Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4653 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Tip_rasch_ver.pdf
Скачиваний:
693
Добавлен:
31.03.2015
Размер:
3.46 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

P(B) = 2 / 5 и события независимы. Пусть при выборе из первой урны белого шара, его перекладывают во вторую урну и только потом выбирают из нее шар. Оценить силу зависимости между событиями A и B.

Решение. Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся

формулой (2.14.6):

 

(2 / 3)(1 / 2) - (2 / 3)(2 / 5)

 

 

 

1

 

 

 

 

rAB

 

 

 

 

 

» 0, 29.

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 / 3)(1 / 3)(2 / 5)(3 / 5)

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что в случае добавлении не одного, а двух белых шаров во

вторую урну этот коэффициент равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

=

(2

/ 3)(4 / 7) - (2 / 3)(2 / 5)

» 0, 49.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

(2 / 3)(1 / 3)(2 / 5)(3 / 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

1

 

 

» 0,29.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.86. В первой урне n1 белых и n2

 

черных шара, а во второй

урне их соответственноm1 и m2. Из первой урны извлекают наугад два шара и перекладывают их во вторую урну. После этого из второй урны извлекают один шар.

Пусть Ai означает, что среди перемещенных во вторую урну шаров ровно i белых ( i = 0,1, 2 ). Обозначим через B факт выбора белого шара из

второй урны. Найдите коэффициенты корреляции между

каждым из

событий Ai и событиемB. (См. пример 2.86; величины n1, n2,

m1 и m2

возьмите из исходных данных к задаче 2.14.)

 

2.15. Функциональные преобразования двухмерных случайных величин

Пусть ( X ,Y ) и (U ,V ) –– двумерные случайные величины, причем

U = j1=( X ,Y ), V j2 ( X ,Y ),

(2.15.1)

где функции j1 и j2 непрерывно дифференцируемы и отображение (2.15.1) взаимно однозначно, т.е. существуют функции y1 и y2 такие, что

Если

( X ,Y ) , а g (U ,V ) , то

¶y1

где I = ¶yu2

u

X = y1 (U ,V ) и Y = y2 (U ,V ).

f (x, y) –– функция плотности вероятности случайного вектора (u, v) –– функция плотности вероятности случайного вектора

g(u, v) = f [ y1(u,v), y2 (u, v)] | I |,

(2.15.2)

¶y1

v . ¶y2

v

152

 

Пример 2.87. Случайный вектор ( X ,Y ) имеет плотность вероятности

 

 

 

 

 

 

ì2exp(-2x - y)

при x ³ 0, y ³ 0;

 

 

 

 

 

f (x, y) = í

при остальных (x, y).

 

 

 

 

 

 

 

 

î0

 

 

 

 

 

 

Найти плотность вероятности случайного вектора (U ,V ) , если

 

 

 

 

 

 

 

 

U = X – Y и V = X + Y.

 

 

(2.15.3)

 

Решение. Найдем обратное к (2.15.3) преобразование:

 

 

 

 

x = y1 (u,v) =0,5 (u + v),

y

=y2 (u, v)

=0,5(v – u).

 

 

 

Заметим,

что

из

условия

 

неотрицательностиx и

y

следует:

v ³ - u,

v ³ u, v ³ 0. Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¶y1

 

 

¶y1

 

 

 

0,5 0,5

 

= 1 / 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

 

 

u

 

 

 

 

v

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¶y2

 

 

¶y

2

 

 

 

-0,5 0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектора(U ,V ) , в

то

функция

плотности

 

 

вероятности

 

 

случайного

соответствии с формулой (2.15.2), имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

g(u, v) = 2exp[-2 ×0,5(u + v) – 0,5(v - u)] ×1/ 2

=exp[-0,5(u + 3v)].

 

 

Ответ. g(u,v) = exp[-0,5(u + 3v)] при v ³ -u,

v ³ u,

v ³ 0 и g(u,v) = 0

при остальных (u,v).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.87. Случайный вектор ( X ,Y ) имеет плотность вероятности

 

f (x, y) =

ìab exp(-ax - by)

при x ³ 0,

y ³ 0,

a > 0,

b > 0;

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î0 при остальных (x, y).

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

плотность

 

 

вероятности

случайного

вектора(U ,V ) ,

если

U = exp( X / c) и V = cX +Y . (См. пример 2.87 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.87.

№ a b c № a b c № a b c № a b c № a b c

1

1

2

1

7

3

1

1

13

1

2

3

19

3

2

3

25

1

4

1

2

2

1

2

8

3

2

2

14

2

2

3

20

2

3

3

26

1

1

4

3

1

2

2

9

2

3

2

15

3

3

1

21

4

1

1

27

1

2

4

4

2

2

1

10

3

2

1

16

3

3

2

22

4

2

1

28

2

1

4

5

2

2

2

11

2

2

3

17

3

1

3

23

4

1

2

29

1

2

4

6

2

3

1

12

1

3

2

18

1

3

3

24

4

2

2

30

3

1

4

Пример 2.88. Случайные величиныX и Y независимы и имеют нормальные законы распределения с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями s2:

153

f (x) =

1

ì

x

2

ü

 

f

 

( y) =

1

ì

y

2

ü

exp í-

 

ý

;

 

 

exp í-

 

ý.

