	–4	6	1	0	3/4
13	–4	–6	–2	–1/2	1/4	28	–2	–8	1	–3/2	–1
14	–3	–4	0	1/3	4/3	29	–3	3	0	1/2	3/2
15	–3	–3	2	–1/2	1/3	30	–4	–6	–1	–1/2	1/4

2.10.Асимптотика схемы независимых испытаний

2.10.1.Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа

При большом числе опытовn формула Бернулли (2.6.1) приводит к большому объему вычислений. Существуют приближенные формулы для вычисления вероятностей Pn (k), которые дают тем большую точность, чем больше число n.

Пусть k –– число появлений события A в n независимых опытах, в каждом из которых P( A) = p (0 < р <1). Тогда при достаточно большихn

(хотя бы несколько десятков) вероятность того,					что	в n независимых
опытах событие A ровно k раз, определяется формулой
	1	ì		(k - np)	2 ü
Pn (k) »		ï			ï
			exp í-	2npq	ý .	(2.10.1)

	2pnpq
		ï			ï
		î			þ

Эта формула составляет содержаниелокальной теоремы Муавра–

Лапласа. Для

вычисления

вероятностей

по формуле(2.10.1) удобно

пользоваться

таблицей

функцииj(t)

exp{= -t2 / 2} (см.

прил., табл.

П1). Использование

этой

функции

позволяет

записать

искомую

вероятность в виде

P (k) »

æ k - np ö

j ç

÷ .

npq

npq ø

Вероятность того,

что в n независимых опытах событиеA появится

от k1 до k2 раз, определяется формулой

P (k £ k £ k

æ k

- np ö

æ k - np ö

) » Fç

- Fç

÷ .

(2.10.2)

n 1

npq

npq ø

Эта

формула

составляет

содержаниеинтегральной

теоремы

Муавра–Лапласа.

Замечание. Правая часть формулы(2.10.1) соответствует функции плотности вероятности нормального закона распределенияN (np;npq). Формула (2.10.2) является формулой (2.9.2), записанной для нормального закона распределения N (np;npq).

Пример 2.52. Восемьдесят процентов приборов после сборки
нуждаются в регулировке. Какова вероятность						того, что среди 400
собранных за смену приборов в регулировке нуждаются: а) не менее 310; б)
не более 350; в) от 304 до 336?
Решение. Сборку каждого прибора можно считать независимым
испытанием с вероятностью появления события						равной = 0,8. Так как
число опытов велико, то можно воспользоваться интегральной теоремой
Муавра–Лапласа (2.10.2):
æ 400 - 400 ×0,8 ö				æ 310 - 400 ×0,8 ×0, 2 ö
а) Р400 (310;400) = Fç			÷	- Fç				÷ =

	400 ×0,8 ×0, 2				400 ×0,8	×0, 2
è		ø		è			ø

= F(10) + F(1, 25) =0,5 + 0,3944 = 0,8944 » 0,9;

б) Р

(0;350) = F

350 - 400 ×0,8

- F

0 - 400 ×0,8

400

400 ×0,8 ×0, 2

400 ×0,8 ×0,2

= F(3,75) + F(40)

0,=4999 + 0,5

0,9999=

»1;

в) Р

(304;336) = F

336 - 400 × 0,8

- F

æ 304 - 400 ×0,8 ×0,2

400

400 ×0,8 × 0,2

400

× 0,8

× 0,2

= F(2) + F(2) = 2F(2) = 0,9545.

Ответ. а) 0,8944 » 0,9 ; б) 0,9999 »1; в) 0,9545.

Задача 2.52.1. Вероятность того, что передаче по каналу связи сигнал из-за помех будет искажен, равна p. Оцените вероятность того, что

при независимой передаче n сигналов: а) от k1 до k2

из них будут искажены;

б) не

менее k1

из

них будут

искажены; в)

не

более k2

из

них

будут

искажены. (См. пример 2.52 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.52.1.

№

1	0,02	500	5	12	11	0,03	700	16	24	21	0,01	500	10	16
2	0,02	400	6	20	12	0,03	800	18	26	22	0,02	500	8	12
3	0,02	600	9	14	13	0,01	800	6	12	23	0,02	400	6	15
4	0,02	700	10	16	14	0,01	900	6	13	24	0,02	600	8	12
5	0.02	800	12	20	15	0,01	1000	8	14	25	0,01	900	7	10
6	0,02	900	14	20	16	0,01	1500	12	20	26	0,03	400	8	13
7	0,02	1000	15	22	17	0,01	2000	14	22	27	0,02	400	7	12
8	0,01	1000	8	14	18	0,01	1200	8	14	28	0,01	700	4	10
9	0,03	500	10	15	19	0,01	400	10	16	29	0,02	200	3	9
10	0,03	600	14	16	20	0,01	1600	12	18	30	0,01	300	3	8

Задача 2.52.2. Известно, что p процентов жителей нашего города поддерживают некоторое мероприятие. Какова вероятность того, что при опросе наугад n жителей не менее k из них выскажутся в поддержку мероприятия. (См. пример 2.52 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.52.2.

