Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RZVM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

П р и м е р 1. Найти производную функции

y= x2 sin x + x3 cos x:

Ре ш е н и е. При решении вначале используем правило дифференцирования суммы, а затем правило дифференцирования произведения.

y0 = (x2 sin x + x3 cos x)0 = (x2 sin x)0 + (x3 cos x)0 =

=(x2)0 sin x + x2(sin x)0 + (x3)0 cos x + x3(cos x)0 =

=2x sin x + x2 cos x + 3x2 cos x ¡ x3 sin x =

=(2x ¡ x3) sin x + 4x2 cos x:

Пр и м е р 2. Найти производную функции

y = (x2 + 1) sin x arctg x:

Р е ш е н и е.

y0 = (x2 + 1)0 sin x arctg x+

+(x2 + 1)(sin x)0 arctg x + (x2 + 1) sin x( arctg x)0 =

=2x sin x arctg x + (x2 + 1) cos x arctg x + sin x:

Пр и м е р 3. Найти производную функции

x sin x

y = sin x + x cos x:

Р е ш е н и е. В этом примере одновременно применяются правила дифференцирования дроби и произведения функций.

				x sin x		0
		y0	= µ		¶	=
		y0	= µ	sin x + x cos x	¶	=
=	(x sin x)0(sin x + x cos x) ¡ (sin x + x cos x)0x sin x							=
			(sin x + x cos x)2
	=	(sin x + x cos x)2 ¡ (2 cos x ¡ x sin x)x sin x					=
			(sin x + x cos x)2

= sin2 x + 2x sin x cos x + x2 cos2 x ¡ 2x sin x cos x + x2 sin2 x = (sin x + x cos x)2

x2 + sin2 x

= (sin x + x cos x)2 :

Задачи для практических занятий

11.1. y = x ctg x.

11.3. y = x7 ex.

11.5. y = 2x¡2 .

11.7. y = x3 ln x ¡ x3 .

11.9. y = x log2 x ¡ ln 2.

11.11. y = (x4 + 1) ex cos x.

11.13. y =

11.15. y =

11.17. y =

11.19. y =

2x + 1. cos x

3x5

1 + ex .

1 + x ¡ x2

1 ¡ x + x2 .

x sin x . 1 + sin x

11.2. y = x arcsin x.

11.4. y = (x2 ¡ 3x ¡ 1)2x.

11.6. y = ex cos x.

11.8. y = (1 + x2) arctg x ¡ x.

11.10. y = 2x sin x ¡ x2 cos x.

11.12. y = (x2 + 1) cos x arcctg x.

11.14. y = 5x2 . ln x

11.16. y = 10tgxx.

11.18. y = sin x + cos x. sin x ¡ cos x

xex

11.20.y = 1 + ex .

11.28. y = x2 sin x tg x.

11.30. y = x cos x arcsin x.

11.32. y = 2lncosxx. p

11.34. y = px +x 1.

x ln x

11.36. y = 2(1 + x2). 11.38. y = 32tgxx.

x2 ctg x

11.40. y = x2 + 1 .

Домашнее задание

11.21. y = x2 sin x.

11.23. y = 6x ln x.

11.22. y = x2 log6 x.

11.24. y = (x2 + 1) arcctg x.

11.25.y = x3(arccos x + arcsin x).

11.26.y = ex( arctg x + arcctg x).

11.27. y = x( tg x ¡ ctg x).

11.29. y = x3 ex arcctg x.

x3 + 1

11.31. y = x3 ¡ 1.

11.33. y = 3 cos x .

1 + sin x

11.35. y = (x2 + 1) arctg x. x3

2 + ex

11.37. y = 2 ¡ ex .

11.39. y = 1 + 2x .

Ответы

11.1. ctg x ¡

. 11.2. arcsin x +

. 11.3. ex(x7 + 7x6).

sin2 x

1 ¡ x

11.4. 2x(x2 ln 2 + (2 ¡ 3 ln 2)x ¡ ln 2 ¡ 3).

11.5.

(x2 + 2x). 11.6.

x(cos x

sin x)

. 11.7.x

3x2 ln x

11.8. x arctg x.

11.9. log

x. 11.10.

e 2

+ 1) cos x ¡ (x

+ 2) sin x. 11.11. e

((x + 4x

+ 1) sin x). 11.12.

(2x cos x ¡(x2 + 1) sin x) arcctg x ¡cos x. 11.13.

