Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RZVM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

2 ¡ 3x2

8.25. lim . x!1 x2 + 5x ¡ 6

8.27. lim 2x ¡ 3.

x!1 x2 + 2

8.29.lim p46x +x 1.x!+1


8.31. lim	x2		¡ 9x + 14			.

x!2 x2			¡ 7x + 10
8.33. lim		x2 + 3x ¡ 4					.
x!¡4 2x2 + 7x ¡ 4
8.35. lim	x100 ¡ 3x50 + 2							.
x!1			x50 ¡ 1
	p			¡ 4	.
8.37. lim		5x + 6

x!2			x2 ¡ 4

8.26.

lim

7x4 + 2x3 + 3

x!1 3 ¡ 5x2 + 2x4

8.28.

lim

1 ¡ x + 2x4

x!1 3x3 + x2 + 1

+ p

8.30.

lim

x3 + 1

4x2 ¡ 1

x!+1

x + 7

8.32.

lim

x2 + 8x + 15

x!¡3 x2 + 14x + 33

8.34. lim

2x2 ¡ 11x + 5

x!5

x2 ¡ 4x ¡ 5

x + p

¡ 6

8.36.

lim

x!4 x ¡ px ¡ 2.

¡ 4

lim

16 + x

8.38.

x!0

px + 9 ¡ 3 .

8.39.lim (x ¡ px2 + x + 1). 8.40. lim (px2 + x ¡ px2 ¡ x).

x!+1

Ответы:

8.1. 23. 8.2. 0. 8.3. 1. 8.4. 1. 8.5. 12. 8.6. ¡52. 8.7. 0. 8.8. 1. 8.9.

1 1 1 2 7

2. 8.10. p2. 8.11. 4. 8.12. ¡2. 8.13. ¡5. 8.14. 3. 8.15. 3. 8.16. 5.

8.17. 54. 8.18. ¡401 . 8.19. 0. 8.20. 12. 8.21. 0. 8.22. 12. 8.23. 0. 8.24.

1. 8.25. ¡3. 8.26. 72. 8.27. 0. 8.28. 1. 8.29. 3. 8.30. 3. 8.31. 53. 8.32.

14. 8.33. 59. 8.34. 32. 8.35. -1. 8.36. 53. 8.37. 325 . 8.38. 34. 8.39. ¡12. 8.40. 1.

9. Первый и второй замечательные пределы

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется первый замечательный предел

lim	sin ®	= lim	®	= 1:
	®
®!0		®!0 sin ®

П р и м е р		1
lim	sin 5x		=	µ	0	¶ =	1

	3x				0		3
x!0	3x				0		3
						=		5
						=	3
							3

lim	sin 5x		5 = [ Замена 5x = ®] =
		5x
x!0
lim	sin ®		=	5	:

		®		3
®!0

Такого типа замены, как это сделано в последнем примере, обычно производят устно.

П р и м е р 2

lim

cos 3x ¡ cos 7x

= lim

2 sin 5x sin 2x

x!0

= lim 2

sin 5x

sin 2x

2 = 20:

x!0

П р и м е р 3

x!0

¡x2

µ0¶

x!0

x!0 2 0

lim

cos x

= lim

2 sin2

= lim

sin 2

П р и м е р 4

= x!0

x!0 sin 3x

sin 3x 3

lim

tg 2x

lim cos 2x

sin 2x

;

так как lim cos 2x = cos 0 = 1.

x!0

Второй замечательный предел

lim (1 + ®)® = e

®!0

используется для вычисления пределов

lim ['(x)]Ã(x);

x!a

представляющих из себя неопределенность (11).

П р и м е р 5

x!1 µ

x!1 "µ

x ¡ 1

1 +

x ¡ 1

lim

1 +

x2¡1

= (11) = lim

lim

= ex!1 x(x+1)

= e2

x #x(x1+1) x¡1

П р и м е р 6

¡ 1

= (11) = x!1 µ1 + x2

¡ 1¶

x!1 µx2

lim

+ 1

lim

= xlim

1 + x2

2x2

= ex!1 x2

¡1

= e2:

x2¡1

¡1

lim

2x2

П р и м е р 7

lim xp2

= lim (1 + 1

cos 2x)

= (11) =

cos 2x

2 sin2 x

= x!0

x!0

= lim

(1 + 2 sin

2 sin2 x

lim (1 + 2 sin x)

lim

2 sin2 x

= e2:

= ex!0

Задачи для практических занятий

9.1. lim sin 7x.

x!0 x

9.3. lim sin 7x + sin 5x. x!0 sin 3x + sin 2x

9.5. lim

sin2 5x

x!0

9.7. lim

1 ¡ cos 6x

x!0

9.9. lim (1 + x2)x .

x!0

3x + 1

2x¡1

9.11.

lim

¶ .

