Рис. 2.10.1
2.10.2. Формула Пуассона
При значениях вероятности появления события близких к нулю или единице многоугольник распределения существенно несимметричен(см. рис. 2.10.1). Приближенная формула (2.10.1) не обеспечивает приемлемой точности. В этих условиях для вычисления вероятностей Pn (k) используют обычно формулу Пуассона (2.10.4).
Пусть число независимых опытов n велико (чем больше, тем лучше), а вероятность события p мала (чем меньше, тем лучше, но p > 0 ). Тогда
P (k) » |
lk e-l |
|
|
|
, |
(2.10.4) |
|
|
|||
n |
k! |
|
|
|
|
||
где l = nр. Эту формулу называют формулой Пуассона. Формула Пуассона дает приемлемую точность, если производится хотя бы несколько десятков опытов, а p < 0,1.
Пример 2.55. Вероятность того, что изделие при транспортировке с завода повредится, равна 0,0005. С завода отправлено четыре тысячи изделий. Какова вероятность того, что в пути повредится больше двух изделий?
Решение. Транспортировку каждого изделия можно рассматривать как независимый опыт, число которых ( n = 4000 ) велико. Вероятность же появления события в каждом опыте( p = 0,0005) мала. Это дает основание воспользоваться для вычислений формулой Пуассона(2.7.1). Заметим, что
l np 4000= ×0,0005= = 2. Нас интересует вероятность
98
|
|
|
P4000 (k > 2) = P4000 (3) + P4000 (4) +K+ P4000 (4000). |
|
|
|||||||||||||||||
Проще |
эту |
|
|
вероятность |
вычислить, если |
|
рассмотреть |
вероятность |
||||||||||||||
противоположного события: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
P4000 (k > 2) =1 – P4000 (k £ 2) =1 –=P4000 (0) – P4000 (1) |
– P4000 (2) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
20 |
|
-2 |
|
21 |
|
-2 |
|
22 |
-2 |
|
-2 |
|
-2 |
|
-2 |
|
|
-2 |
|
|
|
=1 – |
|
e |
|
- |
|
e |
|
- |
|
e = |
1 – е |
|
– 2е |
|
- 2е |
|
=1 |
- 5е |
|
» 0,31. |
|
|
0! |
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. 1 - 5 е-2 » 0,31.
Задача 2.55. При дальней радиосвязи из-за помех каждый сигнал независимо от других с вероятностьюp может быть принят ошибочно. Передано n сигналов. Какова вероятность того, что k из них будут приняты ошибочно? Какова вероятность ошибочного приема не менееk сигналов? (См. пример 2.55 и исходные данные.)
Исходные данные к задаче 2.55.
№ |
p |
n |
k |
№ |
p |
n |
k |
№ |
p |
n |
k |
1 |
0,01 |
200 |
1 |
11 |
0,004 |
250 |
3 |
21 |
0,0025 |
400 |
3 |
2 |
0,01 |
200 |
2 |
12 |
0,004 |
250 |
2 |
22 |
0,005 |
400 |
1 |
3 |
0,01 |
200 |
3 |
13 |
0,008 |
250 |
1 |
23 |
0,005 |
400 |
2 |
4 |
0,015 |
200 |
1 |
14 |
0,008 |
250 |
2 |
24 |
0,005 |
400 |
3 |
5 |
0,015 |
200 |
2 |
15 |
0,008 |
250 |
3 |
25 |
0,005 |
600 |
2 |
6 |
0,015 |
200 |
3 |
16 |
0,01 |
300 |
2 |
26 |
0,005 |
600 |
3 |
7 |
0,02 |
200 |
2 |
17 |
0,01 |
300 |
3 |
27 |
0,005 |
600 |
4 |
8 |
0,02 |
200 |
3 |
18 |
0,01 |
300 |
4 |
28 |
0,0025 |
800 |
1 |
9 |
0,02 |
200 |
4 |
19 |
0,0025 |
400 |
1 |
29 |
0,0025 |
800 |
2 |
10 |
0,004 |
250 |
1 |
20 |
0,0025 |
400 |
2 |
30 |
0,0025 |
800 |
3 |
Пример 2.56. Известно, что из каждой 1000 элементов в среднем 999 сохраняют свою работоспособность в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 3000 элементов все до единого сохранят свою работоспособность в течение гарантийного срока?
