RZVM

составленная из алгебраических дополнений Aij к элементам aij матрицы A, называется присоединенной матрицей к матрице A. Алгебраические дополнения Aij квадратной матрицы A определяются так же, как и алгебраические дополнения определителя этой матрицы.

Матрица A¡1 называется обратной для квадратной матрицы A, если для нее выполняется равенство

A ¢ A¡1 = A¡1 ¢ A = E;

где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица A.

Всякая невырожденная матрица A имеет обратную, которая получается из присоединенной матрицы A¤ делением всех ее элементов

Определитель отличен от нуля. Поэтому матрица A невырожденная и для нее существует обратная A¡1. Вычисляем алгебраические дополнения ее элементов:

21

Присоединенная матрица имеет вид

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения. Например, чтобы решить матричное уравнение

A ¢ X = B;

22

где A и B заданные матрицы одинаковой размерности, а X неизвестная матрица, обе его части нужно умножить слева на матрицу обратную к матрице A. Тогда, используя свойства обратной матрицы, получим

A¡1 ¢ A ¢ X = A¡1 ¢ B; E ¢ X = A¡1 ¢ B; X = A¡1 ¢ B:

Аналогично, умножая обе части уравнения

X ¢ A = B

справа на A¡1, получаем

X= B ¢ A¡1:

Спомощью обратной матрицы можно решить систему линейных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

>

>

: an1x1 + an2x2 + ¢ ¢ ¢ + annxn = bn:

Используя действия с матрицами, эту систему можно записать в более компактном виде:

матрица системы, а векторы ~x и b записаны столбцами:

23

Если матрица A системы невырожденная, то для нее суще-

¡1 ~

ствует обратная A . Умножая обе части равенства A ~x = b слева на обратную матрицу, получаем

Таким образом, система имеет следующее решение: x1 = 2; x2 = ¡2; x3 = 3:

Напомним важное понятие: Система векторов ~x1, ~x2, . . . , ~xm называется линейно независимой, если равенство

a1~x1 + a2~x2 + ¢ ¢ ¢ + am~xm = 0

возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты a1, a2, . . . , am одновременно равны нулю:

8

>a = 0 ;

> 1

>

<a2 = 0 ;

>>>: : : : : : ; :am = 0 :

В противном случае система векторов ~x1, ~x2, . . . , ~xm называется линейно зависимой.

Линейная зависимость системы векторов означает, что один из векторов этой системы всегда можно выразить через другие. Например, если a1 =6 0, то

25

Пусть теперь дана прямоугольная матрица размерности m £ n

Рассматривая столбцы этой матрицы как векторы, введем понятие ранга матрицы.

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы A называется рангом этой матрицы. Обозначение r или rang A.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1)перестановка местами двух строк (или двух столбцов),

2)умножение (деление) строки (или столбца) матрицы на число, отличное от нуля,

3)прибавление к строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на число, отличное от нуля.

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

Покажем способ вычисления ранга, основанный на элементарных преобразованиях матрицы:

Мы здесь производим следующие преобразования:

1)переставляем местами первую и вторую строки,

2)вычитаем из второй строки первую, умноженную на 2, и из четвертой строки также первую строку, умноженную на 4,

3)вычитаем (или прибавляем) из каждого столбца (к столбцу), начиная со второго, первый, умноженный на соответствующее число. В результате получаем нули справа от 1,

4)меняем местами вторую и третью строки,

5)преобразованиями, аналогичными 2) и 3), получаем нули снизу и справа от 1, стоящей на пересечении второй строки и второго столбца,

6)получаем нули снизу и справа от 1, стоящей на пересечении третьей строки и третьего столбца.

Число ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали преобразованной матрицы, и определяет ранг матрицы.

Задачи для практических занятий

Найти ранги следующих матриц:

27

Найти ранги матриц:

28