3x + 5

x!1 µ

lim

2x ¡ 1

9.13.

3x + 5

x!+1 µ

9.15. lim

ln(1 + x)

x!0

9.17. lim p1 + sin x.

x!0

³tg

4 ¡ x´´

9.19. x!0

ctg x

lim

9.2. lim

sin 9x ¡ sin 3x

x!0

sin 2x

9.4. lim

tg 2x

x!0

tg 3x

9.6. lim

cos 3x ¡ cos 9x

x!0

9.8. lim

1 ¡ cos 4x

x!0

1 ¡ cos 8x

9.10.

lim

3x+5

x!1 µ1 + x¶ .

1 + x

lim

9.12.

1 ¡ x¶ .

x!0

x2 + 4

x¡2

9.14.

lim

¶ .

2x2 ¡ 1

x!2+0

9.16. lim

log2(1 + x2)

x!0

9.18. lim xp2 cos 4x.

x!0

.9.20. lim (cos x)sin x .

x!0

Домашнее задание

9.21. lim	sin 5x ¡ sin 3x					.
x!0		x
9.23. lim	sin 7x ¡ sin 5x					.
x!0 sin 3x ¡ sin 2x
9.25. lim	sin2 3x		.
	x2
x!0
9.27. lim	1 ¡ cos 3x				.
x!0		7x2
lim		x ¡ 1		¶	2x
					.
9.29. x!1 µx + 1

9.31. lim (1 +			3 sin x)5 ctg x.
	x!0
			5x2	+ 2	3x
9.33.	lim	µ			¶ .
	lim		4x2	¡ 1
	x!+1		4x2	¡ 1

9.22. lim

sin 3x

x!0 sin 5x

9.24. lim

tg 5x

x!0

9.26. lim

sin2 x

tg 2

x!0

9.28. lim

cos 5x ¡ cos 2x

x!0

5x + 2

3¡7x

9.30.

lim

¶ .

5x + 6

x!1 µ

9.32. lim

xp2

cos 2x

x!0

2x + 1

9.34.

lim

¶ .

3x + 1

x!+1 µ

Ответы:

					12					2									1
9.1. 7. 9.2. 3. 9.3.									. 9.4.				. 9.5. 25. 9.6. 36. 9.7. 18. 9.8.							. 9.9. 1.
9.1. 7. 9.2. 3. 9.3.							5		. 9.4.		3		. 9.5. 25. 9.6. 36. 9.7. 18. 9.8.						4	. 9.9. 1.
			6		¡38							2							1
9.10. e				. 9.11. e				. 9.12. e						. 9.13. 0. 9.14. +1. 9.15. 1. 9.16.								.
9.10. e				. 9.11. e				. 9.12. e						. 9.13. 0. 9.14. +1. 9.15. 1. 9.16.							ln 2	.
														3
9.17. e. 9.18. e¡8. 9.19. e¡2. 9.20. 1. 9.21. 2. 9.22.																		. 9.23. 2. 9.24.
9.17. e. 9.18. e¡8. 9.19. e¡2. 9.20. 1. 9.21. 2. 9.22.																	5	. 9.23. 2. 9.24.
1					1					9				21					28
1					1					9				21		. 9.29. e¡4. 9.30. e 5 . 9.31.
		. 9.25. 9. 9.26.						. 9.27.					. 9.28. ¡
	5	. 9.25. 9. 9.26.				49		. 9.27.		14			. 9.28. ¡		2
	e15. 9.32. e¡2. 9.33. +1. 9.34. 0.
																			65

10. Дифференцирование суммы

При решении следующих задач используем следующие правила дифференцирования:

(u § v)0 = u0 § v0; (cu)0 = cu0;

где u(x), v(x) дифференцируемые функции, c постоянная, и

таблицей производных основных функций.
																Таблица производных
1.	(c)0			= 0, где c – постоянная. 10.															(sin x)0		= cos x
2.	(x)0 = 1.																11.		(cos x)0		= ¡ sin x
3.	(xn)0 = nxn¡1																12.		( tg x)0 =				1
	(p									1							12.		( tg x)0 =			cos2 x
4.					)0 =
			x