2 cos x + (2x + 1) sin x

cos2 x

11.14. 5

2x ln x ¡ x

. 11.15. 3

5x4 + ex(5x4 ¡ x5)

. 11.16.

2 ¡ sin 2x

ln2 x

(1 + ex)2

20x2 cos2 x

11.17.

2(1 ¡ 2x)

. 11.18.

. 11.19.

sin2 x + sin x + x cos x

(1 ¡xx + x2)2

sin 2x ¡ 1

)

(1 + sin x)2

11.20.

(1 + x + e

11.21.

2x sin x

x2 cos x.

11.22.

(1 + ex)2

2x log6 x +

11.23. 6(ln x + 1). 11.24. 2x arcctg x ¡ 1.

11.25.

ln 6

3x2(arccos x

arcsin x).

11.26.

ex( arctg x

arcctg x).

11.27.

¡ 2 ctg 2x. 11.28.

(2 sin2 x + x sin x cos x + x tg x). 11.29.

sin2 2x

cos x

x2 ex µ(x + 3) arcctg x ¡

¶.

11.30. (cos x ¡ x sin x) arcsin x +

1 + x2

x cos x

11.31.

¡6x2

11.32.

cos x + x sin x ln x

11.33.

(x3 ¡ 1)2

2x cos2 x

¡3

. 11.34.

. 11.35.

x2 + 3

arctg x. 11.36.

+ 1)2

1 + sin x

+ (1 ¡ x2) ln x

¶. 11.37.

4 ex

3(2x ¡ sin 2x)

1 + x2

(1 + x2)2

ex)2

11.38.

4x2 cos2 x

ln 2

11.39.

. 11.40.

2x ctg x ¡ (x

+ x )(1 + ctg

(1 + 2x)2

(x2 + 1)2

12. Дифференцирование сложной функции

Формула дифференцирования сложной функции имеет вид:

¡f(u(x)¢0 = fu0 ¢ u0:

	В частности, если u = u(x), то
1)	(un)0 = nun¡1	¢	u0	4)	(loga u)0 =	1	¢ u0
1)		¢		4)	(loga u)0 =	u ln a	¢ u0
2)	(au)0 = au ln a ¢ u0
3)	( eu)0 = eu ¢ u0
74

(ln u)0 =

¢ u0

10)

(arcsin u)0

¢ u0

1 ¡ u

(sin u)0

= cos u ¢ u0

11)

(arccos u)0

= ¡p

¢ u0

= ¡ sin u ¢ u0

(cos u)0

1 ¡ u

( tg u)0 =

¢ u0

12)

( arctg u)0 =

¢ u0

1 + u2

cos2 u

( arcctg u)0

= ¡

( ctg u)0

= ¡

¢ u0

13)

¢ u0.

sin2 u

1 + u2

П р и м е р 1. Найти производную функции

y= (x2 ¡ 2x + 3)5:

Ре ш е н и е. Полагая y = u5, где u = x2 ¡2x + 3, имеем согласно формуле 1)

y0 = 5u4 ¢ u0 = 5(x2 ¡ 2x + 3)4(2x ¡ 2):

П р и м е р 2. Найти производную функции

y= sin3 4x:

Ре ш е н и е. Применяем дважды правило дифференцирования сложной функции

y0 = (sin3 4x) = 3 sin2 4x(sin 4x)0 = 3 sin2 4x cos 4x(4x)0 =

= 12 sin2 4x cos 4x:

Дифференцирование степенно-показательной функции y = u(x)v(x)

сводится к дифференцированию сложной показательной функции по формуле

y = u(x)v(x) = ev(x) ln u(x):

П р и м е р 3. Найти производную функции

y= (cos x)sin x:

Ре ш е н и е. Преобразуем функцию, используя определение логарифма и его свойства

y = (cos x)sin x = eln(cos x)sin x = esin x ln cos x:

Вычисляем производную

y0 = ¡(cos x)sin x¢0 = ¡esin x ln cos x¢0 =

= esin x ln cos x µcos x ln cos x + sin x µ¡ sin x ¶¶ = cos x

= (cos x)sin x(cos x ln cos x ¡ sin x tg x):

Задачи для практических занятий

Вычислить первую производную следующих функций:


1						2						3
12.1. y =			(1 + 3x ¡ 7x2)20.			12.2. y = µ			3x + 4		¶	.
	20
									5
						4
12.3. y = p1 ¡ 3x + x2.
						12.4. y = p1 + 3x2.
12.5. y = (2x + 3 cos x)5.						12.6. y = sin2 x
12.7. y = p					.	12.8. y = p
		2 ctg x						2x + 2x
1						1
12.9. y =				.		12.10. y =				.
	tg 2x						arctg 2x

12.11. y = arcsin ex.