Решение. Работу каждого элемента в течение гарантийного срока можно считать независимым опытом. Число опытов велико( n = 3000 ). Вероятность того, что элемент сохранит работоспособность в течение гарантийного срока, равна 0,999. Формула Бернулли (2.6.1) из-за большого числа опытов для расчетов неприемлема. Для применения формулы Пуассона будем говорить не о работоспособных элементах, а об элементах
вышедших из строя. Вероятность |
выхода |
из строя |
элементаp = 0,001. |
|
Тогда l np =3000 ×0,=001 = 3. |
Все 3000 |
элементов |
сохранят |
свою |
работоспособность, если ни один из них не выйдет из строя. По формуле Пуассона (2.7.1)
P3000 (0) = 30 e-3 » 0,05. 0!
99
Ответ. e-3 » 0, 05.
Задача 2.56. Каждое изделие независимо от других стандартно с вероятностью p. Произведено n изделий. Какова вероятность того, что k из них стандартны? ( См. пример 2.56 и исходные данные.)
Исходные данные к задаче 2.56.
№ |
n |
p |
k |
№ |
n |
p |
k |
№ |
n |
p |
k |
1 |
100 |
0,99 |
100 |
11 |
200 |
0,99 |
198 |
21 |
200 |
0,98 |
200 |
2 |
100 |
0,97 |
98 |
12 |
100 |
0,97 |
96 |
22 |
200 |
0,99 |
197 |
3 |
100 |
0,98 |
96 |
13 |
200 |
0,98 |
199 |
23 |
200 |
0,98 |
198 |
4 |
100 |
0,99 |
97 |
14 |
100 |
0,97 |
95 |
24 |
100 |
0,97 |
99 |
5 |
100 |
0,99 |
99 |
15 |
200 |
0,985 |
200 |
25 |
100 |
0,97 |
97 |
6 |
200 |
0,99 |
200 |
16 |
100 |
0,98 |
98 |
26 |
200 |
0,99 |
197 |
7 |
200 |
0,98 |
197 |
17 |
200 |
0,985 |
197 |
27 |
200 |
0,98 |
196 |
8 |
100 |
0,99 |
98 |
18 |
100 |
0,98 |
97 |
28 |
200 |
0,99 |
196 |
9 |
100 |
0,98 |
100 |
19 |
200 |
0,98 |
195 |
29 |
300 |
0,99 |
298 |
10 |
100 |
0,98 |
99 |
20 |
200 |
0,99 |
199 |
30 |
300 |
0,98 |
295 |
Пример 2.57. В студенческом строительном отряде работает400 студентов. Вероятность того, что студент в течение всего срока работы получит травму, требующую введения противостолбнячной сыворотки, равна 0,005. Какое минимальное количество доз сыворотки должно быть в медсанпункте этого отряда, чтобы с вероятностью не менее 0,95 их хватило в случае необходимости?
Решение. Работу каждого студента в строительном отряде можно
считать независимым опытом. Имеем |
большое |
число n = 400 опытов, |
а |
|||||||||||||||||
вероятность |
травмы p = 0,005 –– |
мала. Поэтому |
можно |
воспользоваться |
||||||||||||||||
формулой Пуассона (2.7.1), в которой l |
400 ×=0,005 = 2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Минимальное количество доз можно найти как минимальноеm, при |
|||||||||||||||||
котором выполняется |
неравенствоP400 (k £ m) ³ 0,95. |
Непосредственный |
||||||||||||||||||
подсчет по формуле (2.7.1) показывает, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
P400 (0) + P400 (1) + P400 (2) + P400 (3) + P400 (4) = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
20 |
e-2 + |
21 |
e-2 + |
22 |
e-2 + |
23 |
e-2 + |
24 |
e-2 = 0,9496 » 0,95. |
|
|||||||
|
|
0! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
3! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Заметим, |
что |
добавление |
|
к |
|
четырем |
еще |
одной |
дозы дает |
||||||||
5 |
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
