4.7.Модели управления запасами

Вэтом разделе мы рассмотрим простейшиематематические модели

функционирования систем, которые можно назвать хранилищем или складом. На рис. 4.7.1 изображена общая схема такой системы.

Рис. 4.7.1

И поступление продукции и ее расход могут быть случайными и во времени и по объему.

Простым примером может служить водохранилище, уровень воды в котором зависит от притока(определяемого случайно выпадающими осадками) и расхода воды на разные нужды.

Представляют, например, интерес:

1)стационарное распределение запаса и условия его существования;

2)оптимальная политика пополнения и расхода запаса;

3)распределение периода нулевого уровня и т.д.

Для определенности будем говорить о модели водохранилища.

339

моментов. Величины X1, X 2 , X 3 ,K полагаем независимыми и одинаково распределенными.

2. Сток. Пусть объем водохранилища равенK. Обозначим через Zn размер запаса в момент t = n , т.е. количество воды перед поступлением в

3. Правило расхода воды. В момент времени t = n +1 из водохранилища выпускают количество воды, равное m ( m < K ), если m £ Zn + X n . Если же

В этом случае цепь Маркова имеет конечное число состояний{1, 2,3,K, К – m}. Обозначим вероятности переходов из начального состояния nза шагов через

Pij (n) = P(Zn = j / Z0 =i), n ³1, i, j = 0,1,2,K, К – m .

Найдем стационарное распределение размера запаса. Для простоты будем считать, что количество воды, расходуемой в момент t = n +1, равно m =1.

340

Если все gi > 0 , то цепь неприводимая и непериодическая. Поэтому существует стационарное распределение вероятностей

ïUk -1 = hkU0 + hk -1U1 +K+ h1Uk -1.

î

Решая последовательно эти уравнения, получим из первого уравнения:

Продолжение этого процесса завершает доказательство первой части. Для доказательства второй части рассмотрим функциюV (z) и покажем, что при | z |<1 она разлагается в ряд по степеням z, коэффициенты которого совпадают с (4.7.4). Для этого преобразуем функцию V (z) :

341

В самом деле,

¥¥

åzn å gi = g1 + g2 + g3 + g4 + g5 +K+

n=0= i n+1

+zg2 + zg3 + zg4 + zg5 +K+

+z2 g3 + z2 g4 + z2 g5 +K =

= (1 – g0 ) + z(1 – g0 – g1) + z2 (1 – g0 – g1 – g2 ) +K =

= (1 + z + z2 + z3 +¼) – g0 (1 + z + z2 + z3 +¼) – zg1(1 + z + z2 + z3 +¼) –

– z2 g2 (1 + z + z2 + z3 +K) – K 1 / (1 – z) – g0 / (1 – z) – zg1 / (1=– z) – K

= (1 – G(z)) / (1 – z).

Отсюда при | z |<1

Здесь величина r равна среднему притоку.

Итак, V (z) представляет из себя сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем (1 – G(z)) / (1 – z) , который тоже разложим по степеням z. Разложим V (z) в степенной ряд:

V (z) = g0 (1=– z) / (G(z) – z) v0 + v1z + v2 z2 +K .

Коэффициенты vi определяются из равенства

i=0

если приравнять коэффициенты при одинаковых степеняхz в его правой и левой частях. Величины этих коэффициентов совпадают с их значениями по формулам (4.7.4). Этим и завершается доказательство теоремы.

Пример 4.36. Пусть в хранилище объема K поступление запаса имеет распределение

При переполнении хранилища излишки теряются. Каждую единицу времени из хранилища потребляют единицу запаса. Требуется найти вероятность того, что к моменту очередного расхода запаса хранилище окажется пустым.

342

Решение. Воспользуемся теоремой Морана. Для этого сначала найдем производящую функцию для распределения случайной величины

X.