							2		p				x										1
																	13.		( ctg x)0		= ¡
	1					0											13.		( ctg x)0		= ¡			sin2 x
	1					0				1
5.	µ			¶		= ¡											14.		(arcsin x)0				=		p	1
5.		x									x2

																													2
6.	(loga x)0						=						1													1 ¡ x
																													1
												x ln a					15.		(arccos x)0				= ¡ p						1
												x ln a					15.		(arccos x)0				= ¡ p						2
7.	(ln jxj)0 =									1													1					1 ¡ x
7.	(ln jxj)0 =									x													1
																	16.		( arctg x)0 =
8.																	16.		( arctg x)0 =						1 + x2
8.	(ax)0 = ax ln a																												1
9.	( ex)0 = ex																17.		( arcctg x)0				= ¡						1

																											1 + x2
	П р и м е р 1. Найти производную функции
														y = 3 tg x + 5 cos x + arcsin x + 2x:
	Р е ш е н и е
								y0					= 3( tg x)0				+ 5(cos x)0 + (arcsin x)0						+ (5x)0						=
													3						1
													=				¡ 5 sin x +	p			+ 5x ln 5:
															cos2 x
															cos2 x					1 ¡ x2
66

При нахождении производных некоторых функций рекомендуется их преобразовать (привести к виду удобному для дифференцирования).

П р и м е р 2. Найти производную функции y = 32x + 5 tg3 x ¡ 2px:

Р е ш е н и е. Приведем функцию к виду удобному для дифференцирования:

y = 23 x1 + 35 ctg x ¡ 2px:

Используя правила дифференцирования и таблицу производных

вычисляем производную:

5( ctg x)0 ¡ 2(px)0

= 3

µx

µ¡x2

¶ +

= 3

µ¡sin2 x¶

¡ 22px = ¡

3x2 ¡

5 sin2 x

¡ px:

П р и м е р 3. Найти производную функции

y =

Р е ш е н и е. Приведем функцию к виду удобному для дифференцирования:

y = x2 ¡

¡ x¡

+ x1 + 2

¡ x2 ¡ 1

= x2 + x6

2 :

Ищем производную:

y0 =

x23 ¡ 1

x67 ¡ 1

x¡21 ¡ 1

x21

x61

x¡23

7 p6

x +

2xp

Задачи для практических занятий

Найти производные от следующих функций:

10.1. y = x

¡ 4x + 2x ¡ 3.

10.2. y =

+ 5x + ln 3.

10.3. y = x + 2p

+ 3p3

10.4. y =

y =

¡ 2p3

+ 1

10.5. y =

10.6.

10.7. y = 5 sin x + 3 cos x.

10.8. y = tg x ¡ ctg x.

10.9. y = 3p

+ 4 cos x ¡ ln x. 10.10. y = log2 x + 3 log3 x.

10.11. y = 3 + 4x2 + p5 x3 + x12 + sin2 x + 2 cos x + ln x.

10.12. y = 8 x3 ¡ 4x6 + 5 lg x ¡ 7 cos x + 3 ctg x + 2 tg x.

10.13. y = arctg x + arcctg x + 2 cos x.

10.14. y = arcsin x + arccos x + 3 sin x.

10.15. y = 5x + 6x + ex.

10.16. y =

10.17. y = 3x + log3 x.

10.18. y = 3 ln x+2 log2 x+ln 3¢log3 x.

10.19. y = 3x +

10.20. y =

+ 2 ln x + 3 ctg x.

2 ¢ 5x

10.21. y =

; (a 6= 0).

2xa

tg x

10.22. y =

+ ln a loga x (a > 1).

Домашнее задание

10.23. y = x4 + 5x2 ¡ 2x + 3.

10.25. y = 5x5 + 3x4 ¡ x3 .

4 3

p p

10.27. y = x + x + 3 x.

10.24. y = 7x7 + 3x3 ¡ 4x + 1.

10.26. y = xpx.

p1 3

10.28.y = 3 x2 + 2x ¡ x3 + 8.

	4			3	5				5
	4			3	5				5
10.29. y = px3				+ 3xpx2 +			. 10.30. y = 4x			¡ 3 sin x + 5 tg x.
10.29. y = px3				+ 3xpx2 +	x	2	. 10.30. y = 4x			¡ 3 sin x + 5 tg x.
					x
	x5						3				4
10.31. y =			+ 3 cos x + ctg x. 10.32. y =					p3		+ 2 cos x +		.
											ctg x
		5							x		ctg x

10.33. y = tg x + ctg x.