e-2 = 0,9858 » 0,99. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k =0 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ответ. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Задача 2.57. В аудиториях учебного корпуса установлено n ламп для |
|||||||||||||||||
освещения. |
Вероятность того, что |
|
данная |
лампа |
в |
течение |
месяца |
|||||||||||||
100
перегорит, равна p. Один раз в месяц электротехник обходит аудитории и заменяет перегоревшие лампы. Какой запас лампочек он должен иметь,
чтобы с вероятностьюP их хватило для |
замены всех перегоревших |
||||||||||||
лампочек? (См. пример 2.57 и исходные данные.) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Исходные данные к задаче 2.57. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ |
n |
p |
P |
№ |
n |
|
p |
P |
№ |
n |
p |
P |
|
1 |
200 |
0,01 |
0,9 |
25 |
300 |
|
0,01 |
0,9 |
21 |
400 |
0,01 |
0,9 |
|
2 |
400 |
0,005 |
0,9 |
25 |
500 |
|
0,004 |
0,9 |
22 |
600 |
0,005 |
0,9 |
|
3 |
1000 |
0,002 |
0,9 |
20 |
800 |
|
0,005 |
0,9 |
23 |
500 |
0,008 |
0,9 |
|
4 |
500 |
0,002 |
0,9 |
25 |
2000 |
|
0,001 |
0,9 |
24 |
1500 |
0,001 |
0,9 |
|
5 |
250 |
0,004 |
0,9 |
20 |
3000 |
|
0,001 |
0,9 |
25 |
250 |
0,008 |
0,9 |
|
6 |
300 |
0,01 |
0,95 |
25 |
200 |
|
0,01 |
0,95 |
26 |
400 |
0,01 |
0,95 |
|
7 |
500 |
0,004 |
0,95 |
20 |
400 |
|
0,005 |
0,95 |
27 |
600 |
0,005 |
0,95 |
|
8 |
800 |
0,005 |
0,95 |
20 |
1000 |
|
0,002 |
0,95 |
28 |
500 |
0,008 |
0,95 |
|
9 |
2000 |
0,001 |
0,95 |
25 |
500 |
|
0,002 |
0,95 |
29 |
1500 |
0,001 |
0,95 |
|
10 |
3000 |
0,001 |
0,95 |
25 |
250 |
|
0,004 |
0,95 |
30 |
250 |
0,008 |
0,95 |
|
Пример 2.58. Предстоит произвести профилактический осмотр400 устройств. Вероятность того, что в осматриваемом устройстве некоторый элемент потребуется заменить, равна 0,005. Какова вероятность того, что придется заменить не более четырех элементов?
Решение. Осмотр каждого устройства можно считать независимым
опытом, |
и всего таких |
опытов |
планируетсяn = 400. Вероятность замены |
||
детали |
p = 0,005 –– |
мала. |
Поэтому |
формула |
Муавра–Лапласа |
неприемлема. В этих условиях лучше воспользоваться асимптотической
формулой |
Пуассона. Так |
как l |
np =400 × 0,005= |
= 2, |
то P (k) » |
2k |
e-2 . |
||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
k! |
|
Поэтому |
P |
|
(k £ 4) |
P =(0) + P (1) + P |
(2) + P (3) + P |
(4) = |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
400 |
|
400 |
400 |
400 |
400 |
400 |
|
|
|
|
=20 e-2 + 21 e-2 + 22 e-2 + 23 e-2 + 24 e-2 = 0,953. 0! 1! 2! 3! 4!
Ответ. 0,953.
Задача 2.58. Известно, что только b% раковин жемчужниц содержат жемчужину. Найдите вероятность того, что в n добытых раковинах обнаружится не более m жемчужин. (См. пример 2.58 и исходные данные.)
Исходные данные к задаче 2.58.
|
№ |
n |
b |
m |
|
№ |
n |
b |
m |
№ |
n |
b |
m |
№ |
n |
b |
m |
|
1 |
100 |
1 |
3 |
|
9 |
150 |
0,2 |
3 |
17 |
50 |
1 |
2 |
25 |
250 |
0,2 |
5 |
|
|
||||||||||||||||
2 |
150 |
1 |
2 |
10 |
200 |
1 |
4 |
18 |
100 |
0,5 |
2 |
26 |
300 |
1 |
3 |
||
3 |
200 |
1 |
3 |
11 |
250 |
0,2 |
5 |
19 |
200 |
0,5 |
3 |
27 |
400 |
0,5 |
4 |
||
101