12.13. y = (x2 + 1) e2x.

12.15. y = ex3 .

12.17. y = (x5 + 2) cos 5x.

12.19. y = arccos px + 1.

12.21. y = arcctg (3 ln x).

12.23. y = earccos x.

cos 7x

12.25. y = e¡5x .

12.27. y = e5x . cos 4x

12.12. y = x3 cos 3x.

12.14. y = arccos(5x).

12.16. y = ln(sin x).

12.18. y = (sin x)x.

12.20. y = p3 ln x + 5x2.

12.22. y = (x2 + 1) arctg 2x.

12.24. y = ln(x2 ¡ ctg x).

12.26. y = x + sin 2x.

e15x

sin3 x

12.28. y = ln3 x .

		Домашнее задание
12.29. y = sin 2x.				¼x

			12.30. y = tg 3 .
			12.30. y = tg 3 .
12.31. y = ln(ln x).			12.32. y = ctg ( tg x).
12.33. y = 10 e¡x.	+ px + x		12.34. y = 83x+5.
12.35. y = cos µx	+ px + x		¶. 12.36. y = µ3 + 1 + 8x¶			.
3		1			x2	10
12.37. y = cos2 x.			12.38. y = tg (x2 + 1).

12.40. y = ln tg x.

12.39. y =

arctg

12.41. y = e2x(cos 3x + sin 3x). 12.42. y = ex3 sin x3.

12.43. y = p

arcsin x ¡ x. 12.44. y = arcctg (x ln x).

1 ¡ x2

12.46. y = µ

12.45. y = xx .

Ответы

						(1 + 3x ¡ 7x2)19(3 ¡ 14x).																																					18x				µ		3x2 + 4							¶			2
12.1.																																				12.2.																									. 12.3.
12.1.																																				12.2.							5									5									. 12.3.
	p			2x ¡ 3													. 12.4.												3x						. 12.5. 5(2x + 3 cos x)4(2 ¡ 3 sin x).
				2x ¡ 3																			4
															2								4								2			3
2 1 ¡ 3x + x																					2				(1 + 3x )									1								.			12.8.										2 + 2x ln 2											.
12.6.								sin 2x.											12.7.																							.			12.8.																					.
																							p					¡																											2p
																															sin2 x p
																															sin2 x p						2 ctg x																							2x + 2x
12.9.								2 cos x											. 12.10.																	2								.			12.11.									p					ex				.
						¡																						¡
									sin3 x																							(1 + x2) arctg 3x
									sin3 x																							(1 + x2) arctg 3x																													1 ¡ e			2x
								3x				2		(cos 3x											x sin 3x)																	2				2x		(x			2	+					x				1 ¡ e			1)
12.12.								3x						(cos 3x							¡				x sin 3x)											12.13.						2			e			(x				+					x				+			1)		.
12.12.											p5				x			ln 5 x			¡										.					12.13.									e																					.
12.14.						¡					p5							ln 5 x		.		12.15.											¡45x2 e¡x3 .									12.16.											ctg x.								12.17.
5(x			4	cos 5x										1 ¡5					25																						x	(ln sin x + x ctg x). 12.19.
5(x				cos 5x						¡				(x					+ 2) sin 5x). 12.18. (sin x)																							(ln sin x + x ctg x). 12.19.
						1				¡								.	12.20.												10x2 + 3										.	12.21.																			3				.
¡		2p							p																			2xp																							¡
																																																						x(1 + 9 ln2 x)
					x + 1								¡x																				3 ln x + 5x2																					x(1 + 9 ln2 x)
12.22.									2(x arctg 2x															+					arctg x).										12.23.													1									earccos x.
																																																¡			p
																					2																											¡			p		1 ¡ x2
12.24.							2x + 1 + ctg															x		.				12.25. e5x(5 cos 7x																		¡ 7 sin 7x).															12.26.
12.24.											x2						¡ ctg			x				.				12.25. e5x(5 cos 7x																		¡ 7 sin 7x).															12.26.
																	¡ ctg																					e	5x	(5 cos 4x + 4 sin 4x)
	2 cos 2x ¡ 15(x + sin 2x) + 1																												.	12.27.								e		(5 cos 4x + 4 sin 4x)																		.			12.28.
																													.	12.27.																												.			12.28.
												e15x																															cos2 4x
	3 sin2 x(x cos x ln x ¡ sin x)																									.				12.29.								2 cos 2x.									12.30.														¼					.
																										.				12.29.								2 cos 2x.									12.30.																¼x			.
									x ln4 x																																															3 cos						2	¼x
									x ln4 x																																																					2	3
										1																					1																																3
12.31.										1						.			12.32.					¡							1									.		12.33.								¡10 e¡x.											12.34.