 

 

2s2

 

 

 

 

2s2

1

s 2p

î

þ

 

 

2

 

s 2p

î

þ

Пусть X и Y декартовы координаты случайного вектора( X ,Y ) . Производится переход к полярным координатам по формулам

 

 

 

 

x = r cos j,

y = r sin j.

 

 

 

 

 

 

(2.15.4)

Требуется найти

функцию

плотности

вероятности случайного

вектора (r;j) и функции плотности вероятности компонент этого вектора

r и j.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Так

как X

и Y

независимы, то плотность

вероятности

случайного вектора ( X ,Y ) имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y) =

 

 

1

 

 

 

ì

x

2

+ y

2 ü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

í-

 

 

ý..

 

 

 

 

 

 

2ps2

 

 

2s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

þ

 

 

 

Якобиан преобразования (2.15.4) равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

cos j

 

- rsin j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

 

¶r

 

¶j

 

 

 

 

r,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= =

 

y

 

 

sin j

 

 

 

 

rcos j

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¶r

 

¶j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по формуле (2.15.2) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(r,j)=

f [x(r, j); y(r,j)]=| I |

 

 

r

ì

r2

ü

 

 

 

 

exp í-

 

ý.

(2.15.5)

2ps2

2s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

þ

 

Плотность вероятности (2.15.5) позволяет вычислить маргинальные плотности вероятности. Плотность распределения величины r

 

p/2

 

r

 

 

ì

 

r2

 

üp/2

 

r

ì

r2 ü

 

 

g (r)

ò

g(r=, j)dj

 

 

exp=

í

-

 

 

ý ò

dj

 

 

exp= -

 

 

ý

,

r ³ 0.

 

2

 

2

 

2

 

2

1

 

2ps

 

 

2s

 

s

í

2s

 

 

 

0

 

 

 

î

 

 

þ 0

 

 

î

 

þ

 

 

Это распределение известно как распределение Релея(Rayleigh distribution). График его плотности вероятности для нескольких значений параметра s приведен на рис. 2.15.1.

Рис. 2.15.1

154

Плотность распределения случайной величины j:

¥

1

¥

r

ì

r

2

 

ü

1

 

g2 (j)= òg (r,j) dr =

ò

 

 

exp í-

 

 

ý dj =

при jÎ[0,2p].

2p

2

2s

2

2p

0

0

s

î

 

þ

 

Это равномерное распределение на отрезке [0, 2p]

 

 

 

 

 

r

ì

r2

ü

r

ì

r2

ü

 

Ответ. g(r,j)

 

exp=í-

 

ý; g(r)=

 

exp í-

 

ý,

r ³ 0;

2ps2

2s2

s2

2s2

 

î

þ

î

þ

 

g(j) 1=/ 2p при jÎ[0,2p].

Задача 2.88.1. Случайные величиныX и Y независимы и имеют показательный закон распределения с функциями плотности вероятности соответственно

 

 

f (x)

= l e-lx , x ³ 0 и =f

2

( y) l e-ly , y ³ 0.

 

 

1

 

 

 

 

 

Полагаем X и

Y

декартовыми

координатами случайного вектора

( X ,Y )

в

первом

квадранте(x ³ 0;

y ³ 0).

Производится переход к

полярным координатам по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

x = rcos j,=y

 

rsin j.

 

Найдите

плотность распределения

случайного вектора(r;j) и

найдите плотность вероятности его координатыj. Нарисуйте график функции плотности вероятности случайной величиныj. (См. пример 2.88, l –– номер варианта.)

Задача 2.88.2.

Случайная

точка ( X ,Y ) имеет

функцию

плотности

вероятности f (x, y)

в круге D ={(x, y) : x2 + y2 £ a2} и

f (x, y) = 0

вне этого

круга. Найдите математическое

ожидание расстояния от центра круга до

этой случайной точки. В нечетных вариантах f

 

3

 

 

В четных вариантах f (x, y) =

 

a2 - x2 - y2

 

2pa3

 

 

 

3

 

æ

 

1

 

 

 

 

 

ö

(x, y) =

 

 

 

x

2

+ y

2

 

 

ç1

-

 

 

 

 

÷.

pa

2

a

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

ø

.

У к а з а н и е . Перейдите к полярным координатам. (См.

пример

2.88, a –– номер варианта.)

 

Задача 2.88.3. Электрический ток в момент времениt определяется

равенством

 

I (t) = X cos wt + Y sin wt,

(15.6)

где w –– частота, а X и Y –– случайные величины, причем все положения случайной точки ( X ,Y ) в областиD ={(x, y) : x2 + y2 £ a2 , x ³ 0, y ³ 0} равновозможны.

Выражение (15.6) подвергается стандартному преобразованию:

155

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности