RZVM

Одним из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения является так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Для некоторых функций f(x) специального вида удается подобрать частное решение этого уравнения и тем самым свести задачу об интегрировании неоднородного уравнения к интегрированию соответствующего однородного уравнения. Рассмотрим такие возможные случаи.

Правило 1. Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет

вид

f(x) = e®x(a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an¡1x + an):

Тогда, если ® не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения нужно искать в таком же виде

yч = e®xQn(x) = e®x(A0xn + A1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + An¡1x + An);

где A0, A1,. . . ,An неопределенные коэффициенты, подлежащие определению.

Если же ® является корнем характеристического уравнения кратности k (k может принимать два значения 1 или 2), то частное решение надо искать в виде

yч = xk e®xQn(x) = xk e®x(A0xn + A1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + An¡1x + An):

П р и м е р 1. Решить уравнение

y00 ¡ y0 ¡ 2y = 2x2 ¡ 6x:

Р е ш е н и е. Ищем вначале общее решение соответствующего однородного уравнения

y00 ¡ y0 ¡ 2y = 0; ¸2 ¡ ¸ ¡ 2 = 0; ¸1 = ¡1; ¸2 = 2; yo(x) = C1 e¡x + C2 e2x:

161

Правую часть неоднородного уравнения можно записать так:

2x2 ¡ 6x = e0x(2x2 ¡ 6x):

Число ® = 0 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение этого уравнения ищем в виде

y = e0x(Ax2 + Bx + C) или y = Ax2 + Bx + C:

Тогда

y0 = 2Ax + B; y00 = 2A:

Подставляя функцию и ее производные в уравнение, получаем

2A ¡ (2Ax + B) ¡ 2(Ax2 + Bx + C) = 2x2 ¡ 6x:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

8

>¡2A = 2

<

>¡2A ¡ 2B = ¡6 :2A ¡ B ¡ 2C = 0:

Решая эту систему, находим

A = ¡1; B = 4; C = ¡3:

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

yч(x) = ¡x2 + 4x ¡ 3:

Общее решение неоднородного уравнения ищется как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

y= C1 e¡x + C2 e2x ¡ x2 + 4x ¡ 3:

Пр и м е р 2. Решить уравнение

y00 + 2y0 ¡ 3y = (x + 2) e3x:

162

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение ¸2 +2¸¡3 = 0 имеет корни ¸1 = 1, ¸2 = ¡3, ни один из которых не равен ® = 3. Частное решение ищем в виде

y = (Ax + B) e3x:

Подставляя в уравнение эту функцию и ее производные

y0 = (3Ax + 3B + A) e3x; y00 = (9Ax + 9B + 6A) e3x;

получаем после сокращения на e3x

9Ax + 9B + 6A + 2(3Ax + 3B + A) ¡ 3(Ax + B) = x + 2:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим коэффициенты A и B

П р и м е р 3. Решить уравнение

y00 ¡ 2y0 + y = 6x ex:

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение ¸2 ¡ 2¸ + 1 = 0 имеет корень ¸1 = ¸2 = 1 кратности k = 2. Число ® = 1 совпадает с корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y = x2(Ax + B) ex:

Подставляя в уравнение функцию y = (Ax3 + Bx2) ex и ее производ-

ные

y0 = [Ax3 + (3A + B)x2 + 2Bx] ex;

163

y00 = [Ax3 + (6A + B)x2 + (6A + 4B)x + 2B] ex;

получим (после сокращения на ex)

Ax3 + (6A + B)x2 + (6A + 4B) + 2B ¡ 2(Ax3 + (3A + B)x2 + 2Bx)+

+Ax3 + Bx2 = 6x;

или после упрощений

6Ax + 2B = 6x:

Откуда находим A = 1 и B = 0.

Частное решение неоднородного уравнения равно

yч(x) = x3 ex:

Общее решение этого же уравнения равно

y = (C1 + C2x) ex + x3 ex:

Правило 2. Правая часть неоднородного уравнения равна

f(x) = e®x(Pn(x) cos ¯x + Qm(x) sin ¯x);

где Pn(x) и Qm(x) многочлены степеней n и m.

Если числа ® § ¯i не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде

где Ps(x) и Qs(x) многочлены с неизвестными коэффициентами,

степень которых s равна наибольшей степени многочленов Pn(x) и

Qm(x), s = maxfn; mg.

Если же ® § ¯i являются корнями характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде

где s = maxfn; mg.

164

П р и м е р 4. Решить уравнение

y00 ¡ 9y = e3x cos x:

Характеристическое уравнение ¸2 ¡ 9 = 0 имеет корни ¸1;2 = §3. В данном случае число ® + i¯ = 3 + i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение неоднородного уравнения

ищем в виде

y = e3x(A cos x + B sin x):

Вычислим производные от этой функции

y0 = 3 e3x(A cos x + B sin x) + e3x(¡A sin x + B cos x) = = e3x((3A + B) cos x + (3B ¡ A) sin x);

y00 = 3 e3x((3A + B) cos x + (3B ¡ A) sin x)+

+e3x(¡(3A + B) sin x + (3B ¡ A) cos x) =

=e3x((8A + 6B) cos x + (8B ¡ 6A) sin x):

Подставляя предполагаемое решение и его вторую производную в уравнение, получаем

e3x((8A+6B) cos x+(8B¡6A) sin x)¡9 e3x(A cos x+B sin x) = e3x cos x;

или после упрощений

(¡A + 6B) cos x + (¡6A ¡ B) sin x = cos x:

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, находим коэффициенты A и B

165

П р и м е р 5. Решить уравнение

y00 + y = x sin x:

В этом уравнении правая часть может быть записана так

x sin x = e0x ¢ x sin x:

Таким образом ® = 0, ¯ = 1, и число ® + i¯ = i совпадает с корнем характеристического уравнения ¸2 + 1 = 0. Его корни ¸1;2 = §i. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y = x((Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x):

Находим вторую производную

y = (Ax2 + Bx) cos x + (Cx2 + Dx) sin x; y0 = (2Ax + B) cos x + (2Cx + D) sin x¡ ¡(Ax2 + Bx) sin x + (Cx2 + Dx) cos x =

= (Cx2 + (2A + D)x + B) cos x + (¡Ax2 + (2C ¡ B)x + D) sin x; y00 = (2Cx + 2A + D) cos x + (¡2Ax + 2C ¡ B) sin x¡

¡(Cx2 + (2A + D)x + B) sin x + (¡Ax2 + (2C ¡ B)x + D) cos x = = (¡Ax2 + (4C ¡ B)x + 2A + 2D) cos x+

+(¡Cx2 + (¡4A ¡ D)x + 2C ¡ 2B) sin x:

Подставляем y00 и y в уравнение

(¡Ax2 + (4C ¡ B)x + 2A + 2D) cos x+ +(¡Cx2 + (¡4A ¡ D)x + 2C ¡ 2B) sin x+ +(Ax2 + Bx) cos x + (Cx2 + Dx) sin x = x sin x:

166

После упрощений получаем

(4Cx + 2A + 2D) cos x + (¡4Ax + 2C ¡ 2B) sin x = x sin x:

Для нахождения A, B, C и D приравняем сначала коэффициенты

Окончательно можем записать общее решение исходного уравнения

x

y = C1 cos x + C2 sin x + 4 (sin x ¡ x cos x):

И отметим наконец, что если правая часть неоднородного уравнения представляет из себя сумму функций, например, уравнение

имеет вид

y00 + a1y0 + a2y = f1(x) + f2(x);

то решение уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частных решений неоднородных уравнений

y00 + a1y0 + a2y = f1(x) и y00 + a1y0 + a2y = f2(x):

167

29. Числовые ряды

Пусть дана числовая последовательность

a1; a2; a3; : : : ; an; : : : :

Бесконечная сумма ее элементов

n=1

называется числовым рядом, элементы последовательности an называют членами ряда.

Конечная сумма

Xn

k=1

называется частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм

S = lim Sn;

n!1

то говорят, что числовой ряд сходится и пишут

X1

an = S:

n=1

В этом случае S называют суммой ряда.

Если предел частичных сумм не существует или равен бесконечности, то говорят, что числовой ряд расходится.

169

Из этого условия следует, что если lim an 6= 0, то ряд расходит-

n!1

ся. Если же lim an = 0, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

n!1

Нужны дополнительные исследования, которые обычно производят с помощью достаточных условий сходимости (так называемых признаков сходимости).

Мажорантный признак сравнения. Пусть выполняется неравенство

P1 bn.

n=1

Предельный признак сравнения. Рассмотрим два ряда с положи-