							x ln x																				sin2( tg x) cos2 x
78

9 ¢ 83x+5 ln 2. 12.35. ¡ µ3x2 + 2px ¡ x2																	¶sin µx3 + px + x¶. 12.36.
20x(x2 + 24x + 3)9(4x + 1)										1					1		1			2x
															¡ sin 2x. 12.38.
									.	12.37.											.
			(1 + 8x)11															cos2(x2 + 1)
12.39.	1			.	12.40.		2				. 12.41.						e2x(5 cos 3x ¡ sin 3x). 12.42.
			x2 + 4					sin 2x
3														x					ln x + 1
3x2 ex	(sin x3+cos x3). 12.43. ¡											p					arcsin x. 12.44. ¡				.
																			1 + x2 ln2 x
													1		x2
					1					2 ¡
		1 ¡ ln xxx								8x(x + 1)
12.45.			x2			. 12.46. ¡					(x ¡ 1)3					.

13. Повторное дифференцирование

Производная n-го порядка функции f(x) в точке x 2 (a; b) при любом n ¸ 1 определяется по индукции

³ ´0 f(n)(x) = f(n¡1)(x) ;

где f(0)(x) ´ f(x).

Прежде, чем перейти к вычислению следующей производной рекомендуется максимально упростить предыдущую производную.

П р и м е р 1. Найти вторую производную от функции

y = ln(x + p

1 + x2

Р е ш е н и е. Вычислим вначале первую производную

(x + p1 + x2)0 =

x + p

1 + x2

= x + p1 + x2 µ1 + 2p1 + x2 (1 + x2)0¶ =

+ x

1 + x2

x + p

µ1 + p

¶ =

x + p

1 + x2

= p

= (1 + x2)¡31 :

1 + x

Затем вычисляем вторую производную

1	0	1	4		x
y00 = Ã(1 + x2)¡3 !	= ¡	1	(1 + x2)¡3 (1 + x2)0 = ¡		x	:
y00 = Ã(1 + x2)¡3 !	= ¡	2	(1 + x2)¡3 (1 + x2)0 = ¡		(1 + x2)3	:
				p

Иногда при вычислении последующих производных используют вычисленные ранее предыдущие производные.

П р и м е р 2. Найти вторую производную от функции

y = xx:

Р е ш е н и е
y0	= (xx)0 = ( ex ln x)0 = ex ln x(x ln x)0	= xx(ln x + 1);
y00	= (xx(ln x + 1))0 = (xx)0(ln x + 1) + xx(ln x + 1)0 =
= xx(ln x + 1)(ln x + 1) + xx x = xx µ(ln x + 1)2 + x¶			:
	1	1

Задачи для практических занятий

Найти производные второго порядка от следующих функций:

13.1. y = cos2 3x.

13.3. y = (1 + 9x2) arcctg 3x.

13.5. y = 2x2 .

13.7. y = ln tg x2 .

13.2. y = arctg 2x.

13.4. y = arcsin 2x.

13.6. y = ecos 5x.

13.8. y = lg cos 2x.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.201945.28 Кб2Rescue_asd1.docx
#
27.03.20151.28 Mб6Rezultaty_za_2013.doc
#
12.11.201974.59 Кб2RP_Filosofia_Karzhina_GU_VShE.docx
#
27.03.20151.56 Mб69RUR.doc
#
17.07.201963.15 Кб5russ.docx
#
27.03.20151.11 Mб7RZVM.pdf
#
08.05.2019136.7 Кб5SAKSONSKOE_ZERTsALO_Karolina.doc
#
27.03.2015186.37 Кб6sanit_pravila_2_3_6_1079_teoria.doc
#
30.08.2019135.13 Кб11SAWAY-ART-Профиль аналитика. Таблица квалификац...docx
#
27.03.20157.36 Mб14Sbornik_IEP.pdf
#
27.03.201511.96 Mб61Sbornik_retseptur_blyud.pdf