Эти коэффициенты можно преобразовать к виду:

Тогда в соответствии с формулами (4.7.2) имеем

u1 = rqu= 0 , u2 r2=qu0 , u3 r3=qu0 ,K, un rnqu0 ,K . (4.7.6)

Если объем хранилища неограничен, то из условия нормировки:

Если же объем хранилища равенК, то согласно теореме Морана соотношения (4.7.6) остаются в силе, но условие нормировки имеет вид

343

Задача 4.36. На склад объемомK единиц продукции (например, контейнеров, автофургонов и т..)д ежедневно поступает продукция в случайном количестве X. Величины X независимы для разных дней и имеют распределение ( q =1 - p ):

каждого автофургона вероятность благополучно доставить продукцию на склад.) Продукция, не принятая на склад, теряется. Со склада каждое утро необходимо поставлять в розничную сеть один автофургон продукции.

Какова вероятность того, что к моменту очередной отгрузки продукции склад окажется пустым? (См. пример 4.36, p = 0, 4 + 0,b , где b –– номер варианта.)

Пример 4.37. Хранилище имеет емкость шести единиц хранения (например, шесть контейнеров, шесть вагонов и т.д.). В течение каждого дня в хранилище поступает случайное количество продукцииX. Величины

X независимы и одинаково распределены:

теряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителю две единицы продукции (или весь запас, если он меньше двух).

Для стационарного режима требуется найти: вероятность того, что поставляемая продукция будет полностью(без потерь) принята на хранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в полном объеме.

В соответствии с переходной матрицей запишем систему уравнений (4.7.1) для вычисления стационарных вероятностей:

344

u0 = 0,7u0 + 0,2u1 + 0,1u2 ,

u1 = 0,3u0 + 0,5u1 + 0,1u2 + 0,1u3 , u2 = 0,3u1 + 0,5u2 + 0,1u3 + 0,1u4 , u3 = 0,3u2 + 0,5u3 + 0,1u4 ,

u4 = 0,3u3 + 0,8u4 .

Вместо любого из уравнений можно взять условие нормировки u0 + u1 + u2 + u3 + u4 =1. Итак, имеем систему уравнений

–3u0 + 2u1 + u2 = 0, 3u0 – 5u1 + u2 + u3 = 0, 3u1 – 5u2 + u3 + u4 = 0, 3u2 - 5u3 + u4 = 0,

3u3 – 2u4 = 0.

Структура уравнений системы такова, что позволяет легко выразить все неизвестные величины через одну из них. Например, из последнего уравнения имеем

Поставляемая продукция будет полностью(без потерь) принята на хранение, если в хранилище, после очередной отгрузки, останется не более

345

столько, сколько должно тратиться за день. Но за счет неравномерности поступления продукции в хранилище возникают и неполные поставки и потери продукции из-за переполнения склада.

Ответ. 0, 906; 0,962.

Задача 4.37. Хранилище имеет емкостьK единиц хранения(для нечетных вариантов K = 5 , в четных вариантах K = 6 ). В течение каждого дня в хранилище поступает случайное количество продукцииX. Величины X независимы и одинаково распределены. При заполнении хранилища

избыток поступившей продукции теряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителю m единиц продукции (или весь запас, если он не превосходит m).

хранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в

346

Пример 4.38. Хранилище имеет емкость пять единиц хранения. В течение каждого дня в хранилище поступает случайное количествоX единиц продукции. Величины X независимы и имеют одинаковое распределение

теряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителю

хранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в полном объеме.

Решение. Если рассматривать состояние хранилища в моменты сразу

находящихся на хранении единиц продукции. Состояния хранилища в моменты после очередной отгрузки образуют цепь Маркова. Найдем ее переходные вероятности.

Переход E0 ® E0 произойдет, если в пустое хранилище поступит одна единица продукции и она достоверно будет отгружена, или поступят две единицы продукции и обе будут отгружены. Поэтому

поступает на единицу продукции больше, чем затем отгружается. Поэтому