№	p	n	k	№	p	n	k	№	p	n	k
1	15	200	25	11	10	400	35	21	70	100	65
2	35	200	65	12	20	150	35	22	50	200	110
3	20	150	25	13	20	200	45	23	50	200	95
4	25	200	55	14	60	200	115	24	35	200	75
5	30	100	25	15	50	150	70	25	20	300	55
6	40	100	45	16	60	200	125	26	20	300	65
7	25	200	45	17	50	150	80	27	20	300	70
8	15	200	35	18	50	300	140	28	25	300	80
9	45	100	50	19	50	200	90	29	25	400	90
10	50	100	45	20	50	200	105	30	25	400	105

Пример	2.53.	В	страховой	компании	застраховано10000
автомобилей.	Вероятность		поломки любого автомобиля в результате
дорожно-транспортного		происшествия равна0,02. Каждый владелец
застрахованного автомобиля платит в год24 у.е. страховых и в случае
поломки автомобиля в результате аварии получает от компании1000 у.е.
Найдите вероятность		того,	что по истечении года работы компания
потерпит убытки от этого вида страховой деятельности.
Решение.	Страховой		сбор 10000с	владельцев	автомобилей
составляет 24 ×10000 = 240000			у.е. Компания потерпит убытки, если будет
предъявлено	более 240 исков по 1000			у.е. каждый.	Вероятность

поступления страхового иска от каждого автовладельца 0,02равна. Эксплуатацию каждого автомобиля в течение страхового срока можно считать независимым испытанием. Так как число испытаний велико

( n =10000 ), то можно воспользоваться интегральной							теоремой Муавра-
Лапласа. По формуле (2.10.2)
		Р10000 (240 £ k £10000)=		æ10000 -10000 ×0,02 ö
				Fç			÷ ––

					10000 × 0,02 × 0,98
				è	10000 × 0,02 × 0,98	ø
æ	240 -10 000 × 0,02		ö
-Fç		=	÷ F(700) – F(2,86) 0,5 –=0, 4979 0, 0021= .
ç	10 000 ×0,02 ×0,98		÷
è	10 000 ×0,02 ×0,98		ø

Ответ. 0,0021.
Задача 2.53. Медицинская страховка туриста стоит300			рублей. При
наступлении страхового	случая(травма, заболевание	и	т.).д турист
получает страховку m тыс.	рублей. Страховая компания	застраховалаn

туристов. Вероятность наступления страхового случая для каждого туриста равна p. Какова вероятность того, что страховая компания потерпит убытки

от этого вида страховой деятельности?
		Какова вероятность того, что доход компании												от	этого	вида
страховой				деятельности			превысит10k тыс. рублей в						вариантах 1–15,			и
превысит 5k в вариантах 16–30, где k –– номер варианта? (См. пример 2.53
и исходные данные.)
		Исходные данные к задаче 2.53.
	№		m		n	p	№	m	n	p	№	m		n	p
	1		20		2000	0,01	11	2000	0,025	4	21		20	4000	0,015
	2		20		3000	0,015	12	3000	0,01	4	22		25	4000	0,025
	3		25		2000	0,02	13	4000	0,015	2	23		20	5000	0,015
	4		25		3000	0,025	14	4000	0,02	1	24		25	5000	0,015
	5		20		4000	0,01	15	5000	0,025	4	25		20	2000	0,025
	6		25		4000	0,015	16	5000	0,01	4	26		20	3000	0,025
	7		20		5000	0,02	17	2000	0,02	4	27		25	2000	0,01
	8		25		5000	0,025	18	3000	0,01	5	28		25	3000	0,02
	9		20		2000	0,015	19	2000	0,02	5	29		20	4000	0,025
	10		20		3000	0,02	20	3000	0,015	5	30		25	4000	0,01

Пример 2.54. Вероятность попадания в цель при выстреле равна0,8. Сколько нужно запланировать выстрелов, чтобы с вероятностью большей 0,9 можно было получить не менее 30 попаданий.

Решение. Каждый выстрел считаем независимым опытом. Из условий задачи легко видеть, что число выстреловn должно быть

достаточно	большим ( n > 30 ). Поэтому	можно	воспользоваться
интегральной формулой Муавра–Лапласа (2.10.2):

æ	n - n ×0,8		ö		æ	30 - n ×0,8		ö
Pn (30 £ k £ n) » Fç				÷	- Fç				÷	> 0,9.	(2.10.3)

		n ×0,8 ×0, 2					n ×0,8 ×0, 2
è			ø		è			ø

Заметим, что

n - n ×0,8

n ×0, 2

/ 2

и при n > 30

величина

n × 0,8 × 0, 2

0, 4

n - n × 0,8

n / 2 > 2,74. Поэтому Fç

÷ > 0, 4969 » 0,5.

n ×0,8 ×0, 2

В итоге неравенство (2.10.3) можно переписать в виде

æ n × 0,8 - 30

Fç

÷ > 0, 4.

n ×0,8 ×

0, 2

F(1, 28) = 0, 4.