10.35. y = 7 x5 + ln x + 2x.

10.37. y = ex ¡	tg x	+	x4
				.
	2		4

10.39. y = 5x + 3x + 61x .

10.34. y = 2 tg x ¡ ctg x.

10.36. y = 2 log2 x + ln 5 ¢ log5 x.

10.38. y = e¡x + arctg x + arccos x.

10.40. y = ln 4 ¢ log2 x + ln 27 ¢ log3 x.

	2x
10.41. y =	ln 2 + 2 arcctg x + 3 arcsin x.

10.42. y = arcsin x + arccos x + arctg x + arcctg x.

Ответы:

										x3		2x					1				1
10.1. 5x4 ¡ 12x2 + 2. 10.2.											¡		+ 5. 10.3. 1 +				p				+	p3		. 10.4.
										2		3
										2		3							x				x2
3		2				1	. 10.5.	1	1				1		. 10.6.		1							5
							. 10.5.								. 10.6.
¡x4			¡ x3		¡ x2			¡x2	¡ 4xpx				¡ 9xp3 x					4p4 x3 ¡ 6						px7	¡
																								12
1													4				3								1
	4xp4			. 10.7. 5 cos x ¡ 3 sin x. 10.8.										. 10.9.		2p					¡ 4 sin x ¡						.
													sin2 2x													x
			x										sin2 2x							x						x
																									69

ln 3 + 3 ln 2

cos x

10.10.

. 10.11. 8x+

5p5

¡2 sin x+

. 10.12.

x ln 2 ln 3

8p8

¡24x5 +

+7 sin x¡

. 10.13. ¡2 sin x. 10.14.

x ln 10

sin2 x

cos2 x

ln 3

ln 7

3 cos x. 10.15. 5x ln 5 + 6x ln 6 + ex.

10.16. ¡ µ

¶. 10.17.

3x ln 3 +

. 10.18.

4 ln 2 + 2

. 10.19. 3x ln 3 ¡

ln 5

. 10.20. ¡

x ln 3

x ln 2

7x2

ln a¢

. 10.21. ¡

. 10.22. ¡

. 10.23. 4x3 +

sin2 x

2xa+1

sin2 x

10x ¡ 2. 10.24. 49x6 + 9x2 ¡ 4. 10.25. 25x4

+ 3x3 ¡ x2

. 10.26.

10.27. 1+

3p3

. 10.28.

3p3

. 10.29.

4p4

x ¡

2x2

. 10.30. 20x4 ¡ 3 cos x +

. 10.31. x4

¡ 3 sin x ¡

. 10.32.

cos2 x

sin2 x

4 cos 2x

4(1 + sin2 x)

xp3

¡2 sin x+

. 10.33. ¡

. 10.34.

. 10.35.

cos2 x

sin2 2x

7p7

+2x ln 2. 10.36.

(2+ln 2). 10.37. ex ¡

+x3.

x ln 2

2 cos2 x

10.38. 8 ex +

. 10.39. 5x ln 5 + 3x ln 3 ¡

ln 6

. 10.40.

1 + x2

1 ¡ x

. 10.41. 2x ¡

. 10.42. 0.

1 + x2

1 ¡ x2

11.Дифференцирование произведения

ичастного функций

При дифференцировании произведения и частного функций кроме таблицы производных применяются правила дифференцирования произведения и частного:

(uv)0 = u0v + uv0; (uvw)0 = u0vw + uv0w + uvw0;

³u´0 = u0v ¡ v0u: v v2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.201945.28 Кб2Rescue_asd1.docx
#
27.03.20151.28 Mб6Rezultaty_za_2013.doc
#
12.11.201974.59 Кб2RP_Filosofia_Karzhina_GU_VShE.docx
#
27.03.20151.56 Mб69RUR.doc
#
17.07.201963.15 Кб5russ.docx
#
27.03.20151.11 Mб7RZVM.pdf
#
08.05.2019136.7 Кб5SAKSONSKOE_ZERTsALO_Karolina.doc
#
27.03.2015186.37 Кб6sanit_pravila_2_3_6_1079_teoria.doc
#
30.08.2019135.13 Кб11SAWAY-ART-Профиль аналитика. Таблица квалификац...docx
#
27.03.20157.36 Mб14Sbornik_IEP.pdf
#
27.03.201511.96 Mб61Sbornik_retseptur_blyud.pdf