По таблице функции Лапласа находим, что

Так

как

функция

Лапласа

строго

возрас, таето

n ×0,8 -

>1, 28

или

0, 4 n

n – 0,64n -37,5 > 0. Откуда n > 6,4538, т.е. n > 41,65. Итак, n ³42.

Ответ. 42.

Задача 2.54. При разливе выплавленного металла вероятность получить годную отливку равнаp. Сколько нужно запланировать отливок, чтобы с вероятностью большеP после проверки получить не менееk годных отливок? (См. пример 2.54 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.54.

№	p	P	k	№	p		P	k	№	p	P	k	№		p	P	k
1	0,9	0,9	25	9		0,6	0,9	40	17	0,8	0,8	50		25	0,5	0,9	35
2	0,9	0,95	40	10		0,9	0,9	35	18	0,5	0,9	30		26	0,6	0,9	30
3	0,6	0,9	35	11		0,7	0,9	35	19	0,8	0,9	45		27	0,9	0,95	25
4	0,9	0,9	30	12		0,6	0,8	40	20	0,6	0,9	45		28	0,6	0,95	35
5	0,7	0,9	30	13		0,9	0,95	35	21	0,7	0,9	40		29	0,8	0,9	40
6	0,6	0,8	30	14		0,6	0,9	25	22	0,5	0,9	40		30	0,9	0,95	30
7	0,8	0,9	35	15		0,5	0,9	45	23	0,9	0,95	50		31	0,8	0,9	35
8	0,5	0,9	25	16		0,9	0,9	40	24	0,8	0,9	30		32	0,6	0,8	40
	Замечание.			При		значениях0,1 < p < 0,9					формула			Муавра–Лапласа

(2.10.2) дает приближение приемлемой точности, так как многоугольник распределения при большом числе опытов напоминает по форме функцию плотности вероятности нормального закона распределения (см. рис. 2.10.1, на котором указаны вероятности P8 (k) = C8k pk q8-k при разных значениях p).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.20154.5 Mб38Thermodynamics.pdf
#
31.03.201526.11 Кб11Tiitel.doc
#
13.03.2016782.91 Кб3tipar_po_empp мой.docx
#
31.03.20153.18 Mб316Tipovoy_po_ISU_2014.doc
#
31.03.201586.02 Кб32Tipovoy_raschyot_po_elektrostatike_IEE.doc
#
31.03.20153.46 Mб687Tip_rasch_ver.pdf
#
31.03.201528.16 Кб11Titul_Razdatochnyy_material.doc
#
31.03.2015144.38 Кб22TPI_Zadania_14.doc
#
31.03.201588.06 Кб23tr1_dlya_enmi_2012.doc
#
31.03.20157.49 Mб8tr2(2014-1)gox.doc
#
31.03.2015825.55 Кб52tr3.pdf

№	p	n	k	№	p	n	k	№	p	n	k
1	15	200	25	11	10	400	35	21	70	100	65
2	35	200	65	12	20	150	35	22	50	200	110
3	20	150	25	13	20	200	45	23	50	200	95
4	25	200	55	14	60	200	115	24	35	200	75
5	30	100	25	15	50	150	70	25	20	300	55
6	40	100	45	16	60	200	125	26	20	300	65
7	25	200	45	17	50	150	80	27	20	300	70
8	15	200	35	18	50	300	140	28	25	300	80
9	45	100	50	19	50	200	90	29	25	400	90
10	50	100	45	20	50	200	105	30	25	400	105

№	p	n	k	№	p	n	k	№	p	n	k
1	15	200	25	11	10	400	35	21	70	100	65
2	35	200	65	12	20	150	35	22	50	200	110
3	20	150	25	13	20	200	45	23	50	200	95
4	25	200	55	14	60	200	115	24	35	200	75
5	30	100	25	15	50	150	70	25	20	300	55
6	40	100	45	16	60	200	125	26	20	300	65
7	25	200	45	17	50	150	80	27	20	300	70
8	15	200	35	18	50	300	140	28	25	300	80
9	45	100	50	19	50	200	90	29	25	400	90
10	50	100	45	20	50	200	105	30	25	400	105

№	p	n	k	№	p	n	k	№	p	n	k
1	15	200	25	11	10	400	35	21	70	100	65
2	35	200	65	12	20	150	35	22	50	200	110
3	20	150	25	13	20	200	45	23	50	200	95
4	25	200	55	14	60	200	115	24	35	200	75
5	30	100	25	15	50	150	70	25	20	300	55
6	40	100	45	16	60	200	125	26	20	300	65
7	25	200	45	17	50	150	80	27	20	300	70
8	15	200	35	18	50	300	140	28	25	300	80
9	45	100	50	19	50	200	90	29	25	400	90
10	50	100	45	20	50	200	105	30